1、1.4 生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高 cm，得箱子容积602xh260)(32hxV)() )60(x令 0，解得 x=0（舍23()6Vx 去） ，x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 6
2、0）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子容积 （后面同解法一，略）xV2)60()30(由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很 小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数 、260)(32xhV xxV2)60()在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角 度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值 点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，
3、底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R 2x xxx6060x60-2x60-2x 60-2xx60-2x6060由 V=R 2h，得 ，则2VRS(R)= 2R + 2R 2= +2R 2令 +4R=02()s解得，R= ，从而 h= = = =23V2R23()V343V即 h=2R因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示： S=2 + h=R2RS2V(R)= R = 2321)(1RS)=0 ) 26Sh222例 3 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？p815分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 ，21258pqq利润 221(04)08LRCq(10)124q令 ，即 ，求得唯一的极值点0104q答：产量为 84 时，利润 L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.课堂练习：第 37 页练习 A、 B课后作业：第 38 页 B:5，6， 7
