1、中原名校 2017-2018 学年第五次质量考评高三数学（文）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的）1. 已知集合 ，则142|()93xAB， ， ， ， ABA. B. C. D. 4 24， 42，2. 已知复数 z 满足 z(3-i)=1-2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 的值为22cos375sin375A. B. C. D. 132124. 已知向量 ，且 ，则(2)(3)ab， ， ， ()ambA. 1 B. 5 C. -1 D. -55. 九章算术中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵” ，如图，边长为 1 的小正方形网格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则
3、该“堑堵”的正视图面积为A. 1 B. 2 C. 4 D. 86. 下图为 2017 年 311 月某市接待游客人数及与上年同期相比增速图，根据该图给出下列结论：2017 年 11 月该市共接待旅客 35 万人次，同比下降了 3.1%；整体看来，该市2017 年 311 月接待游客数量与上年同期相比都处于下降状态；2017 年 10 月该市接待游客人数与 9 月相比的增幅小于 2017 年 5 月接待游客人数与 4 月相比的增幅. 其中正确结论的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 已知双曲线 的左焦点 F 在圆 上，2:1(0)xyCm26150xy则双曲线 C 的离心率为A.
4、B. C. D. 959435328. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最120()xy24xyx大值为A. 3 B. 7 C. 9 D. 109. 执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 5，则判断框内填入的条件可以是A. ？ B. ？sin0cos0是否开始n=1n=n+1输出 n结束C. ？ D. ？12n234n10. 已知抛物线 的焦点 F 到其准线的距离为 2，过点 E(4, 0)的直线2:(0)Cypx l与抛物线 C 交于 A，B 两点，则 的最小值为2BA. B. 7 C. D. 9323811. 已知函数 的图象在区间2()sin()(1cos()424xfxgx，
5、 ()2m，上有且只有 9 个交点，记为 ，则9iy， ， ， ，91()iiiyA. B. 8 C. D. 2 829212. 已知 ，若曲线 上存在不同两点 A，B，使得曲线4()2)(0)1xfxa()fx在点 A，B 处的切线垂直，则实数 a 的取值范围是()fA. B. (-2, 2) C. D. 3)， (32)， (23)，第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 从 1，3，5， 7，9 中任取 3 个不同的数字分别作为 ，则()abc， ，的概率是 _. abc14. 设函数 ，若 ，则 _. 20ax， ， (1)f1
6、5. 已知三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=2PC=2， 是边长为 的正三角形，则三棱锥 P-ABC3ABC 的外接球半径为_. 16. 已知 中， ，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，点 D 在边 BC 上，ABC2AD=l，且 BD=2DC，BAD=2DAC，则 _. sin三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 . anS112nnaS，(1)求 及 ；nSa(2)若 ，求 的前 2n 项的和 . 1nbS为 奇 数为 偶 数， ， nb2nT18.（本小题满分
7、 12 分）2017 年 10 月 18 日上午 9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査网站从观看十九大的观众中随机选出 200 人，经统计这 200 人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式 PC 端口观看的人数之比为 4：1. 将这 200 人按年龄分组：第 1 组15, 25)，第 2 组25, 35)，第 3 组35, 45)，第 4 组45, 55)，第 5 组55, 65)，其中统计通过传
8、统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示. (1)求 a 的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；(2)把年龄在第 1，2，3 组的观众称为青少年组，年龄在第 4，5 组的观众称为中老年组，若选出的 200 人中通过新型的传媒方式 PC 端口观看的中老年人有 12 人，请完成下面 22列联表，则能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？通过 PC 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计青少年中老年合计频率组距15 25 35 45 55 65 年龄 a0.030.010.015O附： （其中 样本容量）. 22()(nadb
9、cKnabcd20(Pk0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.（本小题满分 12 分）如图甲，在四边形 ABCD 中， ，ABC 是边长为 4 的正三角形，把23ADC，ABC 沿 AC 折起到PAC 的位置，使得平面 PAC 丄平面 ACD，如图乙所示，点 O，M，N 分别为棱 AC，PA，AD 的中点.(1)求证：AD 丄平面 PON； (2)求三棱锥 M-ANO 的体积. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 F，上顶点为 G，直线 FG 与直线2:1(0)xyEab垂
10、直，椭圆 E 经过点 . 30xy32P，(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)过点 F 作椭圆 E 的两条互相垂直的弦 AB，CD. 若弦 AB，CD 的中点分别为 M，NM，证明：直线 MN 恒过定点. 21.（本小题满分 12 分）已知 . 32()1ln()xfxegxxa，(1)讨论 的单调性；(2)若存在 及唯一正整数 ，使得 ，求 a 的取值范围. 1(0)x， 2x12()fxg【选考题】请考生在第 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.（本小题满分 10 分） 【选修 4-4: 坐标系与参数方程】在平面直角坐标系
11、 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐1cosinxy标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为l. sin()24(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)若射线 与曲线 C 交于点 0， A，与直线 交于点 B，求 的(0)4， lOA取值范围.23.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5: 不等式选讲】已知函数 . ()21fxax(1)若 ，解不等式 ；1a()f(2)若对任意 xR，恒有 ，求实数 a 的取值范围. fx中原名校 2017-2018 学年第五次质量考评高三数学（文）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
12、2B D A B C C C C D C D A1. B【解析】因为 ，所以12|()|23xx， ， ， ，故选 B.4A2. D【解析】因为 z(3-i)=1-2i，所以 ，所以复数 z12()1332iiz i在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，故选 D.1()2，3. A【解析】 cos375sin375cos4375sin4375，故选 A.cos(3754)024. B【解析】由 可得 ，(21)(3)ab， ， ， 51ab，所以 所以 ，故选 B.()0mbm5. C【解析】由题意知，该“堑堵”的正视图是三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长为 4，则其面积
13、为 4，故选 C.6. C【解析】正确，正确，2017 年 10 月该市接待游客人数与 9 月相比的增幅为，2017 年 5 月该市接待游客人数与 4 月相比的增幅为37.625.3016，错，故选 C.9047. C【解析】设 ，将 代入 中得，()Fc， (0)Fc， 26150xy，解得 c=3，所以 ，所以双曲线 C 的离心率2150c194m，故选 C.3e8. C【解析】根据题意画出可行域如图所示（图中阴影部分） ，由可行域可知 ，12x，所以 ，32y40xy所以 ，设 ，|224xxy4zxy当直线 过点 A(1, 2)时，z 取得最大值，为 9，故选 C. 12yz9. D【
14、解析】对于选项 A，由 sin10，sin20，sin30，sin40，cos20 可知，输出的 n 的值为 2；对于选项 C，由 ，12，可知输出的 n 的值为 3；对于选项 D，由 ，2131， 344n可知输出的 n 的值为 5，故选 D.10. C【解析】由抛物线 C 的焦点 F 到其准线的距离为 2，得 p=2，设直线 的方程为l，与 联立得 ，4xmy2x24160ym设 ，则 ，所以212()()yAB， ， ， 12 221(1)4yAFB（当且仅当 ，即 时，取221133848y2121等号） ，故选 C.11. D【解析】由 ，可知 的图象关于点 对称，()102g()g
15、x()2，由 ，可得 ，()sincos(1sin42fx10f所以 的图象关于点 对称，)，所以 ，故选 D. 9911()iiiiixyxy942112. A【 解析】由 ，得 ，由4()2)(0)1xfxa24()(1)fxax可得 ，设 ，则两切线斜率分别为0x2af2(AyB， ， ， ，由 且 ，可得11()kf2()kx1akak， 12k，解得 ，故选 A.20()a313. 【解析 】从 1，3， 5，7，9 中任取 3 个不同的数字分别作为 ，31 ()abc， ，所有可能的结果有(1, 3, 5)，(1, 3, 7)，(1, 3, 9)，(1, 5, 7)，(1, 5,
16、9)，(1, 7, 9)，(3, 5, 7)，(3, 5, 9)，(3, 7, 9)，(5, 7，9)，共 10 种，满足 的结果有abc(3, 5, 7)，(3, 7, 9)，(5, 7, 9)，共 3 种，所以所求概率 . 310P14. -3 或-2【解析】因为 ，(1)fa所以 或0(1)3(3)1ff2(3)()1aa或 ，所以 或 . 30a或 72a或 15. 【解析】由题意可得 PC平面 ABC，以 PC 为一条侧棱，ABC 为底面把三棱锥52P-ABC 补成一个直三棱柱，则该直三棱柱的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心
17、，因为底面外接圆的半 r=1，所以三棱锥P-ABC 的外接球半径 . 215()R16. 【解析】由 及BAD=2DAC，可得 ，32A36BADC，由 BD=2DC，令 DC=x，则 BD=2x，因为 AD=1，在ADC 中，由正弦定理得 ，1sinix所以 ，在ABD 中 ，所以 . 1sin2Cxsin3i24Bx3sin412BxC17.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）由 得， ，即 ，112nnaSS120nnS1120nnSS所以 . （2 分）1n又 ，所以 以 2 为首项，2 为公差的等差数列.12Sa1nS所以 ，故 . （4 分）()n1n所以当 时， ，21122
18、()nnaSnx所以 . （5 分）122()nnx， ，（2）由（1）知 ，1()8nbn为 奇 数 为 偶 数， ，所以 ， （9 分）2132164n 24 1( )835b n ，()814n所以 . （12 分）2T18.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）由频率分布直方图可得：10(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l，解得 a=0.035， （3 分）所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：20100.01+30100.015+40100.035+50100.03+60100.01=41.5 （6 分）（2）由题意得 22 列联表: 通过 PC 端
19、口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计青少年 28 96 124中老年 12 64 76合计 40 160 200（8 分）计算得 的观测值为 ，2K220(86419).358.7067k所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. （12 分）19.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）因为APC 为正三角形，O 为 AC 的中点，所以 P0 丄 AC，因为平面 PAC 丄平面 ACD，平面 PAC平面 ACD=AC，所以 PO 丄平面 ACD，因为 AD 平面 ACD，所以 PO 丄 AD， （3 分）因为 ，AC=4，所以 ，所以 AD 丄 CD
20、，23ADC， 22ACD因为 O，N 分别为棱 AC，AD 的中点，所以 ON/CD，所以 ON 丄 AD，因为 POON=O，所以 AD 丄平面 PON. （6 分）（2）由 AD 丄 CD， ， ，23，可得 ，1ACDS而点 O，N 分别是棱 AC，AD 的中点，所以 ， （9 分）1342NAOCDS由ACP 是边长为 4 的等边三角形，可得 , 2P即点 P 到平面 ACD 的距离为 ，23又 M 为 PA 的中点，所以点 M 到平面 ANO 的距离为 ，3故 . （12 分）1312MANOV20.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）因为直线 FG 与直线 垂直，所以 （O
21、为坐标原点） ，30xy3GF即 ，所以 ， （2 分）3bc224abc因为点 在椭圆 E 上，所以 ，(1)P， 219ab由 ，解得 ，224319ab243，所以椭圆 E 的标准方程为 . （4 分）213xy（2）当直线 AB，CD 的斜率都存在时，设直线 AB 的方程为 ，则直线 CD 的方程为 ，(0)xmy1xym由 可得 ，2143xy2(4)69y设 ，则 . （6 分）12()()AxyB， ， ， 12122293434my，由中点坐标公式得 ，224()3Mm，同理可得 ， （8 分）22()4N，所以直线 MN 的方程为 . (147xym令 y=0，得 ，所以直线
22、 MN 经过定点 . （11 分）4(0)7，当直线 AB 或 CD 的斜率不存在时，易知直线 MN 为 x 轴，也经过定点 .4(0)7，综上所述，直线 MN 经过定点 . （12 分）4(0)7，21.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）因为 ，所以 ，()1lnxfxe()xef由 ，可知 是增函数，又 ， （2 分）0x 10所以 x(0, 1)时， ， 是减函数，()0fx()f当 时， ， 是增函数，(1)x， 所以 的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是 . （5 分）f (1)，（2）因为 ，所以由（1）知， 在 上的值域为 ，()0()fx0， 0)，存在 及唯一正
23、整数 ，使得 ，1x， 212)g即满足 的正整数解只有 1 个， （8 分）()g因为 ，所以 ，32xxa2()3(1)gxx所以 在(0, 1)上单调递增，在 上单调递减，() ，所以 ，即 ，解得 . 10(2)g02a12a所以 a 的取值范围是 . （12 分）1)，22.（本小题满分 10 分）选修 4-4: 坐标系与参数方程【解析】 （1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 得曲线 C 的普1cosinxy通方程为 ，即 ，2()1xy20由 得曲线 C 的极坐标方程为 ，2cosixy， ， 2cos即 . （5 分）（2）设 ，则 ，12()()AB， ， ，
24、 12cosin()4，所以22cosin()sincos114incos244OAB， （8 分）1sin(2)44由 ，得 ，所以 ，032sin()14所以 的取值范围是 . （10 分）OAB1(24，23.（本小题满分 10 分）选修 4-5: 不等式选讲【解析】 （1）因为 ，所以当 时，1a0x()2130xfx或 ， （2 分）023x40时， ，x() 011xfxx所以 的解集为 . （5 分）()fx(0)(4)， ，（2）对任意 ，恒有 ，则 有最小值，Rfxafx因为 ，1(2)3)afxx，所以 ，即 时， 有最小值 ， （8 分)20a2a()fx1()2fa由 ， 得 ，143所以实数 的取值范围是 . （10 分）a2，
