1、 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静 ,灵活运用有关数学知识解决问题 . 关键 :动中求静 . 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对称、 动点 的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力 立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在 动
2、点 的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学 “ 动点 ” 探究题的基本思路 ,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质 。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（ 1）运动观点；（ 2）方程思想 ；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向
3、，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ,是初中数学的重要内容 .动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动 变化 ,引起未知量与已知量间的一种变化关系 ,这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .那么 ,我们怎样建立这种函数解析式呢 ?下面结合中考试题举例分析 . 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年上海 )如
4、图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB上 ,有一个动点 P,PH OA,垂足为 H, OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,线段 GO、 GP、 GH中 ,有无长度保持不变的线段 ?如果有 ,请指出这样的线段 ,并求出相应的长度 . (2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域 (即自变量 x 的取值范围 ). (3)如果 PGH 是等腰三角形 ,试求出线段 PH的长 . 解 :(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 ,于是线段 GO、 GP、 GH 中 ,有长度保持不变的线段，这条线段是
5、 GH=32 NH= 2132 OP=2. (2)在 Rt POH中 , 222 36 xPHOPOH , 2362121 xOHMH . 在 Rt MPH 中 , . 22222 33621419 xxxMHPHMP H M N G P O A B 图 1 x y y =GP=32 MP= 233631 x (0AD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析 :本题可以通过动手操作一下 ,度量 AC、 CB、 AD、 DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（ C） 例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD，延长 CA
6、 和 CD 与大圆分别交于点 B、 E，则下列结论中正确的是（ * ） （ A） ABDE （ B） ABDE （ C） ABDE （ D） ABDE, 的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（ B） DCBAEDC BAO本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、 EO，则在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边，则 OE OD3).动点 M， N 同时从 B点出发，分别沿 BA ， BC 运动，速度是 1 厘米 /秒 .过 M作直线垂直于 AB，分别交 AN， CD于 P， Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M也随之停止运动 .设运动时间为 t 秒 . (1)若 a=4 厘
7、米， t=1 秒，则 PM=厘米； (2)若 a=5 厘米，求时间 t，使 PNB PAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN与梯形 PQDA的面积相等，求a 的取值范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形PQDA，梯形 PQCN 的面积都相等 ?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 . 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题 .试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题 (3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代
8、数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a的函数关系式，再利用 t的范围确定 的 a取值范围 . 第 (4)小题是题 (3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握 . 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4 (2007年吉林省 )如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD中， E、 F是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点 A、 C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC交 Rt ACD 的直角边于 G，连结 HG、 EB.设
9、HE、 EF、 FG、 GH 围成的图形面积为， AE、 EB、 BA围成的图 形面积为 这里规定：线段的面积为 0).E 到达C， F到达 A停止 .若 E 的运动时间为 x(s)，解答下列问题： (1)当 0X (2) 若 y 是 与 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式； (图 10 为备用图 ) 求 y 的最大值 . 解 (1)以 E、 F、 G、 H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD 的边长为82，所以 AC=16，过 B 作 BO AC 于 O，则 OB=89，因为 AE=x，所以 ，因为 HE=AE=x， EF=16-2x，所以 -2x)， 当 时， 4x=x(16-
10、2x)，解得 x1=0(舍去 )， x2=6，所以当 x=6时， (2) 当 0x8 时， y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 当 8x16 时， AE=x， CE=HE=16-x， EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以 -x)(2x-16)， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0x8 时， y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时， y 的最大值为50. 当 8x16 时， y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当 x=13 时， y 的最大值为 82. 综上可得， y 的最大值为
11、 82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题 .要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式 . 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用 . 专题四：函数 中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（ 2， 1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 求抛物线的解析式； （用顶点式求得 抛物线的解析式 为 xx41y 2 ） 若点
12、 C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 O、 C、 D、 B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标； 连接 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得 OBP与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例 1 题图 图 1 OAByxOAByx图 2 分析 :1.当给出四边形的两个顶点时 应以 两个顶点的连线 为四边形的 边 和 对角线 来考虑问题 以 O、 C、 D、 B 四点为顶点的四边形为平行四边形 要分类讨论 :按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶
13、点时，先要分析已知三角形的 边 和 角 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中 已知边 与已知三角形的 可能对应边 分类讨论。 或利用 已知三角形中对应角，在未知三角形中利用 勾股定理 、 三角函数 、 对称 、 旋转 等知识 来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应 先设所求点的坐标进而用 函数解析式来表示各边的长度 ，之后利用相似来列方程求解。 练习 1、 已知抛物线 2y ax bx c 经过 53( 3 3) 02PE， ， ，及原点 (00)O， （ 1）求抛物线的解析式 （由 一般式 得 抛物线的解析式 为 22 5 333y x x ） （ 2）过
14、 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA平行于 y 轴交 x 轴yxEQPC BOA于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线 QA与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC 是否存在点 Q ，使得 OPC 与 PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由 （ 3） 如果符合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的四个为什三角形 O P C P Q B O Q P O Q A， ， ， 之间存在怎样的关系？么？ 练习 2、如图，四边形 O
15、ABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A在x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠55CE ，且 3tan 4EDA。 （ 1）判断 OCD 与 ADE 是否相似？请说明理由； （ 2）求直线 CE与 x 轴交点 P 的坐标； （ 3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。 练习 3、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数2 ( 0 )y a x b x c a
16、的图象与 x 轴交于 AB， 两点（点 A在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标O x y 练习 2 图 C B E D A 为 1，且过点 (23)， 和 ( 3 12)， （ 1）求此二次函数的表达式；（由 一般式 得抛物线的解析式为 2 23y x x ） （ 2）若直线 : ( 0)l y kx k与线段 BC 交于点 D （不与点 BC， 重合），则是否存在这样的直线 l ，使得以 B O D， ， 为顶点的三角形与 BAC 相似？若存在，求出该直线的函 数表达式及点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；( 1 0 ) (3 0 ), (0 3 )A B C ， ，
17、 ， ， （ 3）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO 与 ACO 的大小（不必证明），并写出此时点 P 的横坐标 px 的取值范围 练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线 2 1yx与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C O y C l x B A 1x 练习 3图 o C B A x 练习 4 图 P y （ 1）求 A、 B、 C 三点的坐标 （ 2）过点 A 作 AP CB交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M， 过 M 作 MG x 轴于点 G，使
18、以 A、M、 G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形， 90ACB，点 AC， 的坐标分别为 ( 30)A， ， (10)C， ， 3tan 4BAC （ 1）求过点 AB， 的直线的函数表达式；点 ( 30)A， ，(10)C， ， B (13)， ， 3944yx （ 2）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得 ADB 与ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，如 PQ， 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ ，设 AP DQ
19、m，问是否存在这样的m 使得 APQ 与 ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由 参考 答案 例 题 、 解 : 由题意可设抛物线的解析式为 1)2x(ay 2 抛物线过原点， 1)20(a0 2 41a . 抛物线的解析式为 1)2x(41y 2 ,即 xx41y 2 A C O B x y COABDyx图 1 如图 1,当 OB为边即 四边形 OCDB 是平行四边形时 ,CD OB, 由 1)2x(410 2 得 4x,0x 21 , B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为 6 将 x 6 代入 1)2x(41y 2 ,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线
20、的对称性可知 ,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边形 ,此时 D 点的坐标为 ( 2, 3), 当 OB 为对角线即 四边形 OCBD 是平行四边形时 ,D点即为 A 点 ,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知 :AO AB, AOB ABO. 若 BOP与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP交抛物线的对称轴于 A 点 ,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为 x21y 由 xx41x21 2 , 得 6x,0x 21 . P(6, 3) 过 P 作 PE x 轴 ,在 Rt BEP中 ,BE 2,PE 3, PB 13 4. PBOB, BOP BPO, PBO与 BAO 不相似 , EAOABPyx图 2
