与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案.doc

1、1与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案 姓名 1. 在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限内一点，且 AC=2设 tanBOC=m ，则 m 的取值范围是_ _2. 如图，在边长为 1 的等边OAB 中，以边 AB 为直径作D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线 AC 交O 于点E，BC= a，AC=b （1）求证：AE=b+ a；（2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是关于 x 的方程：x 2+ ax=b2+ ab 的一个根，求 m 的取值范围3. 如图，BAC=60，

2、半径长为 1 的圆 O 与BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的最大值为( ).A3 B6 C D3232BACMD4.如图，A 点的坐标为（2， 1） ，以 A 为圆心的A 切 x 轴于点 B，P（m，n）为 A 上的一个动点，请探索 n+m 的最大值5.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是 .6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，O

3、 的直径 AB=5，AB 的不同侧有定点 C 和动点P，tanCAB = 其运动过程是：点P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q（1）当 PC= 时，CQ 与 O 相切；此时 CQ= （2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长（4）在点 P 的运动过程中，线段 CQ 长度的取值范围为 。37.如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB= ，D 是线段 BC 上的一个动点，以2AD 为直径作O 分别交 AB， AC 于 E，F 两点，连接 EF，则线段 EF 长度的

4、最小值为 8.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合） ，M 是 CD的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 CD=3，AB=8，则 PM 长度的最大值是 9如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为x（2x4） ，则当 x= 时，PD CD 的值最大，且最大值是为 .4ODCEA BE BAC OD10如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点，以 AC、BC 为边作等边ACD 和

5、等边BCE，O 外接于CDE，则O 半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 2233211在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画O ，P 是O 上一动点，且P 在第一象限内，过点 P 作 O 的切线与 轴相交于点 A，与 轴相交于点 B，线段 AB 长xy度的最小值是 .12如图，在 RtABC 中，C =90，AC=6，BC=8 ，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 CD 的垂线交直线 BC 于点 E，则线段 CE 长度的最小值是 .13如图，RtABC 中，C =90，A=30，AB=4，以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作O，若O 与边 BC 始终有

6、交点（包括 B、C 两点） ，则线段 AO 的取值范围是 .5OABC14如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ切 O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ）A B C3 D215.（2015 济南）抛物线 y=ax2+bx+4（a0）过点 A（1，1） ，B（5， 1） ，交 y 轴于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，连接 CB，以 CB 为边作CBPQ，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标；（3）如图 2，O 1 过点 A、B、C 三点，AE 为直

7、径，点 M 为 上的一动点（不与点 A，E重合） ，MBN 为直角，边 BN 与 ME 的延长线交于 N，求线段 BN 长度的最大值6OABDCP16.如图，已知 A、B 是O 与 x 轴的两个交点， O 的半径为 1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线 PA、PB 分别交直线 x=2 于 C、D 两点，E 为线段 CD 的中点（1）判断直线 PE 与O 的位置关系并说明理由；（2）求线段 CD 长的最小值；（3）若 E 点的纵坐标为 m，则 m 的范围为 717如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作D，P 为D 上的一

8、个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)2153581748CA D BQPOADB CEFAQCPB18如图，在 RtABC 中，C=90，AC =8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是( ).A B C 5 D194244219如图，在等腰 RtABC 中，C =90，AC=BC =4，D 是 AB的中点，点 E 在 AB 边上运动（点 E 不与点 A 重合） ，过A、D、E 三点作 O，O 交 AC 于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线段 EF 长度的最小值为

9、 20如图，等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=4 ，C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB 上，PQ 切O 于点 Q，则切线长 PQ 长度的最小值为( ). A. B. C. 3 72D.421在平面直角坐标系中，M（3，4） ，P 是以 M 为圆心， 2 为半径的M 上一动点，A（-1，0） 、B（1，0） ，连接 PA、PB，则 PA2+PB2 最大值是 .9参考答案引例 1. 解：C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当 OC 与圆 A 相切（即到 C 点）时，BOC 最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC= ，BOA=ACO=90，BOC+AOC=90，

10、CAO+AOC=90，BOC=OAC，tanBOC=tan OAC= ，随着 C 的移动，BOC 越来越大， C 在第一象限，C 不到 x 轴点，即BOC90，tanBOC ，故答案为：m 引例 1 图 引例 2 图引例 2. ；2ab原题：（2013武汉模拟）如图，在边长为 1 的等边OAB 中，以边 AB 为直径作D，以O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线 AC 交 O于点 E，BC= a，AC=b （1）求证：AE=b+ a；（2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是关于 x 的方程：x 2+ ax=b2+ ab 的一个根，求 m 的

11、取值范围【考点】圆的综合题10【分析】 （1）首先连接 BE，由 OAB 为等边三角形，可得AOB=60，又由圆周角定理，可求得E 的度数，又由 AB 为D 的直径，可求得 CE 的长，继而求得 AE=b+ a；（2）首先过点 C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由 x2+ ax=b2+ ab，可得（xb） （x +b+ a）=0 ，则可求得 x 的值，继而可求得m 的取值范围【解答】解：（1）连接 BE，OAB 为等边三角形，AO

12、B=60，AEB =30，AB 为直径，ACB=BCE=90，BC=a， BE=2a，CE= a，AC =b，AE=b+ a；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中，BC=a，AC=b，AB=1，a 2+b2=1，SABC= ACBC= ABCH， ACBC=ABCH，（ a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2， a+b ，故 a+b 的最大值为 ，（3）x 2+ ax=b2+ ab， x2b2+ ax ab=0，（x+b） （x b）+ a（xb）=0，（ xb） （x +b+ a）=0，x=b 或 x=（b+ a）

13、 ，当 m=b 时，m=b=ACAB=1，0m 1，当 m=（ b+ a）时，由（1 ）知 AE=m，又ABAE2AO =2， 1m2，2m1，m 的取值范围为 0m1 或2m1【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用引例 3. 解：连接 EP，DP ，过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M，过 O 做 OFAC 与 F，连接AO，如图，BAC=60 ，DPE=120 PE=PD，PMDE，EPM=60 ，ED=2EM=2EPsin60= EP= PA当 P 与 A、O 共线时，且在 O 点

14、右侧时，P 直径最大O 与 BAC 两边均相切，且BAC =60，OAF=30，OF=1，11AO= =2，AP=2+1=3，DE= PA=3 故答案为：D。【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出 DE 与 AP 之间的关系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题，难点在于找到 DE 与半径 AP之间的关系，只有找到 DE 与 AP 之间的关系，才能说明当 A、O 、P 三点共线时 DE 最大引例 3 图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质 【专题】探究型【分析】设 m+n=k，则点 P（m ，n）在直线 x+y=k 上，易得直线 y=x+k 与 y

15、轴的交点坐标为（0，k） ，于是可判断当直线 y=x+k 与A 在上方相切时，k 的值最大；直线 y=x+k与 x 轴交于点 C，切A 于 P，作 PDx 轴于 D，AEPD 于 E，连接 AB，如图，则C（k， 0） ，利用直线 y=x+k 的性质易得PCD=45，则PCD 为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得ABOB，AP PC，AP =AB=1，CP =CB=k+2，所以四边形 ABDE 为矩形，APE=45，则 DE=AB=1，PE= AP= ，所以PD=PE+DE= +1，然后在 RtPCD 中，利用 PC= PD 得到 2+k= （ +1） ，解得k= 1，从而得到

16、n+m 的最大值为 1【解答】解：设 m+n=k，则点 P（m ，n）在直线 x+y=k 上，当 x=0 时，y=k，即直线y=x+k 与 y 轴的交点坐标为（0，k） ，所以当直线 y=x+k 与A 在上方相切时，k 的值最大，直线 y=x+k 与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 PDx 轴于 D，AEPD 于 E，连接 AB，如图，当 y=0 时， x+k=0，解得 x=k，则 C（k，0） ，直线 y=x+k 为直线 y=x 向上平移 k 个单位得到，PCD=45，PCD 为等腰直角三角形，CP 和 OB 为 A 的切线，ABOB，APPC，AP=AB=1，CP= CB=k+2，

17、四边形 ABDE 为矩形，APE=45，DE=AB=1，12APE 为等腰直角三角形，PE= AP= ，PD =PE+DE= +1，在 RtPCD 中，PC= PD， 2+k= （ +1） ，解得 k= 1， n+m 的最大值为 1【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题解决本题的关键是确定直线 y=x+k 与A 相切时 n+m 的最大值例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1. 解：作 AB 的中点 E，连接 EM、CE在直角ABC 中，AB= =5，E 是直角ABC 斜边 AB 上

18、的中点，CE= AB= M 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点，ME= AD=1 在CEM 中， 1CM +1，即 CM 故答案是： CM 2.（1） ；（2） ；234CD13变式题：（2011邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，O 的直径AB=5，AB 的不同侧有定点 C 和动点 P，tan CAB= 其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q（1）当 PC= 时，CQ 与 O 相切；此时 CQ= （2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ

19、的长13【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形【专题】计算题【分析】 （1）当 CQ 为圆 O 的切线时，CQ 为圆 O 的切线，此时 CP 为圆的直径，由 CQ垂直于直径 CP，得到 CQ 为切线，即可得到 CP 的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形 CPQ 中，利用锐角三角函数定义即可求出 CQ的长；（2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，如图 1 所示，此时 CPAB 于 D，由 AB 为圆O 的直径，得到ACB 为直角，在直角三角形 ACB 中，由 tanCAB 与 AB 的长，利用锐角三角函数定义求出 AC 与 BC 的长，再由

20、三角形 ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高 CD 的一半来求，求出 CD 的长，得到 CP 的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到 tanCPB 的值，由 CP 的长即可求出 CQ；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，如图 2 所示，过点 B 作 BEPC 于点 E，由 P 是弧 AB的中点，得到PCB =45，得到三角形 EBC 为等腰直角三角形，由 CB 的长，求出 CE 与BE 的长，在直角三角形 EBP 中，由CPB =CAB，得到 tanCPB=tanCAB，利用三角函数定义求出 PE 的长，由 CP+PE 求出 CP

21、的长，即可求出 CQ 的长【解答】解：（1）当 CP 过圆心 O，即 CP 为圆 O 的直径时，CQ 与O 相切，理由为：PCCQ，PC 为圆 O 的直径， CQ 为圆 O 的切线，此时 PC=5； CAB=CPQ，tanCAB=tanCPQ= ， tanCPQ= = = ，则 CQ= ；故答案为：5； ；（2）当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时，如图 1 所示，此时 CPAB 于 D，14图 1 图 2又 AB 为O 的直径，ACB=90，AB=5，tan CAB= ，BC=4，AC=3 ，又 SABC= ACBC= ABCD， ACBC=ABCD，即34=5CD，CD = ，PC

22、=2CD= ，在 RtPCQ 中， PCQ=90，CPQ= CAB，CQ =PCtanCPQ= PC， CQ= = ；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，如图 2 所示，过点 B 作 BEPC 于点 E，P 是弧 AB 的中点， PCB=45， CE=BE=2 ，又 CPB=CAB，tan CPB=tanCAB= ，PE= = BE= ，PC =CE+PE=2 + = ，由（2）得，CQ= PC= 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键再变式：如图 3 时，CQ 最长。图 3例三、正弦定理1.

23、 EF 的长度由圆 O 的半径决定。解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H，在 RtADB 中，ABC=45，AB=215AD=BD=2，即此时圆的半径为 1，由圆周角定理可知 EOH= EOF=BAC=60，在RtEOH 中，EH= OEsinEOH=1 = ，由垂径定理可知 EF=2EH= ，故答案为：例三 1 答图 例三 2 答图2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理【分析】当 CDAB 时，PM 长最大，连接 OM，OC，得出矩形 CPOM，推出 PM=OC，求出 OC 长即可【解

24、答】解：法：如图：当 CDAB 时，PM 长最大，连接 OM，OC，CDAB，CPCD， CPAB， M 为 CD 中点，OM 过 O，OM CD，OMC=PCD=CPO=90，四边形 CPOM 是矩形， PM=OC，O 直径 AB=8，半径 OC=4，即 PM=4，故答案为：4法：连接 CO，MO，根据CPO= CM0=90，所以 C，M ，O，P，四点共圆，且 CO 为直径连接 PM，则 PM 为E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，所以 PM=CO=4 时PM 最大即 PMmax=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的 CD 的位

25、置，题目比较好，但是有一定的难度例四、柯西不等式、配方法1. 过 O 作 OEPD，垂足为 E，PD 是O 的弦，OEPD，PE =ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形 OACE 为矩形，CE=OA=2，又 PC=x，PE=ED=PCCE=x2， PD=2（x 2） ，CD =PCPD=x2（x 2）=x2x+4=4 x，PDCD=2（x2）（4x ）= 2x2+12x16=2（x 3） 2+2，2x4，当 x=3 时，PD CD 的值最大，最大值是 216E BAC OD第 1 题答图 第 2 题答图2. 解：如图，分别作A 与B 角平分线，交点为 PACD 和BCE 都是等边三角形

26、， AP 与 BP 为 CD、CE 垂直平分线又 圆心 O 在 CD、CE 垂直平分线上，则交点 P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点连接 OC若半径 OC 最短，则 OCAB又 OAC=OBC=30，AB=4，OA =OB，AC=BC=2， 在直角AOC 中，OC= ACtanOAC=2tan30= 故选：B 3. 解：（1）线段 AB 长度的最小值为 4，理由如下：连接OP，AB 切O 于 P，OP AB，取 AB 的中点 C， AB=2OC；当OC=OP 时，OC 最短，即 AB 最短，此时 AB=4故答案为：4（3 题答图）例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1. 求

27、CE 最小值，就是求半径 OD 的最小值，当 ODAB 时 OD 最短。2. ；43OA3. 【考点】切线的性质 【专题】压轴题【分析】因为 PQ 为切线，所以 OPQ 是 Rt又 OQ 为定值，所以当 OP 最小时，PQ 最小根据垂线段最短，知 OP=3 时 PQ 最小根据勾股定理得出结论即可17【解答】解：PQ 切O 于点 Q，OQP=90，PQ 2=OP2OQ2，而OQ=2， PQ2=OP24，即 PQ= ，当 OP 最小时， PQ 最小，点 O 到直线 l 的距离为 3，OP 的最小值为 3， PQ 的最小值为 = 故选 B【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定

28、 PQ 最小时点 P 的位置是解题的关键，难度中等偏上例五、其他几何知识的运用1. 解：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：抛物线得解析式为 y=x26x+4（2）如图所示：设点 P 的坐标为 P（m，m 26m+4） ，平行四边形的面积为 30，SCBP=15，即： SCBP=S 梯形 CEDPSCEBSPBD m（ 5+m26m+4+1） 55 （m 5） （m 26m+5）=15化简得：m 25m6=0，解得： m=6，或 m=1m 0，点 P 的坐标为（6，4） （3）连接 AB、E BAE 是圆的直径， ABE=90ABE=MBN又EAB =EMB，EABNMB

29、A（1，1） ，B（5，1） ，点 O1 的横坐标为 3，将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4，点 C 的坐标为（0，4） 设点 O1 的坐标为（3，m ） ，O1C=O1A， ，解得：m=2，点 O1 的坐标为（ 3，2） ，18O1A= ，在 RtABE 中，由勾股定理得：BE= =6， 点 E 的坐标为（5，5） AB=4，BE=6EABNMB， NB= 当 MB 为直径时，MB 最大，此时 NB 最大MB=AE=2 ，NB= =3 2. 【考点】圆的综合题 【专题】综合题【分析】 （1）连接 OP，设 CD 与 x 轴交于点 F要证 PE 与O 相切，只需证OPE=90，只需证OP

30、B+EPD =90，由 OP=OB 可得OPB= OBP=FBD，只需证EPD=EDP ，只需证 EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题（2）连接 OE，由于 PE= CD，要求线段 CD 长的最小值，只需求 PE 长的最小值，在RtOPE 中，OP 已知，只需求出 OE 的最小值就可（3）设O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q，由图可知：点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点 E 的纵坐标越来越小，而点 P 在点 Q 时，点 E 的纵坐标为 1，由此就可得到 m 的范围【解答】解：（1）直线 PE 与 O 相切证明：连接 OP，设 CD 与 x 轴交于点 F

31、AB 是O 的直径，APB=CPD=90E 为 CD 的中点，PE=CE=DE= CD，EPD=EDPOP =OB，OPB= OBP=DBFDBF+EDB=90，OPB+EPD=OPE=90，EPOPOP 为O 的半径，PE 是O 的切线（2）连接 OE，OPE =90，OP =1，PE 2=OE2OP2=OE21当 OECD 时，OE=OF=2，此时 OE 最短，PE 2 最小值为 3，即 PE 最小值为 ， PE= CD，线段 CD长的最小值为 2 （3）设O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q，19由图可知：点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点 E 的纵坐标越来越小，当点 P 在点

32、Q 时，由 PEOP 可得点 E 的纵坐标为 1点 P 是圆上第一象限内的一个动点，m 的范围为m1【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求 PE 的最小值转化为求 OE 的最小值是解决第（2）小题的关键【题型训练】1. 解：连接 OB如图 1，AB 切O 于 B，OA AC，OBA=OAC=90，OBP+ABP=90， ACP+APC=90，OP =OB，OBP=OPB ，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC ，作出线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OEMN，如图 2，OE= AC= AB= ，又 圆 O 与直线

33、 MN 有交点，OE =r， 2r，即：100r 24r2，r 220， r2 OA=10，直线 l与 O 相离，r10，2 r10故答案为： 2 r10【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度2.原题：（2004无锡）已知：如图，Rt ABC 中，B=90，A=30，BC=6cm点 O 从 A点出发，沿 AB 以每秒 cm 的速度向 B 点方向运动，当点 O 运动了 t 秒（t 0）时，以O 点为圆心的圆与边 AC 相切于点 D，与边 AB

34、相交于 E、F 两点过 E 作 EGDE 交射线BC 于 G（1）若 E 与 B 不重合，问 t 为何值时，BEG 与 DEG 相似？20（2）问：当 t 在什么范围内时，点 G 在线段 BC 上？当 t 在什么范围内时，点 G 在线段BC 的延长线上？（3）当点 G 在线段 BC 上（不包括端点 B、C）时，求四边形 CDEG 的面积 S（cm 2）关于时间 t（秒）的函数关系式，并问点 O 运动了几秒钟时，S 取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定【专题】综合题；压轴题；分类讨论【分析】 （1）连接 OD，DF那么 ODAC，则 AOD=60，AED=

35、30 由于DEG=90，因此BEG=60，因此本题可分两种情况进行讨论：当EDG=60， DGE=30时， BGD=BGE+EGD=60这样BGD 和ACB 相等，那么 G 和 C 重合当DGE=60时，可在直角 AOD 中，根据A 的度数和 AO 的长表示出 AD 的长，也就能表示出 CD 的长，由于A= AED=30，那么 AD=DE，可在直角 DEG 中，用 AD 的长表示出 DG，进而根据 DGAB 得出的关于 CD，AD，DG，AB 的比例关系式即可求出此时t 的值（2）本题可先求出 BG 的表达式，然后令 BGBC ，即可得出 G 在 BC 延长线上时 t 的取值范围（3）由于四边

36、形 CGED 不是规则的四边形，因此其面积可用ABC 的面积 ADE 的面积BEG 的面积来求得在前两问中已经求得 AD，AE，BE，BG 的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出 S，t 的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出 S 的最大值及对应的 t 的值【解答】解：（1）连接 OD，DF AC 切O 于点 D，ODAC 在 RtOAD 中，A=30，OA= t， OD=OF= t，AD=OA cosA= 又 FOD=9030=60，21AED=30， AD=ED= DEEG， BEG=60，BEG 与DEG 相似B= GED=90，当EGD=30，CE=2BE=

37、2（6 t）则BGD=60=ACB，此时 G 与 C 重合，DE=AD，CD=12 ，BE=6 t， BEGDEC， =， = ，t= ；当EGD=60DGBC，DGAB 在 RtDEG 中，DEG=90，DE= ，DG = t在 RtABC 中， A=30，BC=6，AC =12，AB=6 ，CD=12 DGAB， 解得 t= 答：当 t 为 或 时，BEG 与 EGD 相似；（2）AC 切O 于点 D，ODAC在 RtOAD 中，A=30，OA= t，AED=30，DEEG，BEG=60 在 RtABC 中，B=90，A=30 ，BC=6，AB =6 ，BE=6 tRtBEG 中，BEG=

38、60，BG= BEtan60=18 t当 018 t6，即t4时，点 G 在线段 BC 上；当 18 t6，即 0t 时，点 G 在线段 BC 的延长线上；（3）过点 D 作 DMAB 于 M在 RtADM 中，A=30， DM= AD= tS=SABCSAEDSBEG=36 t227 t= （t ） 2+ （ t4） 所以当 t= 时， s 取得最大值，最大值为 22【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点3.D；4. 解：当 P 点移动到平行于 OA 且与 D 相切时，AOP 面积的最大，如图，P 是 D 的切线，

39、DP 垂直与切线，延长 PD 交 AC 于 M，则 DMAC，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，AC = =5，OA = ，AMD=ADC=90，DAM=CAD，ADMACD， = ，AD=4，CD=3，AC =5，DM = ，PM =PD+DM=1+ = ，AOP的最大面积= OAPM= = ，故选 D（4 题答图） （5 题答图）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出 P 处于什么位置时面积最大；5. 解：如图，设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD、CF、CD，则FDAB

40、ACB=90，AC =8，BC=6，AB=10，FC+FD= PQ，FC+FDCD，当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时，PQ =CD 有最小值，CD=BCACAB=4.8故选：B 6. ；27. 解：若ABE 的面积最小，则 AD 与C 相切，连接 CD，则 CDAD；RtACD 中，CD=1，AC= OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2 ；23SACD= ADCD= ；易证得 AOEADC， =（ ） 2=（ ） 2= ，即 SAOE= SADC= ；S ABE=SAOBSAOE= 22 =2 ；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C（7 题答图

41、） （8 题答图）8. 解：当射线 AD 与C 相切时， ABE 面积的最大连接 AC，AOC=ADC=90，AC=AC，OC=CD， RtAOCRtADC，AD=AO=2，连接 CD，设 EF=x，DE 2=EFOE，CF=1， DE= ，CDEAOE， = ，即 = ，解得 x= ，S ABE= = = 故选：B【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线 AD 与C 相切时， ABE 面积的最大9. 解：当 PCAB 时，PQ 的长最短在直角 ABC 中，AB= = =4 ，PC= AB=2 PQ 是C 的切线，CQ PQ，即CQP =90，PQ

42、= = = 故选 A【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PCAB 时，线段 PQ 最短是关键（9 题答图） （10 题答图）10. 解：连接 AO 并延长，与 ED 交于 F 点，与圆 O 交于 P 点，此时线段 ED 最大，连接 OM，PD，可得 F 为 ED 的中点， BAC=60，AE=AD，AED 为等边三角形，AF 为角平分线，即FAD=30，在 RtAOM 中，OM=1， OAM=30，OA =2，24PD=PA=AO+OP=3，在 RtPDF 中，FDP=30，PD=3， PF= ，根据勾股定理得：FD= = ，则 DE=2FD=3 同理可

43、得： DE 的最小值为 ，23。23DE11. ；12. ；15mn0113. 解：设 P（x ，y ） ，PA 2=（x +1） 2+y2，PB 2=（x 1） 2+y2，PA2+PB2=2x2+2y2+2=2（x 2+y2）+2 ，OP 2=x2+y2，PA 2+PB2=2OP2+2，当点 P 处于 OM与圆的交点上时，OP 取得最值， OP 的最大值为 OM+PM=5+2=7，PA 2+PB2 最大值为100【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点 P 坐标，将所求代数式的值转化为求解 OP 的最大值，难度较大25附：1.如图，直线 分别与 x、y 轴交于点 A、B，以 OB

44、为直径作M，M 与直线 AB 的另一个交点为 D（1）求BAO 的大小；（2）求点 D 的坐标；（3）过 O、D、A 三点作抛物线，点 Q 是抛物线的对称轴 l 上的动点，探求： |QOQD|的最大值【考点】一次函数综合题 【专题】压轴题【分析】 （1）根据直线解析式求出点 A、B 的坐标，从而得到 OA、OB 的长度，再求出BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）连接 OD，过 D 作 DEOA 于点 E，根据直径所对的圆周角是直角可得 BDO=90，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 OD，直角三角形两锐角互余求出DOE =60，然后解直角三角形求出

45、 OE、DE，再写出点 D 的坐标即可；（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为 OA 的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点 Q 为 OD 与对称轴的交点时| QOQD|=OD 的值最大，然后求解即可【解答】解：（1）直线 y= x+4 分别与 x、y 轴交于点 A、B，当 y=0 时， x+4=0，解得 x=4 ；当 x=0 时，y=4，A（4 ，0） ，B（0，4） OA=4 ，OB=4 ，在 RtAOB 中，tan BAO= = = ，BAO=30；（2）连接 OD，过 D 作 DEOA 于点 E，OB 是M 的直径，BDO=ADO=90 ，在 RtAOD 中， BAO=30， OD= OA= 4 =2 ，DOE=60，在 RtDOE 中，OE=ODcosDOE=2 = ，DE=ODsinDOE =2 =3，点 D 的坐标为（ ，3） ；（3）易知对称轴 l 是 OA 的垂直平分线，延长 OD 交对称轴 l 于点 Q，此时| QOQD|=OD的值最大，理由：设 Q为对称轴 l 上另一点，连接 OQ，