1、1摘要：把一个多项式化成几个整式积的形式.因式分解内容丰富，方法多，技巧性强.学好它，既可以培养学生的观 察、思维、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.本文着重 阐述了因式分解的六种方法，分别是提公因式法、公式法、分 组分解法、十字相乘法、配方法、拆、添项法. 其中提公因式法，公式法是最基本的方法. 举例说明运用时常会出现的错误及注意点. 其次通过 案例讲解了在解题过程中是如何运用另外四种方法的. 最后介绍了在教学中 应当注意的问题. 关键字：因式分解； 多项式； 公式法； 配方法； 中图分类号: G632 文献标识码：A2浅析因式分解的方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
2、种变形叫做把这个多项式因式分解，又叫分解因式. 在中学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分解的因式的乘积. 但那里并没有深入地讨论这个问题，那里所谓不能再分，常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意思，并没有严格地论证它们确实不可再分. 所谓不能再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数所在的数域而言的. 例如，在有理数域上，把 分4x解为 的形式就不能再分了. 在实数域上，就可以进一步分解成)2(42xx. 而在复数域上，还可以更进一步分解成)(. 由此可见，必须明确系数域后，所谓不能)2()(4 xixix再分才有确切的涵义. 那么在中学所学的代数中如何因式分解，主要可
3、以归纳为以下几种方法. 一、提公因式法如果一个多项式的各项都含有公共的因式，那么就可以把这个公因式提出来.把多项式化成公因式与另一个多项式积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法.一般步骤为：1.找出公因式2.提公因式并确定另一个因式第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数；第二步提公因式并确定另一个因式， 注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，得到剩下的另一个因式；提取公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同. 提公因式法中常会出现的错误：1. 有而不提例 1.分解因式: 2510x误解：原式=
4、)(原因：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式，但这里没有提公因式 .25正解：原式= )12(5x2. 提而不尽3例 2. 分解因式: )(2)(6pqp误解：原式= 32= )()(2= 62pqp原因：对 不理解，丢失了公因式)(q)(q正解：原式= 132= )(p3. 提后不补位例 3. 分解因式: axbax2814误解：原式= )47()7(22原因：错误地认为把 提出来后，该项就不存在了，实际应为 12ax正解：原式= )14(2bax二、公式法运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法. 在初中主要会用到以下几个公式来进行因式分解：平方差公式：
5、);(2baba完全平方公式： 22立方和公式： );)(3立方差公式： 22baba完全立方公式： .)(33323 公式法应注意以下几点：应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征. 明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式. 同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，熟记 1 至 20 的平方，才能灵活运用公式. 运4用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解.例 1分解因式： 294ba分析： 那么只要把 和 看作平方差公式中的 和22)3(,)(ab3a即可.b将两项交换后，这
6、两项式是平方差的形式.原式 2)3(ba注：为保证解题正确要将中间步骤 写上，即先化为公式的左边形式.2)3(ba例 2. 分解因式 42416781yx分析：本题是三项式，运用完全平方公式，平方差公式. 原式 222)(9)(x22)3()(4yx三、分组分解法要把多项式 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因bnma式 ，把它后两项分成一组，并提出公因式 ，从而得到 ，又可以提a )()(nmba出公因式 ，从而得到 . nm)(nba例： yxa)(b我们把 和 分一组， 和 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了axybxy困难. 同样，这道题也可以这样做 . )(yxb
7、a5例 1. 分解因式： yxx32分析：首先注意到前两项的公因式 和后两项的公因式 ，分别把它们提出来，剩3下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解.此题也可以考虑含有 的项分)(y y在一组. 如下面法（二）解法解：（一）原式 )3()2(yxx)(y解：（二）原式 322yxx)(3说明：解法（一）和解法（二）虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为 1：1 和 2：（-3）, 这也是分组中必须遵循的规律之一.注意：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等. 一
8、般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提. 四、十字相乘法 对于 形式的多项式，如果 且 ，则多项式可因qpxmqcdmab, pbda式分解为 )(cbda这种方法有两种情况1. 型的式子的因式分解 pqxx)(2这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 ；常数项是两个数的积；一次项系数是1常数项的两个因数的和. 因此，可以直接将某些二次项的系数是 的二次三项式因式分解：1)()(2 xxqpx2. 型的式子的因式分解 nmk2如果有 且有 时，那么 bdac, mca )(2
9、dcxbanxk十字相乘法是比较难学的，但是一旦学会了它，用它来解题，会给学生带来很多方便，但它也存在优缺点： 6十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错. 十字相乘法的缺陷：有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单. 十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目. 十字相乘法比较难学. 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例 1. 分解因式 1242m分析：本题中常数项 可以分为 当12,634,62, 分成 时，才符合
10、本题. 126解：因为 -61 -21所以 )6(242 mm例 2. 分解因式 852x分析：本题中的 可分为 可分为 当二次项系数分,1.18,24,81为 ，常数项分为 时，才符合本题. 514解：因为 -45 21所以 )5(2862xx五、配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法. 配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式 ，判断什么是： 或 ，或 ，怎样从222)(baa“ab“a这两项去找出 ，或“从 这两项去找出 ”，或“从 去找出 和b2 “2b22a”. 要求学生要熟练掌握这些基本方法，从
11、而做到心中有数，配方有路可循. 应用配方法分解因式，常能将多项式配成 的形式并应用开方差公式分解.2NM7例 1. 分解因式 8612942ba分析 第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项 即可. 19原式 )()1(22a43b例 2. 分解因式 )2()(2 nmtnt分析: 将多项式中前两项 进行配方，添上 即可分t)(2 22)()(nm组分解. 原式 )()( 22 tmt )2)( )(222ntnt n例 3. 分解因式 44)(baba分析：此题中只含 和 两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配方.设则,tsb
12、a原式 424)3)(3( )()()()(22 22222ba bababaststt 六、拆、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解. 例 1. 分解因式： 893x分
13、析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法 1 将常数项 拆成 1原式 93x)8)(1)1(2x8解法 2 将一次项 拆成 x9-x8原式 83x)8)(112x（解法 3 将三次项 拆成 339x原式 9x)8)(1)1(2233 xx解法 4 添加两项 2原式 93x)8)(11(22x注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种此外还可以用换元法，待定系数法，求根法，特殊值带入法，主元法，因式定理法等来
14、进行因式分解.但在教学中应当注意： 因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引人应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就. 在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学车模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题策略. 提取公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律. 在讲解时可以先讲单项式乘以多项式，再把它逆过来运算就是提取公因式，用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的. 9参考文献：1 石生明.高等代数M. 高等教育出版社,2003:18-192 高金玉.浅谈因式分解方法的变换J.林区教学,2003(4):23-253 刘彦辰.因式分解有诀窍J. 中学课程辅导,2010(11):17-194 陈连银.浅谈多项式的因式分解J.中国基础教育期刊,2010(19):5-85 文莉.谈谈因式分解的方法与技巧J.数学学习,2008(4):13-14指导老师：徐新萍
