1、湖南省株洲市 2018 届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 = ,又 ，所以故选 A.2. 已知 ，其中 为虚数单位， ，则 （ ）A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】因为 所以 故选 B3. 已知等比数列 是递增数列， 是 的前 项和.若 ，则 （ ）A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】C【解析】因为等比数列 是递增数列，且 ，所以 ， ，又 所以
2、 . 故选 C4. 如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为 ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134 B. 866 C. 300 D. 500【答案】A【解析】设大正方形的边长为 ，则根据直角三角形，其中一角为 可得直角三角形短的直角边长为 ，长的直角边长为 ，即小正方形的边长为 ，则大正方形的面积为 ，小正方形的边长为 ，米粒落在小正方形内的概率为 落在黄色图形内的图钉数大约为 1000 故选 A5. 已知 是
3、定义在 上的奇函数.当 时， ，则不等式 的解集用区间表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（0）=0设 x0，则-x0，当 x0 时，f（x）=x 2-x，f（-x）=x 2+x，又 f（-x）=x 2+x=-f（x） ，f（x）=-x 2-x，x0当 x0 时，由 f（x）0 得 x2-x0，解得 x1 或 x0（舍去） ，此时 x1当 x=0 时，f（0）0 不成立当 x0 时，由 f（x）0 得-x 2-x0，解得-1x0综上 x（-1，0）（1，+） 故选 D.6. 展开式中 的系数为（ ）A. 10 B. 30 C. 45 D.
4、210【答案】B【解析】 （-1-x+x 2） 10=（x 2-x）-1 10 的展开式的通项公式为，所以 或 ，故展开式中 的系数为 故选 B7. 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】把三视图还原为几何体是：底面是等腰直角三角形的直三棱柱，侧棱长为 2，底面三角形直角边为 2，斜边为 2 ，取前后面的斜边中点连线的中点为点 ，则 O 为该三棱柱外接球的球心，由此求得球的半径为 ，所以球的表面积为 .故选 C8. 已知 表示不超过 的最大整数，如 .执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A. 45
5、0 B. 460 C. 495 D. 550【答案】B【解析】 所以输出的 S 为故选 B.9. 已知函数 （ 为整数）的图像如图所示，则 的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于 A：当 时， ， 故 A 错误；对于 B：当 时， ， ，故 B 正确；对于 C：当 时， 故 C 错误；对于 D：当 时， 故 D 错误；利用排除法也知 B 正确；故选 B10. 已知 的图像关于点 对称，且 在区间 上单调，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】 的图像关于点 对称， 解得 ，令 kx+k，解得 ，kZ；f（x）在 上是单调减函数，f（x）在 上
6、单调， 又0，= 故选 D11. 已知抛物线 和圆 ，直线 与 依次相交于四点（其中 ） ，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】y 2=4x，焦点 F（1，0） ，准线 l 0：x=-1由定义得：|AF|=x A+1，又|AF|=|AB|+1，|AB|=x A，同理：|CD|=x D，当 lx 轴时，则 xD=xA=1，|AB|CD|=1，当 l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k 2x2-（2k 2+4）x+k 2=0，x AxD=1，则|AB|CD|=1综上所述，|AB|CD|=1，故选 A点睛：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考
7、查学生的计算能力，属于中档题12. 已知直三棱柱 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 ，分别交于三点 ，若 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 4【答案】C【解析】建立直角坐标系如下：点 M 在侧棱 上，设 M ，点 N 在 上，设 ，点 在 上，设 ，则因为 为直角三角形，所以，斜边，当 时取等号.故答案为 .第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为边 的中点，则 _【答案】3【解析】E 为等边三角形 ABCBC 的中点，BA
8、E=30，AE= ,故答案为 314. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y=-2x+z，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C 时，直线 y=-2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 将 C（2，0）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=22+0=4即 z=2x+y 的最大值为 4故答案为 415. 已知双曲线 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线的离心率为_【答案】.故答案为16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， 表示
9、位于第 行第 列的数.则112 在这“等差数阵”中出现的次数为_【答案】7【解析】该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： =4+3(j1)，第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： =7+5(j1)，第 i 行是首项为 4+3(i1)，公差为 2i+1 的等差数列，因此=4+3(i1)+(2i+1)(j1)=112，可得 共 7 组解.故答案为 7点睛：本题考查等差数列中某项出现次数的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， ，点 在 边上，且 为锐角，
10、 的面积为4.（1）求 的值；（2）求边 的长.【答案】(1) ；(2)4.【解析】试题分析：（1）利用三角形面积公式表示出三角形 BCD 面积，把 BC，CD 以及已知面积代入求出 sinBCD 的值，即可确定出 cosBCD 的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把 CD，BC，以及 cosBCD 的值代入求出 DB 的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形 ACD 为直角三角形，利用含 直角三角形的性质求出 AC 的长即可试题解析：（1） ， ， . ；（2）在 中， ，由余弦定理得： ，即 ， ， ，即 为直角三角形， ， . 18. 如图,在几何体 中，四边形 为矩形，四边形 为梯形,
11、,平面与平面 垂直，且 .（1）求证： 平面 ；（2）若 ,且平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ,求 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】试题分析：（1）推导出 CBBE，从而 CB面 BDE，进而 CBED，再由 EDAD，能证明 ED平面 ABCD；（2）以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 分别为 x，y，z 轴建立空间坐标系，求出平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，因为平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，则 ，即 ，解得 ，即得 试题解析：（1)证明：因为平面 与平面 垂直且 ，平面 与平面 的交线为 所以 面 ， 又 面所以，在矩形 中， 又四边形 为梯形，
12、 所以 与 相交，故 平面 （2）由（1）知， 垂直 ， 垂直 ，又 垂直 ， 平行 ，所以 垂直 ，如图，以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间坐标系又 ，所以 ，设 则 设平面 的法向量为，令 ，则所以平面 的法向量为易知，平面 的法向量为 ，因为平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，则 ，即 ，解得 ，即 19. 某协会对 两家服务机构进行满意度调查，在 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了 1000 人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为 60 分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组： ，得到 服务机构分数的频数分布表， 服务机构分数的频率分布直方图：定义市民
13、对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的 1000 人中，求对 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数；（2）从在 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 服务机构评价的“满意度指数”比对 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由【答案】(1)200；(2)0.3；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由对 B 服务机构的频率分布直方图，得对 B 服务机构“满意度指数”为 0 的频率为 0.2，由此能求出对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数;（2）设“对 B 服务机构评价满
14、意度指数比对 A 服务机构评价满意度指数高”为事件 C记“对 B 服务机构评价满意度指数为 1”为事件 B1；“对 B 服务机构评价满意度指数为 2”为事件 B2；“对 A 服务机构评价满意度指数为 0”为事件 A0；“对 A 服务机构评价满意度指数为 1”为事件 A1P（C）=P（B 1A0+B2A0+B2A1） ，由此能求出该学生对 B 服务机构评价的“满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率;（3）如果从学生对 A，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出 B 服务机构“满意度指数”X 的分布列和 A 服务机构“满意度指数”Y 的分布列，由此能出结果试题解
15、析：（1）由对 服务机构的频率分布直方图，得对 服务机构“满意度指数”为 0 的频率为 ，所以，对 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数为 人.（2）设“对 服务机构评价满意度指数比对 服务机构评价满意度指数高”为事件 .记“对 服务机构评价满意度指数为 1”为事件 ；“对 服务机构评价满意度指数为 2” 为事件 ；“对 服务机构评价满意度指数为 0”为事件 ；“对 服务机构评价满意度指数为 1”为事件 .所以 ，由用频率估计概率得： ，因为事件 与 相互独立，其中 .所以所以该学生对 服务机构评价的“满意度指数”比对 服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3 .（3）如果从学生对
16、两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：服务机构“满意度指数” 的分布列为：服务机构“满意度指数” 的分布列为:因为 ； ，所以 ，会选择 服务机构.20. 已知椭圆 与直线 都经过点 .直线 与 平行，且与椭圆 交于 两点，直线 与 轴分别交于 两点.（1）求椭圆 的方程； （2）证明： 为等腰三角形.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）将点 M 分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（2）设直线 m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得 kMA+kMB=0，即可求得MEF 为等腰三角形试题解析：（1）由直线 都经
17、过点 ，则 a=2b，将 代入椭圆方程：，解得：b 2=4，a 2=16，椭圆 的方程为 。（2）设直线 为： ，联立: ，得 于是 设直线 的斜率为 ，要证 为等腰三角形，只需，所以 为等腰三角形.点睛: 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题21. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 在区间 内有唯一的零点 ，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知 ，若 在区间 内有唯一的零点 ，由（1）可知 ，且 ，于是
18、： ， 由得 ，设 g(x) lnx ，( x(0，1)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（1） ，当 时， ， 在 上单调递增 当 时，设 的两个根为 ，且在 单调递増，在 单调递减.（2）依题可知 ，若 在区间 内有唯一的零点 ，由（1）可知 ，且 . 于是： 由得 ，设 ，则 ，因此 在 上单调递减，又 ， 根据零点存在定理，故 .点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知曲线 的极坐标方程是
19、 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 ( 为参数).（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的值.【答案】(1) .(2) 或 .【解析】试题分析：试题解析：（1）由 得 ， , ，曲线 的直角坐标方程为 ，即 ；（2）将 代入圆的方程得 .化简得 设 两点对应的参数分别为 ，则 , . , 或 23. 已知函数 .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若方程 有三个不同的解，求 的取值范围【答案】(1) 或 ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式等价转化
20、为三个不等式组，再求它们的并集，本题也可移项平方去绝对值求解（2）分别作出图像 及 ，再根据图像平移得参数取值范围试题解析：解：（1） 时， ，当 时， 符合题意，当 时， ，解得 ；当 时， 符合题意，综上所述， 的解集为 （2）设 的图像和 的图像如图所示：易知 的图像向下平移 1 个单位以内（不包括 1 个单位）与 的图像始终有 3 个交点，从而 考点：绝对值定义，函数交点【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
