1、导数的概念与基本运算1导数的概念设函数 yf(x)在 x0 附近有定义，自变量 x 在点 x0 有增量x，函数 yf(x)相应有增量 yf(x 0x)f( x0)，比值 是函数 yf(x) 在 x0 到 x0x 的平ffy)(0均变化率。如果当 时， 有极限，则称函数 yf(x)在点 x0 处有导数（又称可导）x，而这个极限值就叫做函数 yf(x)在点 x0 处的导数（或变化率） ，记作 f (x0)或 y| ，即0x= 。)(fx0limxffx)(li002导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。3求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导
2、，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C=0，及 = （n 为正整数） ；两个法则：f(x)g(x)= (x) (x)， Cf（x）nx fg=C (x) 。 根据定义不难证明上述两个法则：ff(x)g(x)= = = = ；fxg= 。Cfx0limxCfx有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。另外， = ， 当x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。（1）几种常用函数的导数公式如下：C=0（C 为常数） ； (xm)= mxm-1(mQ) ；(sinx) =cosx； (cosx)=
3、-sinx；(ex)= ex； (ax)= ax lna(lnx)= ； (logax)= logae11（2）两个函数四则运算的导数(u+v)=u+ v； (uv) = ； 。vu)0()(2vu注意事项1在导数的定义中，应注意：当x0 时， 有极限是函数 yf (x)在点 x0 处有导数的前提，不可忽视。xy函数 yf(x)在点 x0 处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时 x 是自变量，x0 是事先固定好的，是常量，而 是x 的函数，导数 f (x0)就是ff)(00自变量x 无限趋近于 0 时，函数 的极限。xy（3）要注意函数的变化（增量） ，变化率（增量之比） ，局部变化率（求
4、增量比的极限）的区别。2导数的另一个定义式令 xx 0x，得 xxx 0，于是f (x0) ，它与 f (x0) 是一个意思。0)(lim0fxxff)(lim003导数的几何意义函数 yf(x) 在点 x0 处的导数 f (x0)的几何意义就是曲线 yf(x) 在点 M(x0，f(x 0)处的切线的斜率。4导函数与在一点处的导数的区别与联系在点 x 处求得的函数 f (x)是随着点 x 而变的，所以 f (x)又可以看成 x 的一个新的函数，称为原来的函数 yf(x )的导函数，简称导数。函数 f(x)的导数仍然是一个函数，而函数 f(x)在定点 x0 的导数则是一个常数。f (x)在点 x
5、0 处的导数就是导函数 f (x)在点 x0 处的函数值。导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。5函数的可导性与连续性的关系函数 yf(x) 在点 x0 处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此若函数 f(x)在点 x0 处不连续，则 f(x)在点 x0 处必不可导。典型例题讲评例 1nN * ，求函数 y=xn（ x0）的导函数分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。解： y= = = .说明：这与 n 为正整数时(x n)= 法则相合（即以n 代 n，即得
6、上式），这会使我们猜测 R 时， = ，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例 2求证：若函数 f(x)在点 x0 处可导，则 f(x)在点 x0 处连续。分析：运用可导和连续的概念。解：设 x=x0+x ，当 时， 。函数 f(x)在点 x0 处可导， ，)(f xffx)(lim00 )(limli 00f= )(0fxfx = = =f（x 0） 。li)(li 00 xfx )()(0f ，即 f(x)在点 x0 处连续。)0fx例 3物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S= gt2 其中 t 为经历的时间，g=9.8m/s 2，
7、1若 V= =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ）（A）01s 时间段内的速率为 9.8m/s.（B）在 11+ ts 时间段内的速率为 9.8m/s.（C）在 1s 末的速率为 9.8m/s（D）若t0，则 9.8m/s 是 11+ts 时段的速率.若t0，则 9.8m/s 是 1+ts1 时段的速率.分析：本题旨在强化对导数意义的理解，无论是从极限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是 ： 中的t 可正可负 .答案：（C）例 4。 求下列函数的导数：（1）y=(1 x)(1 2x)； （2）y=(5x 4)3；（3）y=4 x + x4 ln4； （4）y=l
8、n( x)。21分析：根据函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。解：（1）y= (1 2x) 2(1 x)= 4x 3。说明：也可以先将表达式化为 y=1 3x +2x2，再求导。（2）y=3(5x 4)25=15(5x 4)2。（3）y=4 xln4 + 4x3 0=4xln4 + 4x3。（4）y= ( )= 。21122x例 5定义在（、）上的函数 f(x)满足 f(1)=2， (1)=3. （1）.f（1）求 的值;（2）求 的值分析：本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故应该往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把 x1 转化为x0 的形式.解：（1）
9、 （f(x)+2）(1) f(1+x)+2= (1)(f(1)+2)=3(2+2)12；f0limxf（2） 1x(1) (1+1)=6.f0lix例 6已知 f(x)=(xa)(xb)，g(x)=cx+d.（a、b、c、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：Gx=fxg(x)+f(x)g(x)解：f(x)=x 2(a+b)x+ab =2x(a+b). =cfx gx g(x)+f(x) =2x(a+b)(cx+d)+c(x 2(a+b)x+ab)=3cx 2+2(dac bc)x+abcadbd.fxg又 G(x)=x2(a+b)x+ab(d+cx)=cx 3+(dacbc)x
10、2+(abcabbd)x+abd.G(x)=3cx 2+2(dacbc)x+abcad bdG(x)= g(x)+f(x) .fxgx例 7 （1） （1982 年全国高考试题）求 y=cos2 的导数； 3x（2） （1987 年全国高考附加题）设 y = xln(1+x2)，求 y。 分析：（1）根据复合函数求导法则进行求导。解：（1）y=2cos (cos )=-2 cos sin ( )=- os sin =- 。3x3332sin1x（2）y=ln(1+x 2)+ 。1例 8 （1）已知函数 y = ，求x4321|xy（2）设 f(x) = ，求 。x1)(f分析：（1）先将函数化
11、为几个指数函数的和，再求导；（2）先将 f(x)化为以 e 为底的复合指数函数，再求 ，最后求值。)(f解：（1）y= ，231234xxy = = 。52 )()()1(3x 2523216xx = = ；1|x 252326 17(2)f(x)= ，)ln(xe = = + )f)1ln(x)lx)1()ln(x12= - 。 。x)()l(1x)3(l)2(f说明：第（1）题如果直接用四则运算求导法则求导，将增加运算量。例 9宽为 a 的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为 8a 的细杆能水平地通过拐角，向另一走廊的宽度至少是多少？解：设细杆与另一走廊一边的夹角为 ，)20(AB8aCa又设
12、另一走廊的宽为 y，由 cos8,cosaBCaA知 )20(ini8sin)( BCy依题意必存在一个适当的 值使 y 最小，由 . 22cos8cosic)( aaa令 ，81os03得y,3因为 只有一个极值，所以它是最小值，这时 y= ，)( a即另一走廊的宽度至少是 。a3例 10 （2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷 21） ）已知 为正整数.na,0（）设 ；1)(,)(naxyxy证 明（）设 ).(1)(,1nfff nnn 证 明对 任 意分析：本例主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明：（）因为 ，nkCax0)(knxa
13、)(所以 10)(knnkynk0 .)()(111nkna（）对函数 求导数:nnnaxf)(11()(),.0,()().,1()nnnnnnfxafxxaxna所 以当 时当 时 是 关 于 的 增 函 数因 此 当 时 )(11)()(1 nnn af ).(fann 即对任意 )(,1fan巩固练习1已知函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导，且 x0（a，b）则 的值00()()limnfxhf为 （ B ）A、f(x 0) B、2 f(x 0) C、-2 f(x 0) D、02f(x)=ax 3+3x2+2，若 f(-1)=4，则 a 的值为 （ D ）A19/3 B16/3
14、C13/3 D10/33设 f(x)在 x=0 处有导数，则 f (0)等于 （ C ） (A) (B) xf)(lim0 )0(lim0fxfx(C) (D) fx3提示：运用导数的定义，选 C， 。4已知 的值为（ C 3)(2li,)3(,2)(,)(li)( 3000 xfffxffx 则）A4 B 0 C8 D不存在5函数 处连续是 处可导的 （ B )(xf在 0)(xf在）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D不充分不必要条件6设 y=loga (a0,a1) ，则 y= ( D )x1A. B. lna C. logae D. logae)()1(x)1(x)1(x7
15、关于函数 ，下列说法中，正确的是 （ A xfy）A若 在 处连续，则)(f0 )(lim)(li00xffxxB若 在 处连续，则 在 处可导xC若 在 处有极限，则 在 处可导)(xf0)(xf0D若 在 处的导数等于 0，则 在 处有极值x8已知 的值为（ C 3)(2lim,)3(,2)(,)(lim)( 3000 xfffxfxf xx 则）A4 B 0 C8 D不存在9函数 y= 的导数是 （ C ）xln1A. B. C. D.2)l(2)ln1(x2)ln1(x2)ln1(x10若函数 y=x2x 且 y=0 ，则 x= ( A ) A.-1/ln2 B.1/ln2 C.-ln
16、2 D.ln211已知 f(x)= sin(x+1)，则 f(1)= （ sin2+cos2）3 312函数 y= (x1)，则 y= （y= - ）14x 1x13 的导数 _ （ ）21lgyy lg2ey14问 a、b、c 为何值时，函数 在 x=0 处可导。,0,)(2cbxaf14.提示：根据可导与连续的关系，欲使函数在 x=0 处可导，则函数在 x=0 处必连续。由函数在 x=0 处必连续的定义可求出 a、c 的值，由函数在 x=0 处可导可求出 b 的值。解：根据可导与连续的关系，欲使函数在 x=0 处可导，则函数在 x=0 处必连续。由于 ， ，xfx )(lim)(li200 cbfx)(lim)(li00故应有 a=c=f(0)=0。从而 .0,)(2xbf又 ， ，0limli)(lim200 xfxx bxxfx 0lim)(li所以，要使 f(x)在 x=0 处可导，应有 b=0。也就是说，当 a=b=c=0 时，f(x)在点 x=0 处可导。15.当 f(x)，g(x)为其它可导函数时，本节例 6 的结论能否成立？若能成立，请用定义证明；若不能成立，试举一反例说明.解：结论f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x)仍成立，证明如下：f(x)g(x)= g(x+x )+ f(x) = g(x)+f(x) .fg
