1、- 1 -圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题例 1 已知 x， y 满足 x2 y50，则( x1) 2( y1) 2的最小值为_破题切入点 直接用几何意义距离的平方来解决，另外还可以将 x2 y5 0 改写成 x52 y，利用二次函数法来解决解析 方法一 ( x1) 2( y1) 2表示点 P(x， y)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可知点 P 在直线 l： x2 y50 上，所以 PQ 的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d ，所以( x1) 2( y1) 2的最小值为 d2 .|1 21 5|1 22 255 45方法二 由 x2
2、y50，得 x52 y，代入( x1) 2( y1) 2并整理可得(52 y1) 2( y1) 24( y2) 2( y1) 25 y218 y175( y )2 ，所以可得最小值为 .95 45 45题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例 2 直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、 B 两点当 OA OB 最小时， O 为坐标原点，求l 的方程破题切入点 设出直线方程，将 OA OB 表示出来，利用基本不等式求最值解 依题意， l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k，则 y4 k(x1)( k0)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A
3、， B， O 是坐标原点，且有| | | |，那么OA OB 33 AB k 的取值范围是_破题切入点 结合图形分类讨论- 2 -解析 当| | | |时， O， A， B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中 OA OB， AOB120，从而圆心 O 到OA OB 33 AB 直线 x y k0( k0)的距离为 1，此时 k ；当 k 时，| | | |，又直线与圆 x2 y24 存在两交点，2 2 OA OB 33 AB 故 k2 ，综上， k 的取值范围是 ，2 )2 2 2【总结提高】 (1)主要类型：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值过圆内一定点的
4、直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值已知圆上的动点 Q(x， y)，求与点 Q 的坐标有关的式子的最值，如求 ax by， 等的最值，转化为直线与圆的ax bycx dy位置关系(2)解题思路：数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解(3)注意事项：准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形1若
5、动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为_解析 依题意知， AB 的中点 M 的集合是与直线 l1： x y70 和 l2： x y50 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在直线的方程为 l： x y m0，根据平行线间的距离公式得 |m7| m5| m6，即 l： x y60，根据点到直线的距离公式，|m 7|2 |m 5|2得 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 22已知点 M 是直线 3x4 y20 上的动点，点 N 为圆( x1) 2( y1) 21
6、 上的动点，则 MN 的最小值是_解析 圆心(1，1)到点 M 的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离 d ，故点 N 到点 M 的距| 3 4 2|5 95- 3 -离的最小值为 d1 .453已知 P 是直线 l：3 x4 y110 上的动点， PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是_答案 3解析 如图所示，圆的标准方程为( x1) 2( y1) 21，圆心为 C(1,1)，半径为 r1.根据对称性可知四边形 PACB 面积等于 2S APC2 PAr PA，12故 PA 最小时，四边形 PACB 的面积最小，由于
7、PA ，PC2 1故 PC 最小时， PA 最小，此时，直线 CP 垂直于直线 l：3 x4 y110，故 PC 的最小值为圆心 C 到直线 l：3 x4 y110的距离 d 2，所以 PA .故四边形 PACB 面积的最小值为 .|3 4 11|32 42 105 PC2 1 22 1 3 34(2013江西改编)过点( ，0)引直线 l 与曲线 y 相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最2 1 x2大值时，直线 l 的斜率为_答案 33解析 S AOB OAOBsin AOB sin AOB .12 12 12当 AOB 时， S AOB面积最大此时 O 到 AB
8、 的距离 d . 2 22设 AB 方程为 y k(x )(k0)，即 kx y k0.由 d ，得 k2 2|2k|k2 1 22.335过点 P(1,1)的直线，将圆形区域( x， y)|x2 y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_答案 x y20解析 由题意知，当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件圆心 O 与 P 点连线的斜率 k1，所以直线 OP 垂直于 x y20.6已知 Error!，直线 y mx2 m 和曲线 y 有两个不同的交点，它们围成的平面区域为 M，向区域 上随4 x2机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)，
9、若 P(M) ，则实数 m 的取值范围是_答案 0,1 22 ， 1解析 画出图形，不难发现直线恒过定点(2,0)，圆是上半圆，直线过(2,0)，(0,2)时，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)，此时 P(M) ， 22当直线与 x 轴重合时， P(M)1，故直线的斜率范围是0,17在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_- 4 -答案 43解析 可转化为圆 C 的圆心到直线 y kx2 的距离不大于 2.圆 C 的标准方程
10、为( x4) 2 y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到 kx y20 的距离应不大于 2，即 2.|4k 2|k2 1整理，得 3k24 k0，解得 0 k .43故 k 的最大值是 .438直线 l 过点(0，4)，从直线 l 上的一点 P 作圆 C： x2 y22 y0 的切线 PA， PB(A， B 为切点)，若四边形 PACB面积的最小值为 2，则直线 l 的斜率 k 为_答案 2解析 易知圆的半径为 1，因为四边形 PACB 的最小面积是 2，此时切线段长为 2，圆心(0,1)到直线 y kx4 的距离为 ，即 ，解得 k2.551 k2 59若直线 ax by1 过点 A(
11、b， a)，则以坐标原点 O 为圆心， OA 长为半径的圆的面积的最小值是_答案 解析 直线 ax by1 过点 A(b， a)， ab ab1. ab .12又 OA ，a2 b2以 O 为圆心， OA 为半径的圆的面积为S OA2( a2 b2)2 ab，面积的最小值为 .10与直线 x y40 和圆 A： x2 y22 x2 y0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是_答案 ( x1) 2( y1) 22解析 易知所求圆 C 的圆心在直线 y x 上，故设其坐标为 C(c， c)，又其直径为圆 A 的圆心 A(1,1)到直线x y40 的距离减去圆 A 的半径，即2r 2 r ，62 2
12、2 2即圆心 C 到直线 x y40 的距离等于 ，2故有 c3 或 c1，|2c 4|2 2结合图形当 c3 时圆 C 在直线 x y40 下方，不符合题意，故所求圆的方程为( x1) 2( y1) 22.11已知点 P(x， y)是圆( x2) 2 y21 上任意一点- 5 -(1)求点 P 到直线 3x4 y120 的距离的最大值和最小值；(2)求 的最大值和最小值y 2x 1解 (1)圆心 C(2,0)到直线 3x4 y120 的距离为 d .|3 2 40 12|32 42 65所以点 P 到直线 3x4 y120 的距离的最大值为 d r 1 ，65 115最小值为 d r 1 .
13、65 15(2)设 k ，y 2x 1则直线 kx y k20 与圆( x2) 2 y21 有公共点， 1， k ，| 3k 2|k2 1 3 34 3 34 kmax ， kmin .3 34 3 34即 的最大值为 ，最小值为 .y 2x 1 3 34 3 3412(2014苏州模拟)已知圆 M 的方程为 x2 y22 x2 y60，以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切(1)求圆 O 的方程；(2)圆 O 与 x 轴交于 E， F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 DE， DO， DF 成等比数列，求 的取值范围DE DF 解 (1)圆 M 的方程可整理为( x1) 2( y1)
14、 28，故圆心 M(1,1)，半径 R2 .圆 O 的圆心为 O(0,0)，因为 MO 2 ，2 2 2所以点 O 在圆 M 内，故圆 O 只能内切于圆 M.设圆 O 的半径为 r，因为圆 O 内切于圆 M，所以 MO R r，即 2 r，解得 r .2 2 2所以圆 O 的方程为 x2 y22.(2)不妨设 E(m,0)， F(n,0)，且 mn.故 E( ，0)， F( ，0)2 2设 D(x， y)，由 DE， DO， DF 成等比数列，得 DEDF DO2，即 x2 y2，x 22 y2 x 22 y2整理得 x2 y21.而 ( x， y)， ( x， y)，DE 2 DF 2所以 ( x)( x)( y)( y)DE DF 2 2 x2 y222 y21.由于点 D 在圆 O 内，故有Error!得 y2 ，12所以12 y210，即 1,0)DE DF
