1、结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,等效节点载荷有限单元法分析只采用节点载荷，作用于单元上的非节点载荷都必须移置为等效节点载荷。可依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。(1)集中力的移置。设单元ijm内坐标为(x，y)的任意一点M受有集中载荷f=fx fyT，移置为等效节点载荷P e=Xi Yi Xj Yj Xm YmT。假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为u*=NT(*)e，其中(*)e为单元节点虚位移。按照静力等效原则有则(2)体力的移置。设单元承受有分布体力，单位体积的体力记为qqx qyT，其等效节点荷载为,(2-1-17),(2
2、-1-18),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,(3)面力的移置。设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=px pyT，在此边界上取微面积tds，对整个边界面积分，得到例1-1 求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图2-2所示ij边受x方向均布力p、图2-3所示jm边受x方向线性分布力。,图2-2 均布力 图2-3 线性分布力,(2-1-19),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,求解利用上述公式求等效节点载荷，当原载荷是分布体力或面力时，进行积分运算是比较繁琐的。但在线性位移模式下，可以按照静力学中力的分解原理直接求出等效节点载荷，
3、上述三种情况等效节点荷载分别为,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,整体分析 结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构物进行分析，分析过程是将所有单元的单元刚度方程组集成总体刚度方程，引进边界条件后求解整体节点位移向量。总体刚度方程实际上就是所有节点的平衡方程，由单元刚度方程组集总体刚度方程应满足以下两个原则：（4） 各单元在公共节点上协调地彼此连接，即在公共节点处具有相同的位移。由于基本未知量为整体节点位移向量，这一点已经得到满足。（5）结构的各节点离散出来后应满足平衡条件，也就是说，环绕某一节点的所有单元作用于该节点的节点力之和应与该节点的节点载荷平衡。每一节点统一
4、使用整体节点编号（如图2-4所示），第4单元节点编号i、j、m统一依次改为8、7、5。确定各单元的大域变换矩阵，如第4单元为,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,其中，I为22阶单位矩阵。求出各单元刚度矩阵，利用大域变换法求出结构整体刚度矩阵K，引入边界条件，得到结构的节点平衡方程进而，求解节点位移、单元应力和应变。,图2-4 节点与单元编号,(2-1-19),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,例1-2 如图2-5所示，一悬臂梁，自由端受合力为P的均布力作用，梁厚t=1，=1/3，求节点位移。求解结构为平面应力问题，划分为2个三角形单元、，有四个节点1、2、3、4，坐标分别为
5、（0，0）、（2，0）、（2，1）、（0，1）。单元、节点顺序分别取3、1、2和1、3、4，刚度矩阵完全一样。对单元：bi=0，bj=1，bm=1，ci=2，cj=0，cm=2。对单元：bi=0，bj=1，bm=1，ci=-2，cj=0，cm=2。单元的刚度矩阵为,图2-5 结构与离散,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,利用大域变换法求出整体刚度矩阵为,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,节点荷载向量为 P=0 0 0 P/2 0 P/2 0 0 0T位移向量为 =u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T由结构平衡方程求得节点位移为,结构静力学问题的有限元法 平面问题
6、有限元法,平面问题高次单元 如前所述，三节点三角形单元因其位移模式是线性函数，应变与应力在单元内都是常量，而弹性体实际的应力场是随坐标而变化的。因此，这种单元在各单元间边界上应力有突变，存在一定误差。为了更好地逼近实际的应变与应力状态，提高单元本身的计算精度，可以增加单元节点而采用更高阶次的位移模式，称为平面问题高次单元。如六节点三角形单元、矩形单元等。这里只介绍六节点三角形单元与矩形单元的位移模式，其它单元的位移模式和具体求解步骤与三节点三角形单元类似，且应用较少，不在赘述。六节点三角形单元如图2-6所示，在三角形单元各边中点处增加一个节点，则每个单元有六个节点，共有12个自由度。位移模式的项数应与自由度数相当，阶次应选得对称以保证几何各向同性。其位移模式应取完全二次多项式,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,将节点的坐标和位移代入即可求出广义坐标。四节点矩形单元如图2-7所示，共有8个自由度，取位移模式为将节点的坐标和位移代入即可求出广义坐标。,图2-6 六节点三角形单元 图2-7 四节点矩形单元,(2-1-20),(2-1-21),
