1、第10章 电磁感应和电磁场 (The Electromagnetic Induction and The Electromagnetic Field),(1),作业 10-2，10-3， 10-8，10-9，10-12，10-13，10-16，10-19，10-21,10.1 法拉第电磁感应定律 10.2 动生电动势 10.3 感生电动势 10.4 自感与互感 10.5 磁场的能量 10.6 麦克斯韦方程组和电磁场,对称性,折射出物质世界的对称,10.1 法拉第电磁感应定律 (Faraday law of electromagnetic induction),(2),奥斯忒 电流的磁效应,法拉
2、第堪称为正确理解电磁现象的领路人,法拉第(Farday M., 17911867)英国物理学家、化学家,电磁感应现象若闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变化, 回路中就出现感应电动势, 其电流叫感应电流。,10.1.1 电磁感应现象(The phenomenon),(3),实验1: B变化,实验2: 回路面积S变化,实验3: B与回路面积S间的夹角变化,10.1.2 电动势(electromotive force or emf),2.电源: 提供非静电力的系统, 它把其它形式的能量(如机械能、化学能、热能、太阳能等)转化为电势能。,衡量这种作功本领大小的物理量叫电源的电动势。,(2)电动势方
3、向: 在电源内部从负极指向正极, 从低电位指向高电位。,(1)定义:电动势等于将单位正电荷从负极经电源内部移到正极时, 非静电力 所作的功; 即:,1.非静电力 : 使正电荷逆着静电场的方向运动。,3.电动势,(4),(3)计算公式:,若非静电力存在于整个回路中,(5),将非静电力的作用看做场的作用, 如非静电场,(6),例如:求右图闭合回路中的电动势。,(7),10.1.3 法拉第电磁感应定律 (Faraday law of electromagnetic induction),1.感应电动势(induction electromotive force):,大小: 与通过导体回路的磁通量的变
4、化率成正比,方向: 取决于磁场的方向和磁场的变化情况,1845年，德国学者纽曼(Neumann,17891895年)给出:,(1)当回路由N匝线圈组成时, 感应电动势为,若通过各匝线圈的磁通量i = 相等, 则,(8),说明,(2)判定感应电动势的方向(约定),首先确定回路L的绕行方向规定: 电动势方向与绕行方向一致时为正 当磁力线方向与绕行方向成右手螺旋关系时, 0;成左手螺旋关系时, 0, 0 d 0, 0 d 0 0,B增加,B减小, 0 0,(9),例如: 均匀磁场B, (dB/dt)0; 回路中电动势 的方向?,. . . . . . . . . . . . . . . . . .,
5、. . . . . . . . . . . . . . . . . .,按约定：,按约定：,(10),2.感应电流(induction current):,大小:,方向: 始终与感应电动势的方向一致,10.1.4 楞次定律(Lenz law),楞次定律是能量守恒定律的具体反映,(11),1834年，俄国学者楞次提出：闭合回路中感应电流的方向, 总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的原磁通量的变化。,例1: 直导线中通交流电, 置于磁导率为 的介质中求: 与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。,解: 设当I 0 时,电流方向如图,已知: I=I0sint (I0 和是正的常数),设回路L方
6、向如图;建坐标系如图,任取一面元, 0, 的方向与 L 的方向相同, 否则相反。,(12), 0, 0,(13),(14),10.2.1 两种感应电动势,由法拉第电磁感应定律:,当B, S和 (B与dS的夹角)随时间变化时,导体或回路中就产生感应电动势。,若磁通量的变化是由S或 的变化引起的,由此而产生的感应电动势叫动生电动势(motional emf)。,若磁通量的变化是由B的变化引起的, 由此而产生的感应电动势称为感生电动势(induced emf)。,10.2 动生电动势 (Motional electromotive force ),10.2.2 动生电动势 (motional ele
7、ctromotive force ),方向如图所示,例如在均匀磁场中运动的长为l的直导线ab, 方向判定的三种方法:,回路L绕行方向与磁力线方向构成右手螺旋法, 当d 0时,与回路L绕行方向相反;当d 0时, 与回路L绕行方向相同(简称法拉第定律判定),(2)楞次定律判定,(3)右手掌判定,(15),10.2.3 动生电动势的成因 (the cause for motional electromotive force),洛仑兹力正是电源中的非静电场力,电子受洛仑兹力:,电子的漂移产生:,电子受的电场力:,当 时,a点电势高于b点 电势, ab之间相当于电源。,(16),a,b两端的电动势相当于
8、在非静电力(即洛仑兹力)作用下,将单位正电荷从b点移到a点时所作的功。,非静电场,整个回路L中的动生电动势:, 0 方向与L一致,即b点电势高, 0 方向与L相反,即b点电势低,方向: 正电荷所受洛仑兹力的方向,(17),1.“运动导体ab”形成电源, 其能量从哪里来?,(18),2.动生电动势是由洛仑兹力做功引起的,而洛仑兹力永远和运动电荷的运动方向垂直, 因而对电荷不作功, 两者是否矛盾?,(19),10.2.4 动生电动势的计算(重点),方法1:,式中 是导体元 的速度, 是 所在处磁感应强度,解题步骤：,2.标出 处的 、,4.积分,3.,5.判定方向: 若积分结果 0, 则 a b,
9、 即b a若积分结果 0, 则 b a, 即b a,1.任取一导体元,(20),方法2: 由法拉第电磁感应定律求,1) 是闭合回路的总电动势； 2) 对非闭合导体, 求 时, 须设计一个闭合回路。,适用于一切产生感应电动势的闭合回路。,?,(1)回路中的磁通量 容易计算,(2)要使电动势ba容易计算,设计闭合回路的原则:,例如: 如图所示。求acb,注意,a端的正电荷集中,电势高,电动势方向: oa,(21),解法1: 由动生电动势公式,例2:长为L的导线oa绕o点以角速度在均匀磁场B中转动, 如图所示。求: 动生电动势。,1)如转动中心在导体捧上c点处, 那么oa棒中电动势?,2)若半径为o
10、a的金属圆盘转动, 盘的中心和边缘之间电势差为多少?,(22),设计一个扇形闭合回路obao, oa运动,解法2: 用法拉第电磁感应定律求oa,方向: oabo,由于ob, ba不动,故 ob=0; ba=0, = ob+ ba+ ao= ao=oa oa= = BL2/2,例3: 在空间均匀的磁场 中, 导线 ab 绕 z 轴以 匀速旋转, 导线 ab 与 z 轴夹角为 , 设 ab = L , 求：导线 ab中的电动势。,解：取 , 运动速度垂直纸面向内运动半径为 r, 0,方向: a b,(23),解1:,c点电势低,(24),例4: 圆弧形导体(半径为R, aoc = 90)在均匀磁场
11、(B) 中向右以速度v 沿x轴运动 求: abc弧上感应电动势 abc,方向: c a,方向: c b a,(25),闭合回路abca中动生电动势为0,解:,(26),例5:无限长载流直导线(电流强度为I )共面放一金 属捧AB(长度为l ), 如图 AB棒以 运动, A点 到载流直导线距离为a ,求: AB中感应电动势?,方向: B到A,例6: 导体圆线圈 (R) 在均匀磁场 中, 以匀角速度 绕 oo轴逆时针转动,当线圈平面与磁力线平行时 求:1)线圈中动生电动势, 2)ac弧中电动势,解: 1)用法拉第电磁感应定律,方向: 顺时针,(27),t 时刻通过圆线圈的磁通量为,t=/2时,2)
12、,方向: a到c, 即c点电势高,在ac弧中, c点电势总 是高于a点电势吗?,(28),例7: 均匀磁场中有一等腰梯形金属框abcd绕oo轴匀角速转动总电阻(R),ab=2cm, bc=4cm, cd=6cm,如图位置时,求 1) 框中电动势; 2) Ubc ; 3) UMN,解: 1),(29), =t,3),(30),2)由一段含源电路的欧姆定律得,c点电势高,(31),10.3 感生电动势(The induced emf),一、感生电动势,由电动势定义和法拉第电磁感应定律, 可得:,思考: 产生感生电动势的非静电力? 非静电场?,1861年麦克斯韦(J.C.Maxwell, 1831-
13、1879)大胆假设:,10.3.1 感生电动势和感生电场 (The induced emf and induced electric field),(32),二、感生电场 又称涡旋电场(vortex electric field),1.感生电场的基本性质,类似于稳恒磁场中的 所以,感生电场 的电场线是闭合曲线, 又形象地称为涡旋电场, 是非保守场。,S:该回路L所限定的面积(可以是平面或空间曲面)。,: 空间内任一静止回路L上的位移元。,(33),2.静电场与涡旋电场的比较:,(34),*3.感生电场的计算,(2)特殊 空间均匀的磁场被限制在圆柱体内,磁感强度方向平行柱轴, 如长直螺线管内部的
14、场。,磁场随时间变化, 则感生电场具有 柱对称分布,具有某种对称性才有可能计算出来。,(1)原则,(35),作正柱面, 如图, 由,建立柱坐标系,作矩形回路L, 如图, 由,(36),(37),P,例8: 已知半径为R 的长直螺线管内的求: 涡旋电场的分布,解:,(38),管外: 取OP R,讨论,电子感应加速器的基本原理 1947年世界第一台70 M eV,(39),设磁场是圆柱形匀强磁场, 且 , 环形管 道中电子运动轨道半径为R,电子质量为m、电量为e 。求电子在管道中的加速度？,(40),三、感生电动势的计算,若不是闭合回路,需设计一个假想闭合回路,方法2: 用法拉第电磁感应定律:,方
15、法1:,若为一段导体 a b ,则,(41),解1: 方法1:,(42),解2: 方法2,(选acba回路为正方向),解:,取aoba 回路,b 端电势高,(43),例10:均匀磁场 与回路法线方向 夹角为 ; B=kt (k为大于0的常数), ab边长为l ,在导轨上以v向右运动, 设t=0时,ab与od重合, 求:任意时刻回路中感应电动势?,解1: 用法拉第电磁感应定律,由楞次定律确定方向: a到b,(44),取回路adoba, 找出磁通量与时间的关系:,x = v t,解2: 动生电动势 + 感生电动势,动生电动势：,方向: a到b,感生电动势:,方向: a到b,总感应电动势:,方向:
16、a到b,(45),例11: 无限长载流直导线(I=I0sint)与直角三角形线圈 共面放置(AB=a, BC=b), 当线圈以速度v 向右运动时, 设t=0时, AB边与y轴重合。求: t时刻线圈中 = ?,解法1: 动生电动势 + 感生电动势,(46),其中 xB=v t 方向: B 到 A,方向: C 到 A,(47),t 时刻感生电动势: (设线圈不动) 取回路BACB,t 时刻动生电动势:,方向: 顺时针,方向: 交替变化,(48),解法2: 用法拉第电磁感应定律,找出磁通量与时间的关系(BACB回路为正),金属块中出现感应电流,电流线自动闭合称为涡旋电流 Ii , 又叫傅科电流(Fo
17、ucault current),趋肤效应(skin effect): 交变电流I(t)通过导体时, 导体中也将产生傅科电流 Ii , 该电流 Ii 引起一种特殊的表面效应, 即交变电流I(t)均匀分布在导体表面。 如下图示：,(49),10.3.2 涡旋电流(vortex electric current),电磁感应现象的应用举例：,(1)涡流的热效应:,高频感应加热炉(熔化易氧化金属、难熔金属、特种金属)，,(2)涡流的机械效应,阻尼摆(电磁阻尼)(电表,制动器);,金属表面淬火。,(50),变压器铁芯用绝缘硅钢片叠成。,高频感应炉,磁悬浮现象。,10.4 自感与互感 (Self-induc
18、tion and Mutual induction),一、自感现象:,(51),10.4.1 自感(Self-induction),非铁磁质,L线圈的自感系数,简称自感或电感,(52),二、自感系数(self-inductance),它取决于线圈的形状、大小、匝数以及周围磁介质的情况 与电流 i 无关。,定义:,定义:,三、自感电动势,(53),L 越大产生的自感电动势越大, 回路中电流的变化就越不容易, 因此 L 也可认为是描述回路“电磁惯性”的物理量。,一般取电流方向为回路的正方向,L 的方向与电流 i 的方向相反,L 的方向与电流 i 的方向相同,L的计算思路: 设 i B L,解:,设
19、电流i,(54),若在螺线管内装有铁芯,自感是否仍与电流无关?,例12:已知l, S, n, ; 求: 长直螺线管的自感L,例13:传输线由两个同轴圆筒组成,内、外圆筒半径分 别为R1 , R2,电流由内筒一端流入, 由外筒的另一端流 回,求: 此传输线一段长为 l 的自感系数。,解: 设电流强度为 I,可视为单匝回路,取面积ABCD, BC = l , 法线方向,(55),一、互感现象: 当回路中电流变化时,在邻近回路中产生感应电动势和感应电流的现象。,磁棒,10.4.2 互感(Mutual induction),(56),M21: 线圈1对线圈2的互感系数,简称互感。,(57),二、互感系
20、数(mutual inductance),“1”,“2”,取决于两线圈的形状、大小、匝数、相对位置以及周围磁介质的分布情况。它与电流i1无关。,电流i1 激发的磁场通过线圈2的全磁通21i1,(58),三、互感电动势,“1”,“2”,可以证明:,同理电流i2 激发的磁场通过线圈1的全磁通12i2,M12: 线圈2对线圈1的互感系数,(59),互感的应用举例: 变压器。,互感也有不利的地方如打电话窜线。 使两线圈的互感 M 减小的办法之一是使两线圈互 相垂直。,互感的计算方法:,先选定一个线圈,设 i B M,(60),解: 选线圈1 设i1 B1= n1i1,例14:长直螺线管上有两个密绕线圈
21、, 单位长度上的匝数为n1, n2 ; 长直螺线管的体积为V内部充满磁导率为 的磁介质。求:两线圈的互感。,通过线圈2的全磁通为,例15:一边长为 l 和 b 的矩形线框。在其平面内有一根 平行于 b边的长直导线 OO,其半径为 a , 求: 该系统的互感系数。,解:长直导线的磁场：,(61),r,通过矩形线框的全磁通为,四、互感线圈的串联,1.顺接,整个线圈的自感?,(62),线圈1的全磁通:,线圈2的全磁通:,2.逆接,(63),线圈1的全磁通:,线圈2的全磁通:,(64),例16:在一个中空的圆柱面上紧密地绕有两个完全相同 的线圈aa ,bb 己知它们自感系数均为0.05H 1)若a,
22、b 相连接, a, b接入电路, 则整个线圈的自感? 2)若a,b 相连, a , b接入电路,则整个线圈的自感?,解: 1)逆接,2)顺接,因两线圈紧密靠近, 故a=ba = b=ab,a b,(65),当电键k开合时, 灯泡闪亮一下, 说明回路中有能量, 能量哪里来?,10.5 磁场的能量 (The energy of magnetic field),来自螺线管!,当电键k闭合时,电源克服自感电动势作功,将电能转化成磁能储存在螺线管中,螺线管(自感线圈)储存的磁能有多大?,k,能量存在器件中,能量存在场中,类比,(66),一、自感线圈的磁能,自感为 L 、通有电流 I 的线圈所具有的磁能等
23、于电流建立的过程中(即电流 i 从0I ), 电源克服自感电动势所作的功:,Wm = AL,dt 时间内通过线圈的电量:,dq = idt,则在dt内电源克服自感电动势所作的功: dAL= Ldq,电流 i 从0I 时,电源克服自感电动势所作的总功:,(67),二、磁场能量Wm 、磁能密度 wm,螺线管长 l , N 匝, 横截面S, 内介质磁导率,1.磁能密度(单位体积内的磁能):,2.磁场能量 Wm,V: 整个磁场分布(B0)的空间,(68),例17:一根很长的同轴电缆, 由半径为R1的金属薄圆筒与半径为R2的同心金属薄圆筒组成, 其间介质的磁导率为 , 电缆中央的金属薄圆筒上载有稳定电流
24、I, 在经外层金属薄圆筒返回形成闭合回路。 求: l 长的一段电缆内储存的磁能?,解: 由安培环路定理,(69),(70),dr,因wm具有柱对称性, 取厚度为dr、长为l 的薄圆柱壳,其体积为dV=l2rdr, 所含磁能为,讨论,可由磁场能量计算自感系数:,10.6 麦克斯韦方程组和电磁波 (Maxwell Equations and Electromagnetic Wave),(71),10.6.1 位移电流(displacement current) 10.6.2 麦克斯韦方程组(Maxwell Equations) 10.6.3 电磁波(Electromagnetic Wave),麦克
25、斯韦(Maxwell J.C., 1831-1879)英 国物理学家,数学家,本节的主要内容: (1)通过引进位移电流假说把安培环 路定理推广到电流变化的回路中; (2)把特殊条件下总 结出来的电磁的实验规律, 经推广、综合成体系完整 的普遍的电磁场理论麦克斯韦方程组。,稳恒磁场,空间存在,稳恒电流,静止电荷,空间存在,感生磁场？,磁场,(72),电场规律,磁场规律,？,静电场,感生电场,电场,什么电流?,10.6.1 位移电流(Displacement current),一、安培环路定理遇到的问题,在非稳恒电流条件下(如含电容器的电路中):,安培环路定理对S1面为I , 对S2面为0 安培环
26、路定理不适用于非稳恒电流,(73),稳恒电流的磁埸,安培环路定理对S1 和S2面均为I,注意: 虽然传导电流在电容器极板间中断, 但极板间产生了变化的电场。,怎样将安培环路定理推广至非稳恒电流中?,1.位移电流的引入,(74),传导电流等于通过截面S的电位移通量的时间变化率。,二、位移电流(displacement current),麦克斯韦定义:,为位移电流,意义:通过任意曲面S的位移电流等于通过S的电位移通量的时间变化率;,设某时刻电容器极板上电量为q,位移电流是变化的电场产生的。,2.位移电流密度,位移电流密度矢量,电场中某一点的位移电流密度等于该点电位移矢量的时间变化率。,3.位移电流
27、方向与传导电流方向相同,电容充电,电容放电,方向为 方向,I,I,(75),三、位移电流激发的磁场,(76),的安培环路定理：,方向与 方向（即Id方向）遵从右手螺旋。,式中S为闭合曲线 L 所限定的任意曲面；,Idint为穿过S面的位移电流；,四、全电流的安培环路定理,若空间中同时存在传导电流(相应的磁场为 )和位移电流(相应的磁场为 ),则空间中的总磁场强度为,全电流的安培环路定理(麦克斯韦四个方程式之一):,全电流: I全I0 + Id 即传导电流与位移电流之和。,(77),(78),解: (1),由位移电流定义得,(2)I和Id分布对圆板中心轴线是轴对称的, 故磁场分布也是轴对称的。其
28、绕向与电流方向构成右手螺旋。,(79),例18:充了电的由半径为r0的两块圆板组成的平板电容器, 在电容器放电时,两板间电场强度的大小为 式中t为时间, E0、R、C 均为常数。 求: (1)两极板间的位移电流 Id (2)磁感应强度 的分布,方向如图,(80),由全电流的安培环路定理:,(81),前人的成就 + 感生电场 + 位移电流,静电场:,感生电场:,电荷是产生电磁场的根源, 由于电荷相对观察者运动的不同而把电磁场分为电场和磁场。,电磁场运动所遵循的规律是高斯定理和环路定理,稳恒磁场:,位移电流产生磁场:,10.6.2 麦克斯韦方程组(Maxwell equations),(82),物
29、理意义: 在电场中,通过任何封闭曲面S的电位移通量等于该封闭曲面S内自由电荷量的代数和,1.电场的性质,2.磁场的性质,物理意义: 在磁场中,通过任何封闭曲面S的磁通量等于0,3.变化磁场和电场的联系,物理意义: 在电场中,电场强度沿任意闭合曲线L的线积分等于通过该曲线为边线的任意曲面的磁通量时间变化率的负值。,4.变化电场和磁场的联系,物理意义: 在磁场中,磁场强度沿任意闭合曲线L的线积分等于通过该曲线为边线的任意曲面的全电流的代数和。,(83),(84),(85),(86),10.6.3 电磁波(Electromagnetic wave),一、电磁波,麦克斯韦根据两个基本假说（涡旋电场、位移电流 )于1865年预言了电磁波的存在。20年后，赫兹直接从实验证实了这个理论的正确性。,电磁波传播示意图,空间任一点:,(87),二、电磁波的性质,相互垂直,同频率,同相位地变化,三、电磁波的能量与坡印廷矢量(Poynting vector),1.电磁波能量,在空间某点处,电磁场的能量密度(单位体积内电磁场的能量)为,电磁场能量:,电磁场能量密度,(88),2.坡印廷矢量(Poynting vector),电磁波传播时,电磁场的能量也跟着传播。,大小:单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量。,方向:电磁波的传播方向。,(89),电磁波的能流密度矢量 (也称为坡印亭矢量),
