1、第三章 点、线、平面的投影 3-1 点,一、点的两面投影,证明,点的投影,a ,a,b ,b,c ,c,例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置,二、点的三面投影,1.三面投影体系,2.点的三面投影,3.点的投影与坐标的关系,Y,例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置,例3-3：根据点的两面投影求第三投影,辅助线,三、两点的相对位置,1.相对位置的判定,b,b,b“,(b),(d),不可见者用括号表示,2.重影点及其投影的可见性,3-2直线的投影,直线的投影可由直线上任意两点的投影决定,1. 直线的倾角： 对水平投影面的夹角 对正投影面的夹角 对侧投影面的夹角,一、各种位置直
2、线的投影,1 投影面的平行线,2 投影面的垂直线,3 一般位置线,b“,1、 投影面的平行线,实长,（1）水平线,（2）正平线,（3）侧平线,水平线的投影特征：,（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；,（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；,（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。,a,a,a“,例题1,例题3-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。,(1)铅垂线,2、投影面的垂直线,(2)正垂线,(3)侧垂线,（4）、垂直线的投影特征：,例题2,例题3-5 根据投影图判断下列直线的空间位置,讨论,1、在垂直线投影图上能否
3、量得 、和 ？,2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？,3 一般位置线,A0,实长,实长,实长,Za- Zb,求直线对投影面的倾角及线段的实长,例题3,例题3-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角。,例题4,例题3-7 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a,并知AB对H面的倾角为30，求AB的正面投影及实长,X,O,a,a,b,点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上,定比性：AC：CB=a c :c b =ac:cb=a“c“ :c “b “,二、直线上的点,例题3-8: 在直线AB上找一点K,AK:KB=3:
4、2。,3,2,k,k,例题5,例题6,例题3-9: 判定点K是否在直线AB上。,例题7,例题3-10: 已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的投影。,c,c,课后思考题,1、判断AB线的空间位置,课后思考题,2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。,思考练习题,请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影,3-3 两条直线的相对位置关系,两条直线的相对位置,共面: 平行、相交（垂直）,不共面：交叉(垂直）,一、平行,两条直线平行同名投影平行,平行,例一：,例二：,当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行,二、相交,两条直线相交 同名投影相交,k,
5、k,交点的投影符合点的投影规律,例题3-11：过点A，作直线AB，与已知直线CD相交。,无数解,唯一解,例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交。,例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交,k,k,e,(e),例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。,15,小结,一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线), 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线在其垂直的投影面上的投影积聚为一
6、点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。, 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。,二、直线上的点, 从属性：点的投影在直线的同名投影上。, 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉,同面投影互相平行(注意投影面平行线)。,同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合点的投影特性。,同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影特性。所谓“交点”是两直线上一对重影点的投影。,三、交叉,交叉直线的特征: 即不平行也不相交,e(f),判定可见性,e,f,f (e),g,h,g(h),例题3-16：判定重
7、影点的可见性。,四、垂直,定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。,证明：, bcab, BC 平面ABab, bc 平面ABab,逆定理也成立：如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。,相交垂直,交叉垂直,垂直的两种情况：,判断垂直,例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。,(f),e,f ,e,公垂线,例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB 平行于H面，完成该矩形的两面投影。,d,d,c,3-4 平面的投影,一、平面表示法,1、几何元素表示法,几何元素表示平面的方法,2 迹
8、线表示法,迹线平面与投影面的交线,Pv,PH,Pw,二、各种位置平面,1平面的倾角,（1）正垂面,2.垂直面,正垂面,投影特性： 1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映、 角； 2.abc、abc为 ABC的类似形。,2.垂直面,（2）铅垂面,铅垂面,投影特性： 1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；,投影面垂直面的投影,2.垂直面,（3）侧垂面,侧垂面,投影特性： 1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映、角； 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。,垂直面的投影特性,正垂面,铅垂面,侧垂面
9、,1 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。,2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2.另两个投影面上的投影有类似性。,是什么位置的平面？,投影特征：一斜两类似,3、平行面,（1）水平面,水平面,投影特性：1.abc/OX、 abc/OYW，分别积聚为直线;2 .水平投影abc反映 ABC实形。,投影面平行面的投影,（2）正平面,正平面,投影特性：1.ab
10、c/OX 、 abc /OZ，分别积聚为直线；2 .正面投影abc反映 ABC实形。,（3）、侧平面,投影特性：1.abc/OYY、 abc /OZ，分别积聚为直线；2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。,侧平面,平行面的投影特性,2 在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特征：两线一实形,4、一般位置面,例题3-19：根据投影判定平面的位置,正平面,铅垂面,正垂面,水平面,侧垂面,侧平面,例题3-19：根据投影判定平面的
11、位置,正平面,铅垂面,正垂面,水平面,侧垂面,侧平面,例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。,a,b,a,b,投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似,例题3-20：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影,例题3-20：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影, 平面上取点,若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。,即：点在线上，则点在面上。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面
12、的积聚性求解,通过在面内作辅助线(细实线)求解,例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。,e,e,点D不属于平面ABC,e,e,点D属于平面ABC,例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点， 求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,平面内的直线,2、平面内的直线,如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线,特殊位置平面上的点可根据其积聚性求出,一般位置平面上的点的确定要依靠平面上的直线作为辅助直线,例题3-21：判断K点是否在平面上,例题3-22：已知MN是平面AB
13、CD内的一条直线，求其水平投影。,m,n,绿色的直线在平面内吗？,例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。,例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。,例题3-25： 完成ABCD的投影。,o,d,作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点， 求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,k,b,AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,找点B先求线DB，求线DB先找点K。,利用平行四边形对边平行,判断点K是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）,点在面上,点不在面上(
14、*),点不在面上,已知平面ABCD的边BC/H面，完成其正面投影。,b,c,1,1,a,d,a,b,c,d,BC为水平线bc/OX,分析：根据ad想办法求bc,a,b,c,b,a,c,已知ABC 给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,正平线上的点Y坐标相同，水平线上的点Z坐标相同，交点K是既满足Y坐标又满足Z坐标的点。,k,k,k,1,2,1,k,在ABC内确定K点，使K点距H面为18mm，距V面为15mm.,分别画出： 1.距H面18mm的水平线（Z相同=18）。 2.距V面15mm的正平线（Y相同=15）。 3.两条线的交点满足K点的条件
15、。,2,：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm（Z）、在点A之前20mm处（Y）。（思考题）,K在点A之下15mm的水平线上,K在点A之前20mm的正平线上,3、平面内的特殊位置线,（1） 平面内的投影面平行线,特点：,在平面上,具有平行线的投影特征,例题3-26：在平面内画出水平线、正平线和侧平线,在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。,一般位置平面内平行线的空间形态,一般位置平面内投影面的平行线的空间形态,讨论：,1 在一般位置平面内能否画出投影面的垂直线？,2 在水平面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,3 在铅垂面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,2 、平面的最大
16、斜度线,最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,证明：,B1,最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,最大坡度线垂直于平面内水平线的直线,意义：最大斜度线与投影面夹角反映了平面与投影面的夹角。,例题3-27：求三角形ABC与H面的倾角,1 求水平线,2 求最大坡度线,3 求 角,讨论2,一条最大坡度线能否决定一个平面？,k,k ,想一想,包含水平线AB作一与H面倾角为30的平面,c ,d,d ,a,b,b,a,c,d,c,d,1,2,3,2,1,3,a,b,求平面对投影面的倾角,(a) 求对H面的倾角a,(b) 求对V面的倾角b,16
17、页,a,b,b,a,a,已知AB为平面P对V面的最大斜度线,求作该平面的投影和对H面的倾角a。,16页,a,b,b,a,c,c,60,已知ABC对H面的倾角a60,试完成其V面投影。,16页,以AB为边长作正三角形，使其与V面成30角。本题有几解？,d,本题有4解,16页,3-5 线与面、面与面的相对位置,平行关系,如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行,一、 直线与平面平行,例题1：过点A作一水平线AB,使其与平面ECD平行。,X,例题2：判定直线AB与平面ECD是否平行。,O,例题3：判定直线AB,与平面ECD是否平行。,O,例题4：过点C作一平面平行于直线AB。
18、,平行于一条直线的平面可以有无数个,(a),(c),(b),(a),(b),17页,a,e,b,a,c,c,d,d,e,b,17页,a,b,a,c,c,b,KL与ABC,l,k,l,k,不平行,17页,p,a,p,a,a,a,p,p,b,c,b,c,b,c,b,c,17页,q,如果平面内的两条相交直线平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面互相平行,二、两平面平行,例题5：过点A作一平面与平面DEFG平行,例题6：判定两正垂面是否平行。,e,e,c,c,d,d,a,a,b,b,g,g,例题7：判定两平面是否平行。,2005习题集第17页相对位置1,a,b,a,c,c,b,3,3,2,1,1,2
19、,d,d,两平面,不平行,q,相交问题,1、共有点：既属于直线又属于平面,2、可见性： 重影点,1、特殊位置直线与一般面相交（利用积聚性求交点）,k ,k,当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题,O,X,b ,b,2、一般线与投影面垂直面相交（利用积聚性求交点）,O,X,b,b,k,k,4、一般面与投影面垂直面相交（利用积聚性求交线）,k ,l ,k(l),两垂直面的交线是垂直线,3、一般线与一般面相交（用辅助线(平面) 求交点）,k ,k,交点是可见与不可见的分界点,PH,用辅助平面（线）求交点的一般步骤：,1 含已知直线的一个投影作一辅助面（通常为垂直面）；,3 交
20、线的投影与已知直线的同名投影相交，得交点；,4 判定可见性：利用重影点。,k ,k,PH,2 求该辅助面与已知平面的交线；,k ,k,例题8：求直线AB,与平面ECD的交点,a,b,a,b,p,p,k,k,18页,2005习题集第18页相对位置2,4-20 (2),c,d,c,e,e,d,a,b,a,(b),(k),k,18页,2005习题集第18页相对位置2,3,3,2,1,1,2,4,4,a,(b),a,b,k,(k),4-20 (3),18页,4-20 (4),18页,2005习题集第18页相对位置2,a,b,a,b,423 求直线MN与ABC的交点,并判别可见性。,c,n,m,n,m,
21、c,m,n,m,n,a,b,c,a,c,b,k,k,k,k,19页,424 过L点作直线LK同时与AB、CD相交。,1,2,1,2,k,k,19页,a,b,a,b,c,c,3,3,2,1,1,2,k,k,l,l,19页,4、两平面相交,交线共有线,例题9：求两平面的交线，并判断可见性。,a,b,c,d,e,f,g,f,e,g,5、两一般面相交（利用线面交点法求交线）,m,m,n ,n,全交,作出两平面的交线并判别可见性,做法： 取BC面为辅助面，求出N的两面投影n,n.任做一辅助面，不要垂直于OX,求出M的两面投影m,m,连接MN,并延长至交线，,m,n,n,m,例题10：求两平面的交线，并判
22、断可见性。,m ,m,n ,n,a,b,a,b,c,c,3,3,2,1,1,2,k,k,l,l,19页,例题11：求两平面的交线，并判断可见性。,互交,a,b,a,b,c,c,3,3,2,1,1,2,l,l,k,k,19页,a,b,a,c,c,b,3,3,2,1,1,2,l,k,l,k,18页,18页,4-21,a,b,a,c,c,b,k,k,f,e,f,e,l,l,19页,18页,4-21续,特殊情况：用辅助平面求两平面的交线,Pv,k ,k,Qv,l ,l,平面扩大后再交,用加辅助平面法作出两平面的交线,做法： 延长 ac .34交于m,求出 m,延长21交点为o,p, 在ab求出p,bc
23、利用定比性求出o,连接po交21于n,求出n,连接mn,mn.,n,m,m,p,p,o,o,n,垂直（往往是综合性的）,如果一条直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直,4-27下列各图中，直线与平面垂直的图是 （a）。,20页,4-28判断已知直线和平面是否垂直,20页,b,b ,2 求交点,k,k ,3 判别可见性,不可见,不可见,例题12：过点A作直线AB,垂直于平面ECD，并求交点。,1 求垂直线：其正面投影垂直于正平线的正面投影；水平投影垂直于水平线的水平投影；,2 求交点,3 判别可见性,b,b ,k,k ,例题13：过点A作平面与直线垂直。,c,c,b ,b,例题
24、14：判定直线AB与平面ECDF是否垂直。,d ,c,c ,b ,b,O,e,e ,d,X,a ,a,f ,f,例题15：判定直线AB与铅垂面是否垂直。,与铅垂面垂直的线一定是水平线且水平投影垂直于平面的水平投影,例题16：已知矩形ABCD的一边AB的两个投影及邻边AC的正面投影，要求完成矩形的投影。,c,d,d ,含已知直线AB作平面ABC垂直于已知平面P,20页,判别两已知平面是否垂直。,20页,线面垂直思路解决的几种常见的应用题：,1 已知平面，求垂直线 2已知直线，求垂直面 3求点到平面的距离问题 4 垂直问题中，反映的构建很重要。,参与相交的两个平面都是特殊位置时，其交线的投影如何求
25、出？,两个平面的交线应该在投影图上画多长？,已知直线AB平行于平面CDE求直线的正面投影,做法： 作cf ab,作出f,连接cf,作bb oz, ab cf, 连接ab.,b,f,f,过K点作铅垂面垂直于平面ABC,做法： 作cd ox,dd oz,连接cd,作ke cd,Pv,d,d,e,e,过A点作直线垂直于平面ABC,做法： 作ad ox,dd oz,连接ad,作ae ab, 作ae cb,e,d,d,e,作过K点到平面ABC的真实距离,做法： 作ce ox,ee oz,连接ce,作kf ec, 作kf ab, 作dd oz,mm oz,连接md,交kf于点p,作pp ox,交kf于p
26、利用三角形求出真实距离,d,d,e,e,p,p,f,f,m,m,作过K点到直线AB的真实距离,做法： 作kc ox,cc oz,作kc ab,作kd ox,dd oz 作kd ab, 作pp 连接pc,交kf于点p,作mm ox,交ab于m,连接km,km. 利用三角形求出真实距离,c,c,d,d,p,p,m,m,a,a,b,k,k,b,求点K到直线AB的真实距离。,21页,求点K到ABC的真实距离。,21页,过点K作直线垂直于直线CD且与直线AB相交。,21页,以AB为边求作正方形（ABCD）属于。,21页,已知矩形ABCD的一边CD及一顶点在直线AB上，作此矩形,做法：过c 作水平线垂直于
27、cd和过c作正平线垂直于cd. 作mm oz,nn oz,交ab于点e作ee oz,ef cd,df ec,连接cdef 作ef cd,连接cdef.,f,c,d,d,c,a,b,a,b,e,e,f,m,m,n,n,已知正方形ABCD的水平投影中对角线AC反映实长，作正面投影,做法 提示，由题意可知该平面为水平面，所以其正面投影为积聚性。,b,c,d,a,a,c,d(b),过M点作直线AB,CD相交,n,b,c,d,a,m,m,a,b,c,d,n,50作一正平线与AB,CD,EF都相交,n,a(b),c,d,e,f,a,b,c(d),f,m,m,(n),已知ABCD求bc。,21页,利用平面法
28、线的投影特性,在过点B并垂直于BC的平面内取直线,AC为菱形的对角线，角点B属于直线EF，完成菱形的投影。,21页,已知等边三角形ABC的一边AC属于平面DEFG，试完成其两面投影。,22页,a,b,b,a,c,c,SCAB=ac,d,g,e,f,d,e,f,g,SCAB,已知等腰三角形ABC的底边为BC，高AD55mm，试完成ABC的H投影。,22页,a,b,b,a,c,c,SCAD=55,e,已知点K到ABC距离为20mm，求k。,22页,e,a,b,c,a,b,d,d,20,c,SCAD,k,k,3、两平面垂直,包含与平面垂直线的所有平面都与该平面垂直,例题17：包含直线作一平面，与已知平面垂直。,例题18：判定两平面是否垂直。,例题19：判定两平面是否垂直。,直线与平面、平面与平面的相对位置： 小 结,平行,定理,几何作图,平面与平面,定理,直线与平面,求交点,几何作图,特殊位置的平面和直线,一般位置的平面和直线,平面与平面,求交线,直线与平面,垂直于面内的正平线和水平线,几何作图,平面与平面,含垂直线,直线与平面,相交,垂直,
