1、 应用弹塑性力学习题解答张 宏 编写西北工业大学出版社目 录第二章 习题答案 1第三章 习题答案 5第四章 习题答案 9第五章 习题答案 25第六章 习题答案 36第七章 习题答案 48第八章 习题答案 53第九章 习题答案 56第十章 习题答案 58第十一章 习题答案 61- 1 -第二章 习题答案2.6 设某点应力张量 的分量值已知，求作用在过此点平面 上的ijaxbyczd应力矢量 ，并求该应力矢量的法向分量 。(,)nxynzp n解 该平面的法线方向的方向余弦为22ladmbcdabc， ， ，而应力矢量的三个分量满足关系 nxxyzynzxyzzplnl而法向分量 满足关系 最后结
2、果为nnxnyxplm 22 22nxxyzynxzyzzxyyzzxpabcdaabcbcadd2.7 利用上题结果求应力分量为 时，过平0,2,1,2,0xyzxyxzyz面 处的应力矢量 ，及该矢量的法向分量 及切向分量 。31xyznpnn解 求出 后，可求出 及 ，再利用关系,31,lm,xyzp可求得 。222nxnyznppn最终的结果为 51,71,3nxnynz2922.8 已知应力分量为 ，其特征方程为10,5,1,4,2,3xyzxyxzyz- 2 -三次多项式 ，求 。如设法作变换，把该方程变为形式320bcd,bcd，求 以及 与 的关系。30xpq,px解 求主方向
3、的应力特征方程为3213JJ式中： 是三个应力不变量，并有公式2,1xyzJ2222()()()xyzzxz3xyzxzyzJ代入已知量得 14,92bcd为了使方程变为 形式，可令 代入，正好 项被抵消，并可得关系Carn3xb2x23,327bcpcqd代入数据得 ， ，1859.16.740q143x2.9 已知应力分量中 ，求三个主应力 。xyx123解 在 时容易求得三个应力不变量为 ，0xy zJ， 特征方程变为22yzJ3J3 2()0z z求出三个根，如记 ，则三个主应力为1z1231,0,2z z记 23- 3 -2.10 已知应力分量 0.9,.2,0.1,.,0.2,xs
4、yszsxysyzs， 是材料的屈服极限，求 及主应力 。0.1zxs3J123解 先求平均应力 ，再求应力偏张量 ， ，.4s .5xs.ys， ， ， 。由此求得.3zss01xys0.2yzs0zs2220.5,.9ssJJ然后求得 ， ，解出srin3.49.135rad1in.7ss102ss2()0.5sr2.94s3si436s356s然后按大小次序排列得到， ，10.9s20.1s30.s2.11 已知应力分量中 ，求三个主应力 ，以及每123xy(1,23)i个主应力所对应的方向余弦 。(,)(1,2)iilmn解 特征方程为 记 ，则其解为 ，320xzyxzy1， 。对应
5、于 的方向余弦 ， ， 应满足下列关系203iilii（a）ixziln（b）iyzim（c）221iiil由（a）,(b)式，得 ， ，代入（c ）式，得ixzilniyzimn，由此求得222()()xziyzii222,yzi xzi i ii inl - 4 -对 ， ，代入得1i111,22yzxzlmn对 ， ，代入得2i0222,0yzxzl对 ， ，代入得3i331,yzxzlmn2.12 当 时，证明 成立。0xzy23()zJsJ解 230()xyzxysJs221()xyzxys由 ，移项之得210,z yxyJss2 21()()xyzxyzzs2 2()zzxyxzs
6、ssJ证得 32)zJJ- 5 -第三章 习题答案3.5 取 为弹性常数， ，是用应变不变量,G,121EEG表示应力不变量 。123,I 23,J解：由 ，可得 ，12311I1132JGI由 ，得2 21 4IGI221231112248JIII231231111223231148GIIGIII 3.6 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为 ，233610xuy， ，求点 处微单元的2360yuxz2360zuyz,P应变张量 、转动张量 和转动矢量 。ijiji解：首先求出 点的位移梯度张量P2336306100126104xxyyijzzzuzxyzux 将它分解成对称张量和反对称张量
7、之和 3 3 3007.504.512611.10424ijij- 6 -转动矢量的分量为， ，320.1xrad130yrad210.45zrad该点处微单元体的转动角度为 2245.6r3.7 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图 3.1 所示，在一点的 3 个方向分别粘贴应变片，若测得这 3 个应变片的相对伸长为， ，0.5， ，求该点的主应变和主方向。90.8450.解：根据式 先求出剪应变 。考察 方向线元的线应变，将nijxy45， ， ， ， ， 代入其45n 2lm0n0x90y 0zyzx中，可得 64509
8、71xy则主应变有 635008解得主应变 ， ， 。由最大主应变可得61036291365508lm上式只有 1 个方程式独立的，可解得 与 轴的夹角为1x153tan.650ml于是有 ，同理，可解得 与 轴的夹角为 。156.2x23.4- 7 -3.8 物体内部一点的应变张量为 65030412ij试求：在 方向上的正应变。231n=e根据式 ，则 方向的正应变为ij 66503021413240nij 3.9 已知某轴对称问题的应变分量 具有 的形式，又设材料是不可压zzf缩的，求 应具有什么形式？,解： 对轴对称情况应有 ，这时应变和位移之间的关系为0,u， ， 。应变协调方程简化
9、为 ，由不uzzd可压缩条件 ，可得0z20dfz可积分求得 ， 是任意函数，再代回fzc，可得 。d2fz3.10 已知应变分量有如下形式 ， ， ，21,xfy21yfx21xyf， ， ，由应变协调方程，试导出2,xzfy2yzf3zf应满足什么方程。123,f解：由方程 ，得出 必须满足双调和方程 。22yxyx1f 210f- 8 -由 ，得出2xyzz xxy20f由 ，得出2yzyxz2fy由此得 ，其它三个协调方程自动满足，故对 没有限制。2fc 3f- 9 -第四章 习题答案4.3 有一块宽为 ，高为 的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上ab边分别受均布压力 和 作
10、用，见题图 4.1，如不计体力，试求薄板的位移。1q2题图 4-1解：1.设置位移函数为（1）123()uxAyvyB因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式中的 、 都取为零，显然，不论式（1）00,mmuvAv0uv中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。2.计算形变势能。为简便起见，只取 、 两个系数。1B（2）11,uAxvBy1 1,0,0uux2 2111120() ()abEEabUABdyABv v（3）3.确定系数 和 ，求出位移解答。因为不计体力 ，且注意到 ，1 0XY1m式 4-14 简化为（4）11UXuds
11、A- 10 -（5）1UYvdsB对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是 ，就是 ，故0X10u积分值为零。在右边界上有 1,Xquxadsy（6）110bdsyqb同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，（7）1220aYvdxa将式（3） 、式（6） 、式（7）分别代入式（4） 、式（5）可解出 和 ：1AB112()EabABqabv122()， （8）1qAE11qBE（9）1221,quxxvyy4分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。在一般情况下(这是一个特殊情况)，
12、在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答的。4.4 设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用( )，坐0,XYg标轴如题图 4.2 所示。求其应力分量。题图 4-2解： 1本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。由题意知位移分量在边- 11 -界上等于零，所以，所以式 中的 、 都取00,mmuAuvAv0uv为零，且将位移函数设置为如下形式：（1）sinimnxyuAabvB把 或 代入上式，因为， 或 ，所以，0,x,yosin0mxasin0yb位移边界条件是满足的。2把式（1）代入式（9-16） ，得薄板的变形势能为2 222114()4()mnEabUAvab（2）
13、222()()mnB3. 确定系数 和 。由于位移分量在边界上为零，所以，方程式 4-14 简化nAm为（3）0siinabmnUxyXdbYB式（2）代入式（3） ，得（4）2202220sini4(1)()iiabmnabnEab xyAXdbbnBYa 由于 ，从式（4）的第一式得 ，由第二式得0,XYg 0mn2224(1)(1)mnEabna0siiabxygdb2(co)(s)nmn当 和 取偶数时， 和 都为零，当 和 取奇数时，1m(1cos)mn和 都为 2。因此，当 取偶数时， 。当 取奇(1cs)(cs),n0B,- 12 -数时， 22416()()mngBnmEba将
14、 和 代入式（1）得位移分量为mnA0u2246sini()(1)ngxyv abnmEba4利用几何方程和物理方程，可求出应力分量（ 和 取奇数） ；mn2 236sii1 1x mnuvgxyxy abb2 23siniy mnEv xyyxba2238cosi2(1) (1)xy mnvugmxyxy ba4.5 有一矩形薄板，三边固定，一边上的位移给定为 ，见题0,sinxuva图 4.3，设位移分量为 ，sinimxyuAab式中， 为正整数，可以满足位移siniinmyxvBba,n边界条件。使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在 处所施加的面力。yb题图 4-3- 13 -解：1.平
15、面应力问题时的变形势能为式 2 2220 1(1) 2abEuvuvuU dxyxyxy ABCDU其中 220(1)abAEuUdxy22 220 cosin()abmnxyAdxaab 222(1)4nmEb20()abBvUdxy22 2220 1sincossin(1) iiabmnnExyxBabadyb 2222(1)4mnEB20()abCuvUdxy20cosinsincos(1)abmn mEyxyABabab cosiimnxyxAdab2201()aDEvuUxy2224(1)461mn mnbEaBAb00sicoscos2()anExyAddx- 14 -2确定待定系
16、数。按题意三边固定（ ） ，一边只存在0muv而面力待求。所以，0mvu（2）0siniabnmUxyXdxyXdAbYvYB 将式（1）代入式（2） ，得2224(1)()mnmnUEabAAb0siinab mnxyXd2224(1)(1)nmnUEBBba20sinsi()ayxydxb0siiabYdb当体力分量为零时， ，得0XY22311mnBmnabb0sinsiyxydxa当 时， ， ，所以，此时有10CU002(1)abEvudxy，而0mnA1 2321()()()Bnabb00sinsixydd- 15 -1222()naba3.位移和应力解答为 0u1222sinsi
17、n()nxyyxyabvbab2211xEuvEvxyy22 cossin1()nbaba222 cossin1111()ny yEvuExbayxba 321sincos2(1)2(1)()xy nyvxybaxba4.求上边界施加的面力（设 ） ，在 处0,ycos1.57cos2xyExExXaa2in1.89siny n xY a4.6 用伽辽金法求解上例。解：应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。由于此问题并没有应力边界条件，故可认为上例题意所给的位移函数 不但满足位移边界条件，,uv而且也满足应力边界条件，因此，可以用伽辽金法计算。对于本题，方程可以写成 22201sin
18、i01abEuvmxyXdxyxyab - 16 -22201sini01abEvumxyYdyxyab 将上题所给的 表达式代入，积分后得,u2220sii41abmnmxyAXba222 20iin(1)1abnEbn EBYdaba 0sisinabyxmydxb当体力不计时， ，此时 ，而 由下式确定：0XYmnAmn222200siisin41(1)1abnEabnExyBdda a当 时， 即 ，当 时，上式成为m0sii0axdmn122 2212 00sisin4()1abnbn xydd14(1)nEa由此解出 及位移分量如下：1nB11222nnaba0u2221sinsi
19、n1nxyyxbvbaa231sinsinnyxybaab求出的位移和应力分量，以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果相同。4.7 铅直平面内的正方形薄板边上为 ，四边固定，见题图 4.4，只受重力作用。设 ，试取位移表达式为02222131xyxxyuAaaa- 17 -用瑞兹法求解（在 的表达式中，布2222131xyxyvBaa u置了因子 和 ，因为按照问题的对称条件， 应该是 和 的奇函数） 。uxy题图 4-4解：1 位移表达式中仅取 和 项：1AB（1）222211xyxuuavv2 由 得变形势能为0（2）222aEuuUdxyxy 其中 22 221 1331,uy xA
20、Axaayaa2 21 1,vxvxBB代入式（2） ，得 2222 2114 43aEyxyxUAaa（3）2221 1132xBAdy 3.确定系数 和 。因板四周边界上位移为零（ ，面力未知） ，板的体1A0uv力分量为 ，所以得0,XYg- 18 -1 221101aaUAxyYvdxygdxBa 将式（3）代入式（4） ，得（5）222141222112222241 330311aUEyxAAaxyBaydxaaUExyB 1222 142281aa AayyBdxxga注意，有以下对称性： 22 222 24 43311a axyyxdxdyaa 2 22 24 4a adx 式（
21、5）积分后成为式（6） ，由此可求得 、 和位移、应力分量：1AB（6）12107325ABgaE（7）22115,063AB- 19 -（8）2222221751063xygauaEv（9）222222175106432531917xyxyygaxyygaa 4.8 用伽辽金法求解上题。解：1 位移表达式仍取上题式（1） ，其两阶偏导数为（1）222214 42222122221466,11,3,uyxuxyAAxayavvBBuxyxyxyaaa 2.确定 和 。因为 ，所以伽辽金方程简化为1AB0,XYg（2）222122210aauvEudxyxyvg 将 以及式（1）代入（2） ，得
22、,u21 124 466ayxxyAAaa 2214 02xyxBdya21121axyBaa 22212310Axxygdxa- 20 -由此解出 和 ：1AB（3）2211755,063gagaE与瑞兹法求出结果一样，由此可见，用伽辽金法计算较为简单。4.9 悬臂梁自由端作用一集中力 ，梁的跨度为 ，见题图 4.5，试用端兹法求梁Pl的挠度。题图 4-5解：1.设梁的挠度曲线为（1）1cos2xwBl此函数满足固定端的位移边界条件： ，梁的总势能为00,xxdw2 42211 10 0cosl lEIdwEIxPBPBl 4211EIlPB由 得1B， 4102EIlP3142PlBEI代
23、入式（1）得挠度为式（2） ，最大挠度为式（3）（2）34cos2lxwEIl（3）3max1.07lPI4.10 有一长度为 的简支梁，在 处受集中力 作用，见题图 4.6，试用瑞兹xaP法和伽辽金法求梁中点的挠度。- 21 -题图 4-6解一：用瑞兹法求解设满足梁端部位移边界条件 的挠度函数为 （1）0,xlw sinmxwBl梁的变形能 及总势能 为U22 43001l l mMEIdEIxxl43sinmI aBPl l由 得0m342sinaPllBEI（2）344siimxlllwI以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如 作用于中点P（ ）时，跨中挠度为（只取一项
24、）2al 33428.7xlPllwEII这个解与材料力学的解（ ）相比，仅相差 1.5%。348I解二：用伽辽金法求解1.当对式（1）求二阶导数后知，它满足 ，亦即满足支承处弯矩为零20,xldw的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。将式（1）代入伽辽金方程，注意到 ，且作用在 处，可得qdxPxa- 22 -420sinsin0lmxmaEIBdPlll342imaPlI求出的挠度表达式与（2）一致。4.11 图 4.7 所示的简支梁，梁上总荷重为 ，试用瑞兹法求最大挠度。0W题图 4-7解：设满足此梁两端位移边界条件 的挠度为20xlw（1）1cosxwBl则总势能为42 221 01
25、0coscosl loxxxEIBdqBdl l3201 142EIBl，10B3014122lqEI401qlI代入式（1）得 402cosqlxwEIl40max12I梁上总荷重为 ，因此有0W30max421,2lqwlEI- 23 -4.12 一端固定、另一端支承的梁，其跨度为 ，抗弯刚度 为常数，弹簧系数lEI为 ，承受分布荷载 作用，见题图 4.8。试用位移变分方程（或最小势能原kqx理） ，导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。题图 4-8解：用位移变分方程推导1.梁内总应变能的改变为2220012l ldwdwUEIxEIdx 2.外力总虚功为0 0()()l l
26、A xlqxRqk3.由位移变分方程式得（1）2200()l l xldwEIdxwdx对上式左端运用分部积分得 2220 0l lIIdxdx230llwwEIEI2340lldddI Ixxx代入式（1） ，经整理后得2320xwwwEI EIdxddx（2）340()0lxlkIIq由于变分 的任意性，上述式子成立的条件为w（3）4()dEIqx- 24 -（4）230xdwdwx（5）2 3xlEIkEI4 式（3）就是以挠度 表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件，由于梁的左w端为固定端，因此有（6）00,xxdw梁的右端为弹性支承，则有（7）,xl xld注意到式（4）能满足，而欲使
27、式（5）成立，必须满足（8）230, 0xl xldwwkEI式（6）和式（8）即为题意所求的边界条件。5.由于最小势能原理与位移变分方程式等价的，所以，从最小势能原理出发，也能得到所求的表达式（略） 。- 25 -第五章 习题答案5.3 矩形薄板具有固定边 ，简支边 及自由边 和 ，角点 处有链杆OACABCB支撑，板边所受荷载如题图 5-1 所示。试将各板边的边界条件用挠度表示。题图 5-1解：1。各边界条件如下：（1） 00,xxw（2） 或00,yyM220ywMyx（3） 0,yybbVq或用挠度表示为 ， 22ybx3302()ybwDqyx（4） 0,xxaaMV或用挠度表示为
28、， 220xawy332()0xawxy（5） ,0xayb5.4 矩形薄板的 和 边为简支边， 和 边是自由边，在 点有一个OACABCB向上位移 ，且由链杆拉住，如题图 5-2 所示。试证 能满足一切条件 wmxy（其中， 为待定常数） ，并求出挠度表达式、弯矩和反力。m题图 5-2- 26 -解：1.挠曲面方程为： 。40w边界条件为边 OC200,yy边 A200,xyw边 B,ybbMV边 C,xx2.将挠度表达式代入后，可知满足以上各式。由 角的位移条件确定 ，从而B m求出挠度，内力和反力： ,xaybwmwxyab0xyQxyMFV2(1)(1)xy Dab2xyR02(1)0
29、ABCab 3.分析：给定的 角点的位移 沿 轴反向，故为负值。四个角点反力的数值z虽然相同，但 、 的方向向上， ， 则向下，这些反力由外界支承施加0RBARC于板。5.5 题图 5-3 所示矩形板在 点受集中力 作用， 和 两边简支， 和CPOABOC两边自由，试求挠度、内力和反力。提示： ， 为任意常数。BC ()wmxyb题图 5-3解：1.本题的挠曲面方程及边界条件为 40w- 27 -2200 0,xx xwwMDxy220,yybyb220xaxawDx332()xa xaVy 220 0y ywMDy3320 0()y yVx 2.不难验证 能满足以上方程和条件。有角点 的补充
30、条件可确定wmxybC，进而可求出挠度、内力和反力： 22,(1)Cxy wRMPDPxy(1)m， 2()PxybwDmax,02(1)ayPbwD， xyxyQxyMFVxyM0ABCRP， 的方向向上， 、 则向下（沿 轴正方向）0RBz5.6 有一块边长分别为 和 的四边简支矩形薄板，坐标系如题图 5-4 所示，受ab板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并0sinxyqsinxywmab求出挠度、弯矩和反力。- 28 -题图 5-4解：不难验证 能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程式 可确w 4qwD定 ，从而求出挠度、弯矩和反力。m444sinsinxyxyabab402issinqxyDab， 4021qamDb402in1qaxywbDb40max 2,2aywa2sinx xyMDabb2iyma321cosinx xyVabb32iyDa(1)cosmxyRabb5.7 有一矩形薄板的 与 边是简支边，其上作用有均布弯矩 ， 和OACBMOC边为自由边，其上作用有均布弯矩 ，若设 能满足一切条件，试ABMwfx求出挠度、弯矩和反力。板面无横向荷载 作用，坐标取题图 5-5。q
