1、 26.2.1 二次函数 y=ax2 的图像与性质农安县合隆中学 徐亚惠一选择题（共 8 小题）1.已知反比例函数 y= （a 0） ，当 x0 时，它的图象 y 随 x 的增大而减小，那么二次函数 y=ax2ax 的图象只可能是（ ）A B C D2已知 a0，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax2 的图象有可能是（ ）A B C D3函数 y=ax2+1 与 y= （a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D4已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A B C D5已知函数 y=（xm） （xn ） （其
2、中 mn）的图象如图所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是（ ）A B C D6函数 y= 与 y=ax2（a 0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D7二次函数 y=ax2+b（b0）与反比例函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D8已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的图象如图所示，则一次函数 y=cx+ 与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A B C D二填空题（共 6 小题）9下列函数中，当 x0 时 y 随 x 的增大而减小的有 _ （1）y= x+1， （2）y=2x， （3）
3、 ， （4）y=x 210如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（1，0） ， （2，0） ， （0，2） ，则抛物线的对称轴是 _ ；若 y2，则自变量 x 的取值范围是 _ 11抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是 _ 12.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的中心在直角坐标系的原点 O，AD x 轴，以 O 为顶点且过 A、D 两点的抛物线与以 O 为顶点且过 B、C 两点的抛物线将正方形分割成几部分则图中阴影部分的面积是 _ 13如图，O 的半径为 2C 1 是函数 y=x2 的图象，C 2 是函数 y=x2 的图象，则阴影部分的面积是 _
4、 14已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是 _ 三解答题（共 6 小题）15抛物线 y=x2+（m1）x+m 与 y 轴交于（0，3）点（1）求出 m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？16已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是 y= _ ；（2）当 x= _ 时，y=3；（3）根据图象回答：当 x _ 时，y017分别在同一直角坐标系内，描点画出 y= x2+3 与 y=
5、x2 的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标18函数 y=2（x 1） 2+k（k0）的图象与函数 y=2x2 的图象有什么关系？请作图说明19在同一直角坐标系中画出二次函数 y= x2+1 与二次函数 y= x21 的图形（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点20在同一直角坐标系中作出 y=3x2 和 y=3x2 的图象，并比较两者的异同26.2.1 二次函数 y=ax2 的图像与性质参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1已知反比例函数 y= （a0） ，当 x0 时，它的图象 y 随 x
6、 的增大而减小，那么二次函数 y=ax2ax 的图象只可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；反比例函数的性质分析： 根据反比例函数的增减性判断出 a0，再根据二次函数的性质判定即可解答： 解：反比例函数 y= （a0） ，当 x0 时，它的图象 y 随 x 的增大而减小，a0，二次函数 y=ax2ax 图象开口向上，对称轴为直线 x= = 故选 B点评： 本题考查了二次函数的图象，反比例函数的性质，熟记性质并判断出 a0 是解题的关键2已知 a0，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax2 的图象有可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象专题： 数
7、形结合分析： 本题可先由一次函数 y=ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2 的图象相比较看是否一致 （也可以先固定二次函数 y=ax2 图象中 a 的正负，再与一次函数比较 ）解答： 解：A、函数 y=ax 中，a0，y=ax 2 中， a0，但当 x=1 时，两函数图象有交点（1，a ） ，故 A 错误；B、函数 y=ax 中，a 0，y=ax 2 中，a0，故 B 错误；C、函数 y=ax 中，a 0，y=ax 2 中，a0，但当 x=1 时，两函数图象有交点（1，a） ，故 C 正确；D、函数 y=ax 中，a0，y=ax 2 中，a0，故 D 错误故选：C点评： 函数
8、中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状3函数 y=ax2+1 与 y= （a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象分析： 分 a0 和 a0 两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可解答： 解：a0 时，y=ax 2+1 开口向上，顶点坐标为（0，1） ，y= 位于第一、三象限，没有选项图象符合，a0 时，y=ax 2+1 开口向下，顶点坐标为（0，1） ，y= 位于第二、四象限，B 选项图象符合故选：B点评： 本题考查了二次函数图象
9、与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键4已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；一次函数的图象分析： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致逐一排除解答： 解：A、由二次函数的图象可知 a0，此时直线 y=ax+b 经过二、四象限，故 A 可排除；B、二次函数的图象可知 a0，对称轴在 y 轴的右侧，可知 a、b 异号，b0，此时直线 y=ax+b 经过一、二、四象限，故 B 可排除；C、二次函数的图象可知 a0，此时直线 y=ax
10、+b 经过一、三，故 C 可排除；正确的只有 D故选：D点评： 此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等5已知函数 y=（xm） （xn ） （其中 mn）的图象如图所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象专题： 数形结合分析： 根据二次函数图象判断出 m 1，n=1，然后求出 m+n0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可解答： 解：由图可知，m 1，n=1，m+n0，
11、一次函数 y=mx+n 经过第一、二、四象限，且与 y 轴相交于点（0，1） ，反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限；故选：C点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出 m、n 的取值是解题的关键6函数 y= 与 y=ax2（a 0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象专题： 数形结合分析： 分 a0 和 a0 两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解解答： 解：a0 时，y= 的函数图象位于第一三象限，y=ax 2 的函数图象位于第一二象限且经过原点，a0 时，y= 的函
12、数图象位于第二四象限，y=ax 2 的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有 D 选项图形符合故选：D点评： 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论7二次函数 y=ax2+b（b0）与反比例函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象专题： 数形结合分析： 先根据各选项中反比例函数图象的位置确定 a 的范围，再根据 a 的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确解答： 解：A、对于反比例函数 y= 经过第二、四象限，则 a0，所以抛物线开口向下
13、，故 A 选项错误；B、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a0，所以抛物线开口向上， b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，故 B 选项正确；C、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a0，所以抛物线开口向上，故 C 选项错误；D、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a0，所以抛物线开口向上，而 b0，抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方，故 D 选项错误故选：B点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象为抛物线，当a0，抛物线开口向上；当 a0，抛物线开口向下对称轴为直线 x= ；与 y 轴的交点坐标为（0，
14、c） 也考查了反比例函数的图象8已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的图象如图所示，则一次函数 y=cx+ 与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A B C D考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象分析： 先根据二次函数的图象得到 a0，b0，c0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置解答： 解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线 x= 0，b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，一次函数 y=cx+ 的图象过第一、二、四象限，反比例函数 y= 分布在第一、三象限故选：D点评：
15、本题考查了二次函数的图象：二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象为抛物线，当a0，抛物线开口向上；当 a0，抛物线开口向下对称轴为直线 x= ；与 y 轴的交点坐标为（0，c） 也考查了一次函数图象和反比例函数的图象二填空题（共 6 小题）9下列函数中，当 x0 时 y 随 x 的增大而减小的有 （1） （4） （1）y= x+1， （2）y=2x， （3） ， （4）y=x 2考点： 二次函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质分析： 分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解解答： 解：（1）y=x+1，y 随 x
16、增大而减小，正确；（2）y=2x，y 随 x 增大而增大，错误；（3） ，在每一个分支，y 随 x 增大而增大，错误；（4）y= x2，在对称轴的左侧，y 随 x 增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 增大而减小，正确故答案为：（1） （4） 点评： 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性） ，是一道难度中等的题目10如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（1，0） ， （2，0） ， （0，2） ，则抛物线的对称轴是 x= ；若 y2，则自变量 x 的取值范围是 0x1 考点： 二次函数的图象；二次函数的性质专题： 图表型分析： 二次函数的图象与 x 轴交于
17、（a，0） （b，0） ，则对称轴为 ；求得对称轴后即可求得图象经过的另一点为（1，2） ，据此可以确定自变量的取值范围解答： 解：抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（ 1，0） ， （2，0） ，对称轴为 x= = ；抛物线与 y 轴的交点坐标分别为（0，2） ，对称轴为 x= ，抛物线还经过点（1，2） ，y 2，则自变量 x 的取值范围是 0x1，故答案为：x= ，0x1点评： 本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是知道如何根据抛物线与 x 轴的交点坐标求对称轴11抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是 3x1 考点： 二次函数的图象
18、专题： 压轴题分析： 根据抛物线的对称轴为 x=1，一个交点为（1，0） ，可推出另一交点为（ 3，0） ，结合图象求出y0 时，x 的范围解答： 解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为 x=1，已知一个交点为（1，0） ，根据对称性，则另一交点为（3，0） ，所以 y0 时，x 的取值范围是3x1故答案为：3 x1点评： 此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线 y=x2+bx+c 的完整图象12如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的中心在直角坐标系的原点 O，AD x 轴，以 O 为顶点且过 A、D 两点的抛物线与以 O 为顶点且过 B、C 两点的抛物线将正方形分割成几部
19、分则图中阴影部分的面积是 2 考点： 二次函数的图象；正方形的性质分析： 根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案解答： 解：根据图示及抛物线、正方形的性质，S 阴影 = S 正方形 = 22=2故答案为：2点评： 本题主要考查了抛物线及正方形的性质，需要根据图是进行判断，难度适中13如图，O 的半径为 2C 1 是函数 y=x2 的图象，C 2 是函数 y=x2 的图象，则阴影部分的面积是 2 考点： 二次函数的图象分析： 根据 C1 是函数 y=x2 的图象，C 2 是函数 y=x2 的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可解答： 解：C
20、 1 是函数 y=x2 的图象，C 2 是函数 y=x2 的图象，两函数图象关于 x 轴对称，阴影部分面积即是半圆面积，面积为： 22=2故答案为：2点评： 此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键14.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是 1x3 考点： 二次函数的图象专题： 压轴题分析： 由图可知，该函数的对称轴是 x=1，则 x 轴上与1 对应的点是 3观察图象可知 y0 时 x 的取值范围解答： 解：已知抛物线与 x 轴的一个交点是（1，0）对称轴为 x=1，根据对称性，抛物线与 x 轴的另一交点为（
21、3，0） ，观察图象，当 y0 时，1 x3点评： 此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线 y=ax2+bx+c 的完整图象三解答题（共 6 小题）15抛物线 y=x2+（m1）x+m 与 y 轴交于（0，3）点（1）求出 m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？考点： 二次函数的图象；二次函数的性质分析： （1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求 m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与 x 轴及 y 轴的交点，画
22、出图象（2） 、 （3） 、 （4）可以通过（1）的图象及计算得到解答： 解：（1）由抛物线 y=x2+（m 1）x+m 与 y 轴交于（0，3）得：m=3 抛物线为 y=x2+2x+3=（x1） 2+4列表得：X 1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0图象如右（2）由x 2+2x+3=0，得：x 1=1，x 2=3抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） y=x2+2x+3=（x1） 2+4抛物线顶点坐标为（1，4） （3）由图象可知：当1 x 3 时，抛物线在 x 轴上方（4）由图象可知：当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小点评： 考查从图象中读取信息的能力考查二次函
23、数的性质及图象画法16已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是 y= x 22x ；（2）当 x= 3 或 1 时，y=3；（3）根据图象回答：当 x 0 或2 时，y0考点： 二次函数的图象分析： （1）易知顶点为（1，1） ；那么可设顶点式 y=a（x 1） 21 再把（0，0）代入求 a（2）把 y=3 代入抛物线解析式即可（3）函数值大于 0，指 x 轴上方的函数图象所对应的 x 的取值解答： 解：（1）由图可知顶点坐标为（1，1） ，设 y=a（x 1） 21，把点（0，0）代入，得 0=a1，即 a=1，所以 y=（x 1） 21=x22x（
24、2）当 y=3 时，x 22x=3，解得 x=3 或 x=1（3）由图可知，抛物线与 x 轴两交点为（0，0） ， （2，0） ，开口向上，所以当 x0 或 x2 时，y0点评： 本题考查用待定系数法求二次函数解析式；会根据所给的函数值得到相应的自变量的值及取值17分别在同一直角坐标系内，描点画出 y= x2+3 与 y= x2 的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标考点： 二次函数的图象分析： 根据抛物线的解析式求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标则可画出图象解答： 解：抛物线 y= x2+3 的开口方向向上，顶点坐标是（0，3） ，对称轴是 y 轴，且经过点（3，6）和（3 ，6
25、 ）抛物线 y= x2 的开口方向向上，顶点坐标是（0，0） ，对称轴是 y 轴，且经过点（3，3）和（3，3）则它们的图象如图所示：点评： 本题考查了二次函数的图象熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等18函数 y=2（x 1） 2+k（k0）的图象与函数 y=2x2 的图象有什么关系？请作图说明考点： 二次函数的图象分析： 建立平面直角坐标系，然后作出函数 y=2x2 的图象，再确定出函数 y=2（x 1） 2+k 的顶点位置，然后作出图形解答即可解答： 解：如图，函数 y=2（x1） 2+k（k0）的图象由函数 y=2x2 的图象向右平移一个单位，向上平移k 个单位得到
26、点评： 本题考查了二次函数图象，从顶点的变化考虑函数图象的关系更简便19在同一直角坐标系中画出二次函数 y= x2+1 与二次函数 y= x21 的图形（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点考点： 二次函数的图象分析： 根据二次函数图象，可得二次函数的性质解答： 解：如图：，（1）y= x2+1 与 y= x21 的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是 y 轴，y= x2+1 与 y= x21 的不同点是：y= x2+1 开口向上，顶点坐标是（0，1） ，y= x21 开口向下，顶点坐标是（0，1 ） ；
27、（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y= x2+1 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；y= x21 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小点评： 本题考查了二次函数的图象，利用了二次函数图象与性质，a0 图象开口向上，对称轴左侧，y随 x 的增大而减小，对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大；a0 图象开口向下，对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小20在同一直角坐标系中作出 y=3x2 和 y=3x2 的图象，并比较两者的异同考点： 二次函数的图象分析： 根据二次函数解析式符合 y=ax2 得出图象，进而得出图象的异同即可解答： 解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同点评： 此题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解题关键
