1、3.4 生活中的优化问题举例【成功细节】本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 与自变量 ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式 ，根据实际问yx ()yfx题确定函数 的定义域；（2 要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，()f正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；（4）在实际问题中，有 常常仅解到一个根，若能判()0fx断函数的最大（小）值在 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最
2、大x（小）值。如，本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x(m)，高为 .230(m)35.4128xxh故长方体的体积为 ).230()(69.)(2xxV从而 ).1(835.418)(2xx令 V（x） 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0x1 时，V （x ）0 ；当 1x 时，V（x） 0，32故在 x=1 处 V（x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 VV（x ）91 2-613（m 3） ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1
3、m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。【高效预习】 （核心栏目）【关注.思考】1.了解优化问题的类型；2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点.【粗读概括】1.认真阅读教材中的例题,从中提炼解答优化问题的解题步骤.（2007 年重庆市文科 20 题） 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？【学习细节】 （核心栏目）A基础知识一、利用导数解决生活中的优化问题【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知
4、道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题【例题 1】 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【引导】 先建立目标函数，然后利用导数求最值.解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为18x。12852()4)(),0Sxx求导数，得。 25()令 ，解得 舍去） 。 10Sx16(x于是宽为 。86当 时， 0.(,1)x()Sx(,)()Sx
5、因此， 是函数 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，海报四周空白面积最小。【思考】在课本例 1 中， “ 是函数 的极小值点，也是最小值点。 ”为什么？是6xSx否还有别的解法？【探究】在实际问题中，由于 =0 常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）f值在 的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。x由课本例 1 可得， 。256256()4848Sxx327， 。2564,0)S当 且 仅 当 即 时 取 最 小 值 16此 时 y=【例题 2】 饮料瓶大小
6、对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获20.8rr利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是r332240.2.80.,06ryfr r令 解得 （
7、 舍去）.8()fr当 时， ；当 时， 0,2r0f2,60fr当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高；rfr当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越低rf（1）半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够220f瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为 cm 时，利润最大6【引导】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：。图象如图，20.8,063rfrr能否根据它的图象说出其实际意义？【探究】当 时， ， 为减函数，其实际意义为：瓶子的半0,2rfr径小于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 cm 时，利润最小；当 时，22,6r为增函
8、数，其实际意义为：瓶子的半径大于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越大。fr特别的，当 时， ，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成3r0f本恰好相等， 时，利润才为正值当 时， ，即瓶子的半径为 2cm 时，2r0f饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。【例题 2】 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit）
9、 。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道长度不得m小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。n问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域RrR（1） 是不是 越小，磁盘的存储量越大？r（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。设存储区的半径介于 与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最外面的磁道m不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大rm存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所
10、以，磁盘总存储量2rn()fr2rn()R（1）它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 越小，磁盘的存r储量越大（2）为求 的最大值，计算 ()fr()0fr2Rmn令 ，解得()0frr当 时， ；当 时， 2R()f2R()0fr因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为r24Rmn【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.【总结】 （1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量 与自变量 ，把yx实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式 ，并确定函数的定义区间；yfx（2）求 ，解方程 ，得出所有实数根；fx0fx（3）比较函数在各个根
11、和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较【例 4】10.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到 100 人的团体，每人收费1000 元。如果团体的人数超过 100 人，那么每超过 1 人，每人平均收费降低 5 元，但团体人数不能超过 180 人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团)【解析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.【答案】设参加旅游的人数为 x，旅游团收费为 y则依题意有 =
12、1000 -5（ -100） （100 180） ，令()fx x得 =150。又 ， ，()150f(10)f(150)2f8所以当参加人数为 150 人时，旅游团的收费最高，可达 112500 元。B综合拓展例 1 某工厂生产某种产品 ,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式为: p=24200 x2,且生产 x t 的成本为: R=50000+200x(元).问该产品每月生产51多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?解析：利润=收入成本，列出利润的函数关系式，利用导数解决优化问题.答案: 每月生产 吨时的利润为x)205()1240()2xf 312
13、405(0)5xx由 解得： 或 （舍去） 因为 在 内只235fx f,有一个点 使得 ，故它就是最大值点，且最大值为：0()0fx思维拓展：1导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（4）效率最值问题。2.利用导数解决优化问题的基本思路：优 化 问 题 用 函 数 表 示 数 学 问 题用 导 数 解 决 数 学 问 题优 化 问 题 的 答 案建 立 数 学 模 型解 决 数 学 模 型作 答，故它就是最
14、大值点，且最大值0)(2),0)( xfxxf 使内 只 有 一 个 点在因为： （元）3122405315f答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？p81分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 ，21258pqq利润 221(04)08LRCq(10)124q令 ，即 ，求得唯一的极值点0104q答：产量为 8
15、4 时，利润 L 最大例 3 甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3 元和 5 元，问供水a站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点 C 的位置答案: 解法一 根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，
16、才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km, 则 BD=40,AC=50 ,BC=x2240xDB又设总的水管费用为 y 元，依题意有：=3 (50 x)+5yaa2(05)xy=3 + ,令 y=0,解得 =30245在(0,50)上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 =30(km)处取得最小值，此时 AC=50 =20(km)x x供水站建在 A、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设 BCD= ,则 BC= ,CD= , sin40)20(,cotcot405ACC DBA设总的水管费用为 f( ),依题意，有( )=3 (5040cot )
17、+5 =150 +40 fa40sinaasinco35 ( )=40f 2 2(53cos)(53co)(sis40i ia 令 ( )=0,得 cos =f根据问题的实际意义，当 cos = 时，函数取得最小值，此时 sin = ,cot = ,53543AC=5040cot =20(km),即供水站建在 A、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省.例 4 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解析：先建立起目标函数，再求最值.答案 解法一：设箱底边长为
18、 xcm，则箱高 cm，得箱子容积602xh)(32V60x23()x)60(令 0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 2()6V并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子容积 （后面同解法一，略）xV2)60()30(由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处x60-2x60-2x 60-2xx60-2x6060_x_x_60_60xx事
19、实上，可导函数 、 在各自的定义域中260)(32xhxVxV2)60()都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 5 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：转化为数学问题就是，圆柱的体积是一个定值时，求表面积最小时，高与半径的比值。答案: 设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R 2由 V=R 2h，得 ，则VS(R)= 2R + 2R 2= +2R 22R令 +4R=0()s解得，R= ，从而 h= = = =232V223()V343V即 h=2R因为 S(R
20、)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省思考：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示： S=2 + h=R2RS2V(R)= R = 2321)(1RS)=0 ) 26Sh222例 6已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y 4x 2 在 x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长解：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y） ，且 x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x，y） ，在 x 轴上的两个顶点为（x，0） 、 （x ，0） ，其中 0 x 2设矩形的面积为 S，则 S
21、 2 x（4x 2） ，0 x 2由 S （x）86 x 20，得 x ，易知3x 是 S 在（0，2）上的极值点，34即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为 和 328例 7 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为 ，问如何选择它的直径和350m高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小。答案： 设直径为 ，高为 ，表面积为 ，由 ，得 dhS250dh20hd又 ，而 2204S 2d令 ，即 ，得 ，此时 02d3502d350h时， ； 时， ，35 0S3S所以，当 ， ，用料最省32d35d点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解
22、思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解例 8 用宽为 a、长为 b 的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图 2） ，问斜角 多大时，槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值设横截面面积为 S，则 1()2ABEDC答案：由于 ， ，cosasina因此 ()i2 (1cos)02又 ，2cs1S令 ，即 ，02(ocs)0a得 或 1coscs1由于 ，得 ，02o那么 ，此时 cos3当 时， ；当 时， ， 030S320S所以，当 时，横截面的面积
23、最大；此时，槽的流量最大点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键例 9 一书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费 30 元，每千册书存放一年要耗库费 40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？解：设每次进书 x 千册 ，手续费与库存费之和为 y 元，(015)x由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即 ，故有2x30 40， ，令 y 0，得 x 15，列表150yx222450(15)xyx如右
24、：所以当 x 15 时，y 取得极小值，且极小值唯一，故当 x 15 时，y 取得最小值，此时进货次数为 （次） 15即该书店分 10 次进货，每次进 15000 册书，所付手续费与库存费之和最少【作业】 课堂作业1(知识点 1) 一质点做直线运动,由始点起经过 ts 后的距离为 s= ,则速43215tt度为零的时刻是 （ ） A. 0s 与 2s 末 B.3s 末 C.0s 与 3s 末 D.0s,2s,3s 末2 （知识点 1）用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm3(知识点 1)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积最大，则其高应为（ x(0,15)15 (15,0)y y A极小值 A
