1、http:/ 不 等 式 模 型一、预备知识1二次函数的最大值（最小值）2基本不等式二、典型例题：例 1 在测量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使 n 得次测量分别得到 a 1, a 2, , a n , 共 n 个数据. 我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较, a 与各数据的差的平方和最小. 依此规定, 从 a 1, a 2, , a n 推出的 a = _.分析：建立目标函数 f (a) = (a a1) 2 + (a a 2 ) 2 + + (a a n) 2 .例 2 大楼共有 n 层，现每层指派一人，共 n 个人集中到第 k 层开会. 试
2、问如何确定 k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）.分析：设相邻两层楼梯长为 a ，则问题转化为下列和式 S 的最小值的探求：S = S（k) = a 1 +2 +3 + + (k1) + a 1 +2 + + （n k ) = a k 2 (n +1) k + (n 2 + n) .12=a(k )2+a(n+1)(2n+1)/4.1n目标函数 S（k) 为 k 的二次函数，且 a 0 ，故当 n 为奇数时，取 k = ，S 最小；n + 12当为 k 偶数时，取 k = 或 ，S 最小. n2 n + 22例 3 新购某电器价值 2.3 万元，自使
3、用之日至第 n 次大修共经过 1800（ ) 天，到大修nn + 1之日必须大修之后才能使用。每次大修的费用为 2 千元。使用者宣布该电器报废仍可由厂家回收而售得 3 千元。为了使开销与使用时间之比 Q 值最小，问使用者第几次大修时应宣布此电器已无大修必要而应报废售出?解：设大修 n 次，则开销与使用时间之比为 Q= )1(80323n= =n9)10(910)(nn=3 时，n+10/n=6.3; n=4 时，n+10/n=6.25,可知大修 3 次即可以宣布报废。例 4 某厂要生产一批无盖的圆柱形桶，每个桶的容积为立方米，用来做底的金属每平方米 30 元，做侧面的金属每平方米为 20 元，
4、如何设计圆桶尺寸，可以使成本最低？解：设桶的半径为 r(米） ，高为 h（米） ，则r2h= (1);成本 y=r230+2rh20=30r2+40r1/r2=30r2+40/r=30r2+20/4+20/r3 =30 ;031等号条件：30r 2=20/rr= /3 (米） 。38答：（略）例 5 某种冰激淋是用球型塑料壳包装的，有 60 克装和 150 克装两种规格。假设冰激淋售价 = （冰激淋成本 + 包装成本）（1 + 利润率） ，并且包装成本与球型外壳表面积成正比。已知 60 克装冰激淋售价为 1.5 元，其中冰激淋成本为 1 分/克，利润率为 25%，问在利润率不变的情况下，150
5、 克冰激淋应售价多少？两种规格中，哪种比较合算？（参考数据 2.71，球的表面积为 S = 4 r 2，体积为 V = r 3.)32043解：设 60 克的球形冰淇淋的体积为 V1，表面积为 S1,包装成本为 x1(元),150 克的球形冰淇淋的体积为 V2，表面积为 S2，包装成本为 x2 元，则 V1/V2=60/150=2/5（冰淇淋密度相同） ，S1/S2=(r1/r2)2,V1/V2=(r1/r2)3, S1/S2= = = =0.542,依题意：1.5=(0.6+x 1) （1 3)(530+25%）,可得：x 1=0.6, x 2/x1=S2/S1, x 2=S2/S1x1=0
6、.6/0.5421.1 150 克的冰淇淋的价格应为：(1.5+1.1) (1+25%)=3.25 元.要点：求出冰淇淋的包装价格。转化思路：重量体积面积 价格。http:/ 10 km时，燃料费为每小时 35 元，其余费用不随速度而变化，每小时为 560 元，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少？ （20km/小时，42 元 /千米） 设轮船的燃料费 u 与速度 v 之间的关系是:u=kv 3,由已知，v=10 时，u=35, 35=k 103 k=7/200;轮船行驶 1 千米的费用 y=u1/v+5601/v = v56012073=7v2/200+560/v=7v2/200+28
7、0/v+280/v =42 (元） ；38v等号条件：7v 2/200=280/v v=20(km/h)答：（略） 。2要在宽为 6 米的辅导室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高 h 是多少米时，才能使靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知电灯对课桌的 b照度 E = I cos b 2 ， I 为电灯的光度， h b，如图所示）3( h = 米）32 2解：E=Icos/b 2 ,且 bsin=3 b=3/sin, E=Icossin 2/9= 21sinco942I再利用平均不等式即可。等号条件：2cos 2=sin 2 ctg= /2此时 h=3 /2 (米)3汽车在行驶中，由于惯性作用
8、，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离” 。刹车距离是分析事故责任人的一个重要因素。在一个限速 40 千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场测得甲车的刹车距离略大于 12 米，乙车的刹车距离略大于 10 米，又知甲、乙两种车的刹车距离 S 与车速 x（千米/小时）之间的函数关系为：S 甲 =0.1x+0.01x2; S 乙 =0.05x+0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解：由 1230 (km/h);1040 (km/h);可见乙车超速。主要责任人是乙。4在我国西部某一地区，有四个农庄 A，B
9、，C，D 恰好坐落在边长为 2km 的正方形顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等， （如图）（1） 若道路网总长度不超过 5.5km,试求中心道长的取值范围；（2） 问中心道长为何值时，道路网的长度最短？解：(1)设中心道的长为 2xkm,(0x1),依题意，2x+4 5.5,范围为1/2,7/62)1(x(2)设 y=2x+4 ,y2+2 ,此时，x=1 /3, 中心长为 2(1 /3).2)1(x333http:/ 10%，并且这个比越大，住宅的采光标准条件越好，问同时增加相等的窗户面积与地板面
10、积，住宅的采光是变好了还是变坏了？请说明理由。 （变好）2某工厂年产值第二年比第一年增长百分率为 p1,第三年比第二年增长的百分率为 p2,第四年比第三年增长的百分率为 p3,若 p1+p2+p3=m,m 为常数，则年平均增长率 p 的最大值为( B )(A) (B) (C) (D) .3321p2131)(3213如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 千米，那么在 8 天之内它的行程就超过 2200千米；如果它每天行程比原来少 12 千米，那么它行驶同样的路程就得花 9 天多的时间，这辆汽车原来每天行程的千米数 x 满足：（ D ）(A)259x260 (B)258x260 (C)257
11、x260 (D)256x2604.某厂制定 2000 年某产品的生产计划，已有如下数据：生产此产品的现有工人人数为 400人，每个工人的年工时为 2200 小时，预测下一年的销售量在 10 万到 17 万箱之间，每箱需用料 10 千克，目前存料 1000 吨，今年另需用 1400 吨，到 2000 年底可补充 2000 吨，试根据上述数据确定 2000 年可能的生产量，并根据产量确定生产人数。解：由劳动力因素可得 4x4002200, x220000.由原料因素得：10x(1000 1400+2000)1000, x160000,由 2200y1600004,得 y291,故 2000 年的产量计划最多可定为 16 万箱，生产人数为 291 人。5有一种变压器，铁芯的截面呈正十字形，如图所示，为保证所需的磁通量，需要一定的截面积，如果要求正十字形的面积为 4 cm2,应如何设计正十字形的长 y 及宽 x，才能使正5十字形的外接圆周长最短， （从而使用来绕铁芯的铜线最省）？解：2xyx 2=4 ,d2=x2+y2=x2+52x=2 + ,当 x2=4, x=2,y= +1 时，)16(45d 最小，从而外接圆周长最短。xy
