1、专题复习(三) 几何图形中的动点问题 (2013遵义)如图，在 RtABC 中，C90，AC4 cm，BC3 cm，动点M、N 从点 C 同时出发，均以每秒 1 cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A、B 移动，同时动点 P从点 B 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM、PN，设移动时间为 t(单位：秒，00，45S 有最小值当 t 时，S 最小值 .32 215综上所述：当 t 时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，最小值是 .32 215贵州中考所考的图形动点问题，均是双动点问题，解决此类点运动引起几何图形变化的问题可以从以下方面入手：若设问为“当
2、 t 为何值时，某某结论是否成立”或设问为“是否存在某一时刻 t，使结论成立”时，一般是先假设结论成立，然后通过四边形的性质或相似三角形的性质或全等三角形的性质等知识列出关于 t 的方程，方程有解且求出的 t 值符合实际意义时，结论成立，否则结论不成立；若涉及求最值问题，如面积最值，周长最值时，则需将所求最值用含变量的关系式表示出来，列出函数关系式，利用函数的图象性质来解决1(2015贵阳)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD12，将矩形纸片折叠，使点C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，此时 PD3.(1)求 MP 的值；(2)在 AB 边上有一个动点 F，且不与点 A，B
3、 重合，当 AF 等于多少时，MEF 的周长最小？(3)若点 G，Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A，B 重合，GQ2.当四边形 MEQG 的周长最小时，求最小周长值(计算结果保留根号)2(2014烟台)在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动(1)如图 1，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF，交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的关系，并说明理由；(2)如图 2，当点 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线上时，连接 AE 和 DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“
4、是”或“否” ，不需证明)(3)如图 3，当 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上移动时，连接 AE 和 DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图 4，当 E、F 分别在 DC、CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E、F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 的运动路径的草图，若 AD2，试求出线段 CP的最小值3(2014武汉)如图 1，RtABC 中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB边上以每秒 4 cm 的速度向点 B
5、 匀速运动，运动时间为 t 秒(0t2)，连接 PQ.(1)若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；(2)如图 2，连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；(3)试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上来源:学优高考网4(2015广东)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 RtABC 与 RtADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点 B，D 分别在 AC 的两旁，ABCADC90，CAD30，ABBC4 cm.(1)填空：AD_cm，DC_cm；(2)点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1 cm 的速度等速出发，且分别在 AD，CB 上沿AD，CB 的方向运
6、动，当 N 点运动到 B 点时，M，N 两点同时停止运动连接 MN，求当M，N 点运动了 x 秒时，点 N 到 AD 的距离(用含 x 的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取 DC 中点 P，连接 MP，NP，设PMN 的面积为 y(cm2)，在整个运动过程中，PMN 的面积 y 存在最大值，请求出这个最大值(参考数据：sin 75， sin 15 )6 24 6 24参考答案1(1)由折叠的性质可知 PHPD3，MHCD4，MHP90，MP 5.32 42(2)作点 M 关于 AB 所在直线的对称点 M，连 ME 与 AB 交于点 F，此时MEF 的周长最小AMAM12354.四边形 AB
7、CD 为矩形，ADBC.MPECEP.又由折叠的性质可知 CEME，CEPMEP.MPEMEP.MEMP5.EC5.BE7.AMBC， ，即 .来源:学优高考网AMBE AFBF 47 AF4 AF解得 AF .1611当 AF 等于 时，MEF 的周长最小1611(3)在(2)的基础上作 MN 平行且等于 GQ，连接 NE 交于 AB 点 Q，连接 MG.此时四边形 MEQG 的周长最小，最小周长为 MEGQNE.延长 MN 与 CB 的延长线交于点 L.ELBEBL11，NL2.NE 5 .112 22 5MEGQNE525 75 .5 5最小周长为 75 .52(1)AEDF，AEDF.
8、理由：四边形 ABCD 是正方形，ADDC，ADCC90.DECF，ADEDCF(SAS)AEDF，DAECDF.又CDFADF90，DAEADF90.AEDF.(2)是(3)成立理由：由(1)同理可证，AEDF，DAECDF.延长 FD 交 AE 于点 G，则CDFADG90，ADGDAE90，AGD90.AEDF.(4)由于点 P 在运动中保持APD90，点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，如图所示来源:gkstk.Com设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小在 RtODC 中，OC .CD2 OD2 22 12 5CPOCOP 1.53(1)由题意
9、，得 BP5t cm，QC4t cm，AB 10 cm.BC2 AC2当BPQBAC 时， .BPBA BQBC ，5t10 8 4t8t1；来源:gkstk.Com当BPQBCA 时， ，BPBC BQBA ，5t8 8 4t10t .3241若BPQ 与ABC 相似，则 t1 或 t .3241(2)过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则 PB5t，PM3t，MC84t，NACNCA90，PCMNCA90，NACPCM，且ACQPMC90.ACQCMP， .ACCM CQMP ，解得 t .68 4t 4t3t 78(3)证明：如图 3，仍有 PMBC 于点 M，PQ
10、的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，ACB90，DF 为梯形 PECQ 的中位线，DF .PE QC2QC4t，PE8BM84t，DF 4.8 4t 4t2BC8，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，RCDF4 成立，D 在过 R 的中位线上，PQ 的中点在ABC 的一条中位线上4(1)2 26 2(2)过点 N 作 NEAD 于 E，作 NFDC 延长线于 F，则 NEDF.ACD60，ACB45，NCF75，FNC15.sin 15 ，NCx，sin 15 ，FCNC 6 24FC x.6 24NEDF x2 .6 24 2点 N 到 AD 的距离为(
11、x2 )cm.6 24 2(3)NCx，sin 75 ，且 sin 75 ，FNNC 6 24FN( x)cm.6 24PDCP cm，2PF( x )cm.6 24 2y ( x2 x)( x2 ) (2 x) ( x )12 6 24 6 6 24 2 12 6 2 12 6 24 2( x)即 y x2 x2 .6 24 2 68 7 3 224 3当 x 时，7 3 2242（ 2 6）8 7 3 226 2y 有最大值为 x2 x22 68 7 3 224 3 ( )2 22 68 7 3 226 2 7 3 224 7 3 226 2 3 2（ 7 3 22） 28（ 6 2） 3 260 46 143 2828（ 6 2） 3 (cm)66 73 102 3042 46
