1、第十二章 机械振动一、选择题（在下列各题中，均给出了 4 个5 个答案，其中有的只有 1 个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1. 在关于简谐运动的下列说法中，正确的是：（ ）A质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐运动；B一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动；C物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动；D若一物理量 Q 随时间的变化满足微分方程 ，则此物理量 Q 作简0d2Qt谐运动（ 是由振动系统本身的性质决定的常量） ；E. 篮球运动员运球过程中，篮球作简谐运
2、动。 解：选（B、D） 。 因为一质点作简谐运动必须受到个恒指向平衡位置，且与位移成正比的弹性力（或准弹性力）的作用。 根据牛顿第二定律，小球在运动时受到 回复力的作用，依题意，sinmgF（式中 R 为凹球面半径） ，即回复力为 ，满足简谐运动动ytansi yR力学判据。简谐运动不仅是来回往复运动，而且应满足位移随时间是按正弦（或余弦）规律变化的。 简谐运动的运动学特征是 ，所以，物理量 Q 的微分方程0d2yt满足简谐运动运动学判据。0d2Qt篮球运动员运球过程中，篮球除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外，只受到始终向下的重力作用，不满足简谐运动动力学判据。 2. 一个沿 y 轴作简谐运动的
3、弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其运动方程用余弦函数表示。下面左侧是振子的初始状态，右侧列出了一些初相位值，试用连线的方法确定它们kmm 0y图 12-2的对应关系：A过 处向 y 轴正方向运动 A/. 初相位为2 43B过 处向 y 轴正方向运动 B/. 初相位为y C过平衡位置处向 y 轴正方向运动 C/. 初相位为 31D过 D/. 初相位为Ay0 2解：由题意可画出各种条件下的旋转矢量。3. 如图 12-2 所示的弹簧振子，当振动到最大位移处恰有一质量为 m0 的烂泥小球从正上方落到质量为 m 的物块上，并与物块粘在一起运动。则下述结论中正确的是：（ ） A振幅变小，周期变小；B振幅
4、变小，周期不变；C振幅不变，周期变大；D振幅不变，周期变小； 解：选（C） 。当振子正好在最大位移处时，烂泥小球落在物块上，根据动量守恒定律，在 y 方向有 0)(vm所以，小球不会影响振子在 y 方向上的状态，即不会影响振幅变化，有 。A由于周期是由振动系统自身性质所确定的，即 kmT2烂泥小球落在物块前后，振子的质量由 m 变化为（m + m0） ，因此相应的周期将发生变化，即泥球落下前： kT2泥球落下后： Tm04.已知弹簧振子的弹性系数为 1.3N/cm, 振幅为 2.4cm. 这一弹簧振子的机械能为（ ）y /mt/s60 2 4 6- 6图 12-3A. B. 27.4810J
5、21.870JC. D. 3解：选（C） 。由机械能守恒定律得222 21.310.43.7410EkAJ5. 一质点做谐振动，周期为 T,它由平衡位置沿 x 轴负方向运动到离最大负位移 1/2 处所需要的最短时间为（ ） A. T/4 B.T/12 C. T/6 D.T/8解：选 (B)。找旋转矢量转过的最小角度！ /621mTt6. 一质点作简谐运动，其振动方程为 ，则该物体在 时刻与)cos(tAy0t（T 为振动周期）时刻的动能之比为：（ ）8tA1:4； B1:2； C1:1； D2:1。 解：选（D） 。 已知振动方程为 ，则振动速度方程为)2cos(tAyindtv时， ，0tv
6、 22200 11kAmEk 时， ，8Tt TA)8sin(1 22211 4kmEk v则动能之比为 10E7. 一振动系统的振动曲线如图 12-3 所示，则其振动方程为：（ ）A ； )2cos(6tyB ；C ； )cs(tyD 。 2o6Oy 3A 1A 2A图 12-8(c)解：选（A） 。 从图 12-3 所示曲线得 ， ，m6As4T2还可知，当 t = 0 时， ， ，则由0y0v和cos0sin0得初相位为 2则振动方程为 )cs(6ty8. 一质点同时参与了两个方向同频率的简谐运动，其振动方程分别为：（SI）)34cos(1052ty（SI）6in32则其合振动方程为：（
7、 ）A （SI）)34cos(1082tyB （SI）6C （SI）)cs(2tyD （SI） 4o10解：选（C） 。 质点的同方向同频率的两个简谐运动方程分别为 )3cs(521ty64in032)324cos(102t合振动仍为简谐振动，其频率仍为分振动的频率 。两个简谐振动的相位差为 3212满足相干减弱条件，则合振幅为m0221A可由图 12-8(c)的旋转矢量得合振动的初相位为 31则合振动方程为 （SI）)34cos(102ty9.一单摆的周期恰好为 1s,它的摆长为（ ）A. 0.99m B. 0.25m C. 0.78m D. 0.5m解：选（B） 。 直接带公式 。2lTg
8、10. 一质点作简谐振动，频率为 , 则其振动动能的变化频率为 （ ） fA. B. C. D. 212f14f解：选(D)。)(sin202tAmvEK把上式写成余弦函数，频率变成原来的2 倍。二、填空1.设质点沿 x 轴作简谐振动，位移为 x1、x 2 时的速率分别为 v1、v 2，此质点振动的周期为 2 。21v解：由 得 ，所以有下式成立：cos()xAtsin()At11t1122cs()22si()vt从而： 1222xvxAA2. 如图 12-4 所示，垂直悬挂的弹簧振子由两根轻弹簧串接，则系统的振动周期 T = ；若物体 m 由平衡位置向下位移 y，则系统势能增量为21)(km
9、。pE)(21y解：两根轻弹簧串接的系统可用一个等效弹簧振子来描述。设该等效弹簧振子伸长 ，由于受力相同，而 k1、k 2 不同，则两弹簧的伸长量 和 就y 1y2不相同，且图 12-4y /c mt/s01471 01 31 05- 1 0图 12-5(a)O y01图 12-5(b)(1)21y设两弹簧受力为 F，则， ， (2)yk1k2k将式(2)代入式(1) ，得 21F则等效弹簧振子的劲度系数 k 应为 21k所以，等效弹簧振子的振动周期为 21)(kmT3. 当谐振子的振幅增大 2 倍时，它的周期不变，弹性系数不变，机械能增大 4 倍，速度最大值增大 2 倍，加速度最大值增大 2
10、 倍。4. 一简谐运动的振动方程用余弦函数表示，其 yt 曲线如图 12-5(a)所示，则此简谐振动的三个特征量为：A = 10 cm； rad/s； rad。63解： 由图 12-5 可知， cm10A当 时， ， ，可由如图 12-5(b)所示旋转矢量图得 0t50yv 30当 时， ， ，可由如图 12-5(b)所示旋转矢量图得 s110 21而 2311t则 625. 一质点作简谐运动，角频率为 ，振幅为 A。当 t0 时，质点位于 处，且20Ay向 y 正方向运动，则其运动方程为：y = ；)3cos(tA质点的速度 v 也作同频率的简谐运动，若仍以余弦函数表示，则速度 v 的初相位
11、为 ，速度的最大值为 A 。v6m解： 由题意知，当 t0 时， ，且 ，则有20y0v得 cos2Ay 3又由 ，知in0vin则得 3则运动方程为 )3cos(tAy又由于速度的初相位比位移初相位超前 ，即有2速度的初相位为 v6速度的最大值为 Am6. 一弹簧振子振动频率为 ，若将弹簧剪去一半，则此弹簧振子振动频率 和原有频率0 的关系 。002解：弹簧截去一半后剩余部分的劲度系数变为原来的 2 倍。弹簧振子的角频率公式：，所以在振子质量不变的条件下，弹簧的劲度系数变为原来的 2 倍后，km振子的固有频率变为原来的 倍。27. . 如图 12-6 所示，一弹簧振子置于光滑水平面上，静止于
12、弹簧原处，振子质量为m。现有一质量为 m0 的子弹以速度 v0 射入其中，并一起作简谐运动。如以此时刻作为计时起点，则初相位 ；振幅2A 。)(0kv解： 由于子弹与振子的碰撞满足动量守恒定律，则有，即 00)(vm00vm 图 12-6式中 为系统作简谐运动在 t = 0 时的初速度，也是系统速度最大值的负值，即 。0v mv0设速度方程为 ，则有 )cos(vtm vvcos0m得 则位移的初相位为 2v由于系统作简谐运动时满足机械能守恒定律，则有 2201)(1kAm系统的振幅 )(000 mkkA vv8. 作简谐运动的质点，t 时刻的相位分别为（a） ；（b） ； （c） ；（d）4
13、53。试在图 12-7 中画出对应的旋转矢量图。2分析与解题各条件下的旋转 矢量图如图 12-7 所示。9. 两个质点平行于同一直线并 排作同频率、同振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。则它们的相位差为；若将这两个分振动合成，则合振幅为 ；并在图 12-8 上用旋转矢32 A量表示此相位差和合振幅。 解：设这两个简谐运动方程分别为，)cos(11tAy )cos(22ty由题意知，当 时，也有 ，但运动方向相反。 2A即 时，应有31t 32t图 12-7 图 12-8则相位差为 212453x=Asin(t)0.6103.kEmv合振幅为 A 2cos2用旋转矢量表示的相位差和合振幅如图 12-8(b)所示。10. 一谐振子的质量为 ,周期 T=0.6s,振子经平衡位置的速度为 12cm/s,则再经 0.2s20mg后振子的动能为 3.610-5J解：振子由平衡位置开始计时，位移图像按正弦规律变化 ,速度按余弦规律变x=Asin(t)化，则再经 0.2s 后，即 T/3,由速度表达式知 =6,所以动能v=Acos(t)v2245110.360.1kEm图 12-8 (b)
