1、 -684- 第二十八章 存贮论 存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早研究的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。 1 存贮模型中的基本概念 所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图 1 所示。 图 1 存贮问题基本模型 1存贮问题的基本要素 （ 1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D表示。 （ 2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用
2、Q表示。 （ 3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用 T 表示。 2存贮模型的基本费用 （ 1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，记为DC 。 （ 2） 存贮费： 所有用于存贮的全部费用， 通常与存贮物品的多少和时间长短有关。单位存贮费记为PC 。 （ 3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为SC 。 3存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。下面是一些比较常见的存贮策略。 （ 1） t循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间 t，补充一个固定的
3、存贮量 Q。 （ 2） ),( St 策略：每隔一个固定的时间 t补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量 S 为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存贮（余额）为 I 时，补充数量为 ISQ = 。 （ 3） ),( Ss 策略：当存贮（余额）为 I ，若 sI ，则不对存贮进行补充；若 sI ，则对存贮进行补充， 补充数量 ISQ = 。 补充后达到最大存贮量 S 。 s称为订货点 （或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等） 。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。若每隔一个固定的时间 t盘点一次，得知当时存贮 I ，然后根据 I 是否超过订货点 s，决定是否
4、订货、订货多少，这样的策略称为 ),( Sst 策略。 2 无约束的确定型存贮模型 我们首先考察经济订购批量存贮模型。 所谓经济订购批量存贮模型（ economic ordering quantity, EOQ）是指不允许缺货、-685-货物生产（或补充）的时间很短（通常近似为 0）的模型。 2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短基本的经济订购批量存贮模型 基本的经济订购批量存贮模型有以下假设： （ 1）短缺费为无穷，即 =SC ； （ 2）当存贮降到零后，可以立即得到补充； （ 3）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量） D为常数； （ 4）每次的订货量不变，订购费不变； （
5、 5）单位存贮费为pC 。 由上述假设，存贮量的变化情况如图 2 所示。 图 2 EOQ 模型的存贮量曲线 在每一个周期（ T ）内，最大的存贮量为 Q，最小的存贮量为 0，且需求是连续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为 Q21，存贮费用为 QCP21。 一次订货费为DC ，那么在一个周期（ T ）内的平均订货费为 TCD/ 。由于在最初时刻，订货量为 Q，在 T 时刻，存贮量为 0，而且单位时间的需求量为 D且连续均匀变化，因此，得到订货量 Q、需求量 D和订货周期 T 之间的关系DQT = 。 由此计算出一个单位时间内的平均总费用 QDCQCCDP+=21（ 1） 对式（ 1）求导数
6、，并令其为 0，即 0212=QDCCdQdCDP（ 2） 得到费用最小的订货量 PDCDCQ2*= （ 3） 最佳订货周期 DCCDQTPD2*= （ 4） 最小费用 DCCQDCQCCPDDP221*=+= （ 5） -686- 公式（ 3）称为经济订购批量（ economic ordering quantity，简写 EOQ）公式，也称为经济批量（ economic lot size）公式。 例 1 某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。已知对该商品的需求是 100 件 /天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问应怎样组织进货，才能最经济
7、。 解 根据题意， 005.0%1.05 =pC （元 /件天） ， 10=DC 元， 100=D 件 /天。 由式（ 3）（ 5） ，有 632005.01001022*=PDCDCQ （件） 32.6100632*=DQT （天） 16.32*= DCCCPD（元 /天） 所以，应该每隔 6.32 天进货一次，每次进货该商品 632 件，能使总费用（存贮费和定购费之和）为最少，平均约 3.16 元 /天。 进一步研究，全年的订货次数为 75.5732.6365=n （天） 但 n必须为正整数，故还需要比较 57=n 与 58=n 时全年的费用。 编写如下 LINGO程序： model: s
8、ets: times/1 2/:n,Q,C; endsets data: n=57 58; enddata C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年组织 58 次订货费用少一点。 利用 LINGO 软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO 程序如下： model: sets: times/1100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了 ; endsets C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; for(times(i
9、):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); -687-C_min=min(times:C); Q_best=sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min); !(C(i) #eq# C_min)返回的值为0或1; N_best=D/Q_best; end 求得一年组织 58 次订货，每次的订货量为 629.3 件，最优费用为 1154.25 元。 2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长经济生产批量存贮模型 模型假设条件： （ 1）需求是连续的，即需求速度 D为常数； （ 2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。设
10、生产是连续均匀的，即生产速度 P为常数。同时，设 DP ； （ 3）单位存贮费为PC ，单位缺货费为SC ，订购费为DC 。不考虑货物价值。 存贮状态图见图 3。 图 3 允许缺货且补充时间较长的存贮模型 ,0 T 为一个存贮周期，1t 时刻开始生产，3t 时刻结束生产。 ,02t 时间内存贮为 0，1t 时达到最大缺货量 B， ,21tt 时间内产量一方面以速度D满足需求，另一方面以速度 DP 补充 ,01t 时间内的缺货，至2t 时刻缺货补足。 ,32tt 时间内产量一方面以速度 D满足需求，另一方面以速度 DP 增加存贮。至3t 时刻达到最大存贮量 A，并停止生产。 ,3Tt 时间内以存
11、贮满足需求，存贮以速度 D减少。至 T 时刻存贮降为零，进入下一个存贮周期。 下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出 ,0 T 时间内的平均总费用（即费用函数） ，然后确定最优存贮策略。 从 ,01t 看，最大缺货量1DtB = ；从 ,21tt 看，最大缺货量 )(12ttDPB = 。故有 )(121ttDPDt = ，从中解出： 21tPDPt= （ 6） 从 ,32tt 看，最大存贮量 )(23ttDPA = ；从 ,3Tt 看，最大存贮量)(3tTDA = 。故有 )()(323tTDttDP = ，从中解得 )(223tTPDtt = （ 7） -688- 易知，在 ,0 T
12、 时间内：存贮费为 )()(21223tTttDPCP ；缺货费为2121tDtCS；定购费为DC 。 故 ,0 T 时间内平均总费用为 +=DsPCtDtCtTttDPCTtTC21223221)()(211),( 故将（ 6）和（ 7）代入，整理后得 TCTtCCtCTCPDDPtTCDSPPp+=2222)(22)(),( （ 8） 解方程组 =0),(0),(222ttTCTtTC可得 )1()(2*PDCDCCCCTSPSPD+= *2TCCCtSPP+= 容易证明，此时的费用 ),(*2*tTC 是费用函数 ),(2tTC 的最小值。 因此，模型的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮
13、周期)1()(2*PDCDCCCCTSPSPD+= （ 9） 经济生产批量)1()(2*PDCCCCDCDTQSPSPD+= （ 10） 缺货补足时间)1)(2*2PDCCDCCCTCCCtSPSPDSPP+=+= （ 11） 开始生产时间)()1(2*2*1SPSPDCCDCPDCCtPDPt+= （ 12） 结束生产时间*2*3)1( tPDTPDt += （ 13） -689-最大存贮量 )(*3*tTDA = （ 14） 最大缺货量*1*DtB = （ 15） 平均总费用*2TCCD= （ 16） 例 2 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销售记录和今后市
14、场预测。估计今后一年的需求量为 4900 个，由于占用资金的利息以及存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元。这种书架是该公司自己生产的，每年的生产量 9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费500 元。如果允许缺货，缺货费为每年每件 2000 元。该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费用。 解 根据题意知， 4900=D ， 1000=PC ， 9800=P ， 500=DC ， 2000=SC ，利用式（ 9）（ 13） ， （ 16）求相关的指标。 编写的 LINGO 程序如下： m
15、odel: D=4900; C_P=1000; P=9800; C_D=500; C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)0.5; !单位为年 ; TT=T*365; !单位为天 ; Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间 ; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期 ; C=2*C_D/T; ! 求年总费用 ; end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。 可以把模型一
16、看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定时间的条件，即 SC ， P ，则模型二就是模型一。事实上，如将 SC 和P 代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只是必须注意，按照模型一的假设条件，应有 0*3*2*1= ttt ，*QA = ， 0*=B 2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长基本的经济生产批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设 sC ， 02=t ） ，就成为模型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。 模型三的存贮状态见图 4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 -690-
17、 图 4 经济生产批量模型存贮量的变化情况 经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后，开始进行生产，生产率为 P，且 DP ，即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存贮。 设生产批量为 Q，生产时间为 t，则生产时间与生产率之间的关系为 PQt = 对于经济生产批量模型，有 最高存贮量 QPDPQDPtDP )1()()( = （ 17） 而平均存贮量是最高存贮量的一半， 关于平均固定订货费与经济定购模型中的平均订货费相同，同样是QDCD。这样，平均总费用为 QDCQCPDCDP+= )1(21（ 18） 类似于前面的推导，得到最优生产量、最优存贮周期、最大存
18、贮量和最优存贮费用 )1(2*PDCDCQPD= （ 19） )(2*DPDCPCDQTPD= （ 20） PDCDCPDQPDA)1(2)1(*= （ 21） DCCPDTCCDPD)1(22*= （ 22） 例 3 商店经销某商品，月需求量为 30 件，需求速度为常数。该商品每件进价 300元，月存贮费为进价的 2。向工厂订购该商品时订购费每次 20 元，定购后需 5 天才开始到货，到货速度为常数，即 2 件 /天。求最优存贮策略。 解 本例特点是补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假设条件完全一
19、致。本例的存贮状态见图 5。 -691-图 5 拖后时间的存贮模型 从图 5 可见， 拖后时间为 ,00t ， 存贮量 L应恰好满足这段时间的需求， 故0DtL= 。 根据题意，有 2=P 件 /天， 1=D 件 /天， 2.0301%2300 =PC 元 /天件，20=DC 元 /次， 50=t 天， 551 =L 件。代入（ 19）（ 22） ，求得 20*=Q 件， 20*=T 天， 10*=A 件， 2*=C 元 在本例中， L称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到 L或更低时就定购。在存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货” 。类似地，称每隔一个固定时间就订货的存贮策略为“定时订货
20、” ，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货” 。 2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设 P ） ，就成为模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直接导出。 模型四的存贮状态图见图 6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。 设 T 仍为时间周期，其中1T 表示 T 中不缺货时间，2T 表示 T 中缺货时间，即TTT =+21。 S 为最大缺货量 ,sC 为缺货损失的单价， Q仍为每次的最高订货量，则SQ 为最高存贮量，因为每次得到订货量 Q后，立即支付给顾客最大缺货 S
21、。 图 6 允许缺货的经济订购批量存贮模型的存贮情况 以一个周期为例，计算出平均存贮量、平均缺货量和平均总费用。 平均存贮量TTSQTTTSQ2)(0)(21121=+= （ 23） 其中 -692- DSQT=1，DST =2，DQT = （ 24） 由此计算出 平均存贮量QSQTTSQ2)(2)(21= ， （ 25） 平均缺货量QSTST2222= （ 26） 因此，允许缺货的经济订购批量存贮模型的平均总费用 QSCQDCQSQCCSDP22)(22+= （ 27） 求式（ 27）关于 Q和 S 的偏导数，并求出其极小点 sPsPDCCCCDCQ)(2*+= （ 28） *QCCCSsP
22、P+= （ 29） 最佳订货周期 DCCCCCDQTsPsPD)(2*+= （ 30） 最大存贮量 )(2*sPPSDCCCDCCSQA+= （ 31） 最小费用 *2*2*2)(2)(2QSCQDCQSQCTCCSDPD+= （ 32） 例 4 某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要靠订货得到。已知批量订货的订货费 12000 元 /次，每个零件的存贮机费用为 0.3 元 /（件月） ，每个零件的缺货损失为 1.1 元 /（件月） ，设该零件的每月需求量为 8000 件。求全年的订货次数、订货量以及最优存贮费用。 解 根据题意，取一年为单位时间，由已知条件，订货费 12000=DC
23、元 /次，存贮费 6.3=PC 元 /（件年） ，缺货损失费 2.13=SC 元 /（件年） ，需求率 96000=D 件/年。该存贮问题可由一个整数规划来表示 QSCQDCQSQCSDP22)(min22+s.t. QDn= ， 0, SQ ， 0n 且取整数 编写 LINGO 程序如下： -693-model: min=0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q; n=D/Q;gin(n); data: C_D=12000; D=96000; C_P=3.6; C_S=13.2; enddata end 求得全年组织 3 次订货，每次的订货量为 32000
24、件，最大缺货量为 6857.141 件，最优费用为 81257.14 元。 对于确定型存贮问题，上述四个模型是最基本的模型。其中，模型一、三、四又可看作模型二的特殊情况。 在每个模型的最优存贮策略的各个参数中， 最优存贮周期 T是最基本的参数，其它各个参数和它的关系在各个模型中都是相同的。根据模型假设条件的不同，各个模型的最优存贮周期*T 之间也有明显的规律性。因子SSPCCC +对应了是否允许缺货的假设条件，因子DPP对应了补充是否需要时间的假设条件。 一个存贮问题是否允许缺货或补充是否需要时间，完全取决于对实际问题的处理角度，不存在绝对意义上的不允许缺货或绝对意义上的补充不需要时间。如果缺
25、货引起的后果或损失十分严重，则从管理的角度应当提出不允许缺货的建模要求；否则，可视为允许缺货的情况。至于缺货损失的估计，应当力求全面和精确。如果补充需要的时间相对于存贮周期是微不足道的，则可考虑补充不需要时间的假设条件；否则，需要考虑补充时间。 在考虑补充时间时， 必须分清拖后时间和生产时间， 两者在概念上是不同的。 2.5 模型五：经济定购批量折扣模型 所谓经济订购批量折扣模型是经济订购批量存贮模型的一种发展，即商品的价格是不固定的，是随着订货量的多少而改变的。就一般情况而论，物品订购的越多，物品的单价也就越低，因此折扣模型就是讨论这种情况下物品的订购数量。 一年花费的总费用由三个方面组成：
26、年平均存贮费、年平均订货费和商品的购买费用，即 )()(21QDKQDCQQCCDP+= （ 33） 在式（ 33）中， )(QK 是物品的价格，它与物品的订购数量有关，一般是一个分段表示的函数，即 =QxQQxx,（ 51） 因此，产生的利润 +=QxKQUQQxKQxQVUxQG,)()( （ 52） 这样一个周期的总利润应该是 )(QG 的期望值，即 dxxfKQUQdxxfKQxQVUxQGEQQ)()()()()(0+= =QdxxfxQVUQKU0)()()()( （ 53） 注意，在上式推导中用到概率密度的性质 1)(0=+dxxf 。 为求极大值，对式（ 53）两端关于 Q求导
27、数，得到 =QdxxfVUKUdQQGdE0)()()()(（ 54） 0)()()(22 。令 KUg = 是物品出售后的利润，同时表示物品不足时，由于缺货造成的损失。令 VKh = 是物品折扣出售的损失，因此方程（ 56）也可写成 hggVUKUdxxfQ+=0)( （ 57） 为进一步理解公式（ 53）的含义，将公式（ 53）改写为 +=QdxxfQxVUQVUQKUQGE )()()()()()( dxxfQxVUQVKQUQ+= )()()()( （ 58） 其中 dxxxf+=0)( 为需求量 D的数学期望。或者写成 dxxfQxhgQhgQGEQ)()()()()(+= （ 59
28、） 在式（ 58）中，积分 dxxfQxQ+ )()( 相当于当 Qx 时的损失函数，即式（ 58）可以理解为 期望值缺货收入期望值折扣收入成本期望值总收入期望值总利润4.3 模型的求解 例 9（报童问题） 在街中有一报亭，平均每天出售报纸 500 份，出售报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从 Poisson 分布，每卖出一份报纸能盈利 0.15 元。如果卖不出去，只能作为废纸处理，每份报纸亏损 0.40 元，问：报亭应如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？ 解 由题意知，均值 500= ；每份报纸的利润 15.0=g 元；作为废纸处理时，每份报纸亏损 4.0=h 元。利用式（ 57）计
29、算出 Q来，再利用式（ 59）计算出期望总利润。 对于 Poisson 分布，式（ 57）中的积分Qdxxf0)( 可由 LINGO 中的函数 pps 计算，pps( Q, )是均值为 的 Poisson 分布函数，即 pps( Q, )=Qxxex0!若 Q不是整数，该函数采用线性插值计算。 式 （ 59） 中的积分+QdxxfQx )()( 可由函数 ppl 计算， ppl( Q, )表示 Poisson分布的线性损失函数，即 ppl( Q, )+=1!)(QxxexQx-702- 编写 LINGO 程序如下： model: data: mu=500;g=0.15;h=0.40; endd
30、ata pps(mu,Q)=g/(g+h); E_G=g*mu-h*(Q-mu)-(g+h)*ppl(mu,Q); end 求得报亭每天订购报纸 486 份，每天盈利 70.93 元。 下面我们使用 MATLAB 求例 9 的解。实际上式（ 57）中的 Q是 Poisson 分布的上hgh+分位点。对于式（ 59）中的积分计算，首先利用 Matlab 的匿名函数定义被积函数，然后使用 MATLAB 中的积分命令 QUADL 进行积分，注意在积分时必须把积分区间化成有限区间。 计算的 Matlab 程序如下： clc, clear mu=500;g=0.15;h=0.40; Q=poissinv
31、(g/(g+h),mu) fun1=(x) (x-Q).*poisspdf(mu,x); %用Matlab匿名函数定义被积函数 E_G=g*mu-h*(Q-mu)-(g+h)*(mu-Q-quadl(fun1,0,Q) 求得报亭每天订购报纸 486 份，每天赢利 71.09 元。 例 10 设在某食品店内，每天对面包的需求服从 300= ， 50= 的正态分布。已知每个面包的售价为 1.50 元， 成本 0.90 元， 对当天未售出的其处理价为每个 0.60 元，问该商店每天应生产多少面包，使预期的利润为最大？ 解 根据题意 300= ， 50= ， 50.1=U ， 9.0=K ， 60.0
32、=V 。利用式（ 57）计算出 Q来，再利用式（ 59）计算出期望总利润。但对于正态分布分布， LINGO 只提供了标准正态分布函数 psn( Z )，即 psn( Z ) deZZ=2/221)( 和标准正态分布的线性损失函数 psl( Z )，即 psl( Z ) deZz+=2/2)(21因此，若用函数 psn 和 psl 计算式（ 57）和式（ 59）的积分 dxeQx222)(21和 dxeQxQx+222)()(21需要做变换=x，即 )(psn212122)(222ZdedxeZQx=)(psl)(2)(2122)(222ZdeZdxeQxZQx=+ +-703-其中=QZ 。
33、编写 LINGO 程序如下 data: mu = 300; sigma = 50; U = 1.50; K = 0.90; V = 0.60; enddata psn(Z)=(U-K)/(U-V); Z=(Q-mu)/sigma; free(Z); E_G = U*mu-K*Q+V*(Q-mu)-(U-V)*sigma*psl(Z); 求得商店每天生产 322 个面包， 可以使总利润达到最大， 预期的最大利润为 163.638元。 同样地，我们使用 MATLAB 求例 10 的解。计算的 Matlab 程序如下： clc, clear mu = 300; sigma = 50; U = 1.5
34、0; K = 0.90; V = 0.60; Q=norminv(U-K)/(U-V),mu,sigma) fun2=(x) (x-Q).*normpdf(x,mu,sigma); %用Matlab 匿名函数定义被积函数 E_G=U*mu-K*Q+V*(Q-mu)-(U-V)*(mu-Q-quadl(fun2,0,Q) 求得的结果和 LINGO 的计算结果完全一样。 例 11 （航空机票超订票问题） 某航空公司执行两地的飞行任务，已知飞机的有效载客量为 150 人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订
35、票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的 20作为补偿。现假设两地的机票价为 1500 元，每位旅客有 0.04 的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票？使该公司的预期损失达到最小。 解 先对该问题进行分析。 设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为 S（即售出票数为 SN + ） ， k 为每个座位的赢利值， h为改乘其它航班旅客的补偿值。设 x是购票未登机的人数，是一个随机变量，其概率密度为 )(xf 。当 Sx 时，有 xS 个人购票后，不能登机，航空公司要为这部分旅
36、客进行补偿。当 Sx 时，有 Sx 个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为 =SxSxkSxxShSL),(),()( （ 60） 其期望值为 dxxfSxkdxxfxShSLESS)()()()()(0+= dxxfxhkdxxfShkkSkSS)()()()(00+= （ 61） 其中+=0)( dxxxf 为购票未登机的期望人数。 （ 61）式也可以改写为 +=SdxxFhkSkSLE0)()()()( -704- 其中 )(xF 为随机变量 x的分布函数。 对式（ 61）两端关于 S 求导数，得到 +=SdxxfhkkdSSLdE0)()()(（ 6
37、2） 0)()()(22+= SfhkdSSLEd（ 63） 因此，满足方程 hkkdxxfS+=0)( （ 64） 的 S 是函数 )( SLE 的极小值点，即满足方程（ 64）的 S 使航空公司的损失达到最小。 下面给出具体的求解过程。 设每位顾客购票未登机的概率为 p ，共有 SN + 位旅客，则恰有 y 位旅客未登机的概率是ySNyySNppC+ )1( ，即未登机人数 x服从二项分布。因此，式（ 64）中的积分应用二项分布计算。 在 LINGO 中提供了二项分布函数 ),(pbn SSNp + ，即 =+=+SyySNyySNppCSSNp0)1(),(pbn （ 65） 当 SN
38、+ 和 S 不是整数时，采用线性插值计算。 在这里， ),(pbn SSNp + 的直观意义是：在 SN + 位旅客中至多有 S 位旅客购票未登机的概率。 根据题意， 150=N ， 04.0=p ， 1500=k （假设机票价就是航空公司的赢利） ，3002.01500 =h 。写出相应的 LINGO 程序如下： data: N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300; enddata pbn(p, N+S, S) = k/(k+h); 求得超订的票数 8.222487=S ，因而，超订的票数在 8 9 张之间，即每班售出的票数在 158 159 张之间。 下面我们使
39、用 MATLAB求例 11的解。首先定义函数hkkdxxfSgS+=0)()( ，然后求 )(Sg 的零点即可。 MATLAB中求函数 )(Sg 的零点时溢出（使用命令 FZERO） ，我们只能编写 MATLAB的搜索算法如下： clc, clear N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300; g=(s) binocdf(s,s+N,p)-k/(k+h); %定义匿名函数 m=30; val=g(1:m); %计算 s=1,2, ,m 时匿名函数的值 for i=1:m if val(i)*val(i+1) 时，飞机没有满座，有 xSN + 名旅客乘机，因此，航空公司
40、的利润函数为 +=SxxSNkSxxShkNSI),(),()( （ 66） 其期望值为 dxxfxSNkdxxfhxhSkNSIESS+= )()()()()(0dxxxfkhdxxfSkhSNkSS+=00)()()()()( （ 67） 其中+=0)( dxxxf 为购票未登机的期望人数。 对式（ 67）两端关于 S 求导数，得到 +=SdxxfhkkdSSLdE0)()()(（ 68） 0)()()(22+= SfhkdSSLEd（ 69） 因此，满足方程 hkkdxxfS+=0)( （ 70） 的 S 是函数 )( SIE 的极大值点，即满足方程（ 70）的 S 使航空公司的利润达到
41、最大。 具体的求解过程同例 11。 下面我们比较一下 8=S 和 9=S 哪种情形下的利润最大，首先把式（ 67）改写成 dxxFkhSNkSIES+=0)()()()( 其中 )(xF 为随机变量 x的分布函数。 编写的 MATLAB 程序如下： clear,clc N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300; -706- for S=1:15 E_I(S)=k*(N+S-(N+S)*p)-(h+k)*quadl(x)binocdf(x,N+S,p),0,S); end E_I,ind=sort(E_I,descend) 求得超订票数为 9张时，航空公司获利利润最大，
42、预期的期望值达到 223832.6。 上面的算法，我们实际上把二项分布看成是连续型的分布。下面从离散分布的角度建立赢利期望值的递推公式。 记jE （ Sj ,1,0 L= ）为超订票数为 j 时，航空公司赢利的期望值。LjE 为超订票数为 j 时，最后一个旅客的订票使航空公司获得赢利的期望值。则有 LjjjEEE +=1=LjE 最后 1 名旅客乘到飞机时航空公司赢利值最后 1 名乘客无座位时的补偿值 因而有 )1(0pkNE = ， LEEE101+= PE +=0该旅客乘机 P 该旅客有座位 k P 该旅客乘机 P 该旅客无座位 h kNPpE += )1( 10人不乘机名旅客中至少有 h
43、NPp )1( 0人不乘机名旅客中至多有 hNppkNppE += )0,(pbn)1()0,(pbn1)1(0)0,(pbn)()1(0NphkkpE += M kiiNPpEEEEjLjjj+=+=1)1(11人不乘机个旅客至少有 hiiNPp + 11)1( 人不乘机个旅客至多有 hiiNppkiiNppE+=)1,1,(pbn)1()1,1,(pbn1)1(0)1,1,(pbn)()1(0+= iiNphkkpE 在上式中， ),(pbn xmp 是 LINGO 中的二项分布函数，即 =xkkmkkmppCxmp0)1(),(pbn 因此，我们只要计算出超订票数 L,2,1,0=S 的
44、期望值，并比较它们的大小，就可以计算出最优的超订票数和最大赢利的期望值。编写 LINGO 程序如下： sets: seats/1150/; extra/115/: E_T; endsets data: k = 1500; h = 300; p = 0.04; enddata N = size(seats); E_T0 = k*N*(1-p); E_T(1) = E_T0+(1-p)*(k-(k+h)*pbn(p,N,0); -707-for(extra(i)|i #gt# 1:E_T(i) = E_T(i-1)+(1-p)*(k-(k+h)*pbn(p,N+i-1, i-1); 从计算结果可以
45、看出，超订票数为 9张时，航空公司获利利润最大，预期的期望值达到 223832.6。 下面我们写出递推运算的 MATLAB 程序如下： clear,clc k = 1500; h = 300; p = 0.04; n=150; E_T0=k*n*(1-p) E_T(1)=E_T0+(1-p)*(k-(k+h)*binocdf(0,n,p); for i=2:15 E_T(i)=E_T(i-1)+(1-p)*(k-(k+h)*binocdf(i-1,n+i-1,p); end E_T,ind=sort(E_T,descend) 计算结果和 LINGO 的计算结果完全一致。 习题二十八 1企业生产某种产品，正常生产条件下可生产 10 件 /天。根据供货合同，需按 7件 /天供货。存贮费每件 0.13 元 /天，缺货费每件 0.5 元 /天，每次生产准备费用（装配费）为 80 元，求最优存贮策略。 2某大型机械需要外购 3 种零件，其有关数据见表 4。若存贮费占单件价格的 25，不允许缺货。又限定外购零件的总费用不超过
