1、1.1.1 正弦定理(二)课时目标1熟记正弦定理的有关变形公式；2能够运用正弦定理进行简单的推理与证明1正弦定理： 2R 的常见变形：asin A bsin B csin C(1)sin Asin Bsin Cabc；(2) 2R；asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C(3)a2Rsin _A， b2Rsin_B，c2Rsin _C；(4)sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2R2三角形面积公式：S absin C bcsin A casin B.12 12 12一、选择题1在ABC 中，sin Asin B，则ABC 是
2、( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案 D2在ABC 中，若 ，则ABC 是( )acos A bcos B ccos CA直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知： ，sin Acos A sin Bcos B sin Ccos Ctan Atan Btan C，A BC .3在ABC 中，sin A ，a10，则边长 c 的取值范围是 ( )34A. B(10 ，)(152， )C(0,10) D.(0，403答案 D解析 ， c sin C.csin C asin A 403 40300)，b c4 c a5 a b6则Er
3、ror! ，解得Error! .sin Asin Bsin Cabc753.6已知三角形面积为 ，外接圆面积为 ，则这个三角形的三边之积为( )14A1 B2C. D412答案 A解析 设三角形外接圆半径为 R，则由 R2，得 R1，由 S absin C ，abc 1.12 abc4R abc4 14二、填空题7在ABC 中，已知 a3 ，cos C ，S ABC 4 ，则 b_.213 3答案 2 3解析 cos C ，sin C ，13 223 absin C4 ，b2 .12 3 38在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A60，a ，b1，3则 c_.答案
4、2解析 由正弦定理 ，得 ，asin A bsin B 3sin 60 1sin Bsin B ，故 B30或 150.由 ab，12得 AB，B30，故 C90，由勾股定理得 c2.9在单位圆上有三点 A，B，C ，设ABC 三边长分别为 a，b，c，则 asin A b2sin B_.2csin C答案 7解析 ABC 的外接圆直径为 2R2， 2R 2，asin A bsin B csin C 2147.asin A b2sin B 2csin C10在ABC 中，A60，a6 ，b12，S ABC 18 ，则3 3_，c_.a b csin A sin B sin C答案 12 6解析
5、 12.a b csin A sin B sin C asin A 6332S ABC absin C 6 12sin C18 ，12 12 3 3sin C ， 12，c6.12 csin C asin A三、解答题11在ABC 中，求证： .a ccos Bb ccos A sin Bsin A证明 因为在ABC 中， 2R，asin A bsin B csin C所以左边2Rsin A 2Rsin Ccos B2Rsin B 2Rsin Ccos A 右边sinB C sin Ccos BsinA C sin Ccos A sin Bcos Csin Acos C sin Bsin A所
6、以等式成立，即 .a ccos Bb ccos A sin Bsin A12在ABC 中，已知 a2tan Bb 2tan A，试判断ABC 的形状解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan Bb 2tan A a2sin Bcos B b2sin Acos A 4R2sin2 Asin Bcos B 4R2sin2 Bsin Acos Asin Acos A sin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B 或 2A2BAB 或 A B .2ABC 为等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC 中，B60，最大边与最小边之比为( 1)2，则最大角为( )3A45 B60 C75 D90
7、答案 C解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 AC120， sin Csin A sin(120 A)sin Asin 120 cos A cos 120sin Asin A ，32tan A 12 3 12 32 12tan A1，A45 ，C75.14在ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a2，C ，4cos ，求ABC 的面积 S.B2 255解 cos B 2cos 2 1 ，B2 35故 B 为锐角，sin B .45所以 sin Asin(BC)sin .(34 B) 7210由正弦定理得 c ，asin Csin A 107所以 SABC acsin B 2 .12 12 107 45 871在ABC 中，有以下结论：(1)ABC ；(2)sin(AB )sin C，cos(AB)cos C；(3) ；A B2 C2 2(4)sin cos ，cos sin ，tan .A B2 C2 A B2 C2 A B2 1tan C22借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明
