1、1第四章 刚体的转动4-1 刚体的定轴转动 1 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。 （不变质点组） 。2 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。所有点的运动相同。（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。3 角量和线量的关系：， ， ，rSrvrarvn2规定： 方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是 的方向与转轴平等 由于： ，所以角加速度的方向也在转轴上。dt若以 为正方向， 为正
2、表示加速， 为负表示减速。以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。4 力矩：力作用于刚体，应综合考虑力的三要素：大小、方向、作用点。力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。定义： frM大小： sinrfd分量值： coz在转动平面内。若 不在转动平面内，将 分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。fff平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： iM（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。力矩的矢量合 合力的力矩。 ）例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。解：取 rdm2gdfrfMf mgRdrgRff 32220 Orvr
3、dfOOrdr24-2 转动动能 转动惯量 转动定律 1 转动动能： iiiiiik rmrvmE222 )(112 转动惯量 J：（单位：Kg.m 2） 对于质量为离散型分布的刚体： ；对于质量为连续型分布的刚体：iirJ2 dmrJM2（1）J 由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。（2）平行轴定理： 垂直轴定理：2mdJCO YXZJ对平行轴定理的证明： rrdJccO)os(22 dc 02mJc对垂直轴定理的证明： （如图：Z 轴为垂直轴）由于： ， ，dmyJx2xJy2rz2所以： yxz Jdr)(例 1求质量为 长为 均匀细棒对过 O 点与棒垂直的轴的转动惯量。l
4、（设转轴 O 到质心 C 的距离为 ） 。h解：建立坐标：在 X 处取 dX， dxlmddmxrJO22dxlIJhhlO2/02/ 1hl例 2求匀质转盘(m,R)对过质心 O 的垂直轴的转动惯量 JC 。解： 如图建立坐标：在 r 处取宽为 dr 的园环， RmdS2 mrJ2drIJO030 1R例 3求薄板（m，a，b）的转动惯量。I X，I Y，I Z 解：在（x,y）处取 dS=dxdy其上： , dxymIx2dxy2, 2/2/ 1bIbax 2/22/ 1mayxIab)(1)(/2/ xyyxbaz 例 4求钟摆的转动惯量 IO。如图：已知摆杆（m,L=3R） ，摆锤(3
5、m,R)XYxyO rrcrddO CdO rdrYXyO x3解： 22222 3)()3(11 mRRmdLmJ 杆杆摆 杆 5.49R锤锤摆 锤 25.JJO摆 锤摆 杆3 转动定律： 推导：把刚体分割为许多质点，设第 质点的质量为 ，所受内力为 ，外力为 ，iimifiF对 ：据牛二律：在切线方向上：im有： iiii rafF得： ir2iiimr求和得： JrmMf iii )(2内外由于刚体内各质点之间的内力总是成对出现的，据牛三律：任意一对内力大小相等、方向相反、在同一直线上。所以内力对刚体作定轴转动的力矩正好抵消。 0)(dffMjiji4-4 动能定理1 力矩的功：作功：
6、dMrFdsrdA于是： 21力矩功率： ， 与 同向， ，反之dtWP/0P2 动能定理 )21( JdJtJMd 212121Ek3 重力势能： Cpmgh转动定律的应用1质点滑轮系 牵连方程为： , Rav如图：设摩擦力矩为 Mf，求系统的加速度 a。对 ：据牛二律： （1）mmTg对 J：据转动定律： （2）J I,RTmfjfi i mjO r mi Frd4牵连方程： （3）Ra例 2如图所示，求系统的加速度 a。设两边绳子的张力为 T1 和 T2，中间绳子的张力为 T3。解：对 ： 对 ： 1mTg12mag2对转盘 I1： 113RJR对转盘 I2： 2223 aT据功能原理：
7、 2212121 Jvmghm例 3如图所示，求系统的角加速度 。设两边绳子的张力分别为 T1 和 T2。解：对 ： （1）1mRaTg11对 ： （2）2 r22对转盘 I： （3）Jr12自由杆的摆动 例 1 如图：求杆在 处的角加速度 、角速度 。解：（1）据转动定律： cos23cos312lgmlgJMl（2）据功能原理： 622sinIl例 2 电机的输出功率为 P，转动惯量为 J 的转盘的摩擦力矩为： ，求转动的最大kMf角速度 ，用多少时间可以达到TT9.0解： kPkMTf /2外据转动定律： TkPdJdtJdtJP 9.02/据功能原理： tkdkt /210例 3 在
8、的作用下，测得转盘的角加速度为 ，撤去外力矩后，转盘的角加速度变为 ，外 12求该转盘的转动惯量 J。解： ， 得：1Mf外 2f)/(21外MJI2,R2I1,R1aT1T3T2m2 m1ra2a1T2 T1m2 m1RJm,LO54-3 角动量 角动量守恒定律1 引入：对动量定理： 以 O 为参考点PdtF有： rdrrr )(由于： 于是： 0mPdt LdPtM)(2 角动量：对于质点：以 O 为参考点： 作园周运动时：vmrLmvr对于作定轴转动的刚体： Jrii)(23 角动量定理：（1） 表述：一段时间内，物体所受的力矩对时间的积累，等于它角动量的改变量。（2） 公式： LdtM
9、to（3） 守恒：若 ， 则： 或 00/dt0J4 角动量守恒定律的应用（1） 质点在有心力作用下的运动。例 1 线拉小球。质点 m 在细绳的拉力下，以速度 V0 在半径为 R0 的圆周轨道上运动，现将绳子长度慢慢缩短，求质点在在半径为 R 的圆周轨道上运动时的速度，并求此过程中拉力所做的功。解：据角动量守恒定律： 据功能原理：mv0 20121mvW（2） 在转动过程中，由于在内力（矩）作用，刚体的形变（破裂） 、转盘间的啮合由于发生了形变，内力作了功，动能不守恒。在运动中，转轴对刚体的力（提供质心作园周运动的向心力）不为零，动量不守恒。 （零守恒）由于内力矩为零，转轴对刚体的力矩为零，所
10、以只有角动量守恒。例 2 人在转台上走质量为 ，半径为 的转台可绕中心轴转动，不计阻力。质量为 的人站在台的边缘，人和MRm台原来静止。如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？解： 设： ，21J台 2mJ人据动量矩守恒定律： （1）人人台台 据几何关系： （2）2人台对（1）式两边积分有： （3）人人台台 J由（2） （3）解得： ，Mm24人台 人台 2人台 台人 JPFrOm6例 3 同轴转盘间的啮合问题如图，转盘 I1以角速度转动 0，I 2静止，J 1与 J2通过摩擦啮合在一起，求（1）两转盘啮合后共同的角速度 。（2）在啮合过程中损失的机械能。解：（1）
11、在啮合过程中，角动量守恒，有 )(2101（2）损失的机械能为： 2JJE后原例 4不同轴转盘间的啮合问题 解：系统及每个对象的动能显然不守恒。对 I1、I 2各自的动量是零守恒。对 I1、I 2各自的角动量不守恒，由于 R1与 R2不相等，内力矩不为零。对 I1： 对 I2：)(1010IfdtR )(2020Ifdt得： 啮合后，两轮的线速度相同，有：2/)( 21R（3） 球碰杆或杆碰球 （分析如前，在碰撞中，多半只有角动量守恒）例 1 球碰杆（不完全弹性碰撞）质量为 m 的子弹以速度 V0 射入细杆（M，L）的中部，若子弹穿出的速度为 ，求细杆获得的角速度 。/0V解：据角动量守恒定律
12、： 得：LvmvmJv631220200 LvMm0例 2 杆碰球（完全非弹性碰撞）细杆（M，L）可绕端点转动，从水平位置由静止开始下摆。在竖直位置与质量为的粘性小球发生完全非弹性碰撞，碰后自由上摆。求上摆中能达到的最大高度。解：下摆过程，据机械能守恒： LgMLJLg361222碰撞过程，据角动量守恒定律： )1()(3 2mJ上摆过程，据机械能守恒： mgHmJ2)(12例 3 球碰杆（完全弹性碰撞）质量为 m 的弹性小球以速度 V0与细杆（J，L）在细杆底端发生完全弹性碰撞，求碰撞以后小球的速度 V 和杆的角速度 。解：设碰撞以后小球仍向前运动。碰撞过程，据角动量守恒定律： （1）mvL
13、v0据动能守恒： （2）221J由（1）式得： （3） 由（2） （3）整理得： （4）LJv/0 Lv0（3）（4）得： 由此可求 ，将结果代入（3）可求 V)(2OM,Lm,V0J1 J2ffm2,R2m1,R174-5 刚体的平面平行运动1平衡问题：刚体平动的平衡方程： 刚体定轴转动的平衡方程：0iF0iM例 1滚动摩擦设刚体在作用在轴上的水平拉力 F 的作用下，匀速向前滚动。力的平衡方程： ， 力矩的平衡方程：fNRf等效摩擦力： 其中：等效摩擦系数：NR摩擦力形成的原因是：由于刚体与水平面之间相互挤压而产生形变，使重力和正压力不在同一直线上而形成的。摩擦力的大小决定于转动半径 R、刚
14、体与接触面之间的形变量 。例 2刹车问题分析汽车在水平面上行驶时，急刹车时前、后轮所受到的正压力。解：设前后轮之间的距离为 2L，质心离地面高度为 h。车轮与地面之间的摩擦系数为 ，则：1Nf2f在竖直方向上，力的平衡方程： mgN21力矩的平衡方程： Lhf2由以上两式解得： ， 2)(1N2)1(2gh前轮所受到的正压力较大。为避免翻车，应尽量降低重心高度，增加前后轮的间距。2动力学问题平动方程： ， 转动方程： ， 动能：CiamFJMi2121JmvEck例 1无滑滚动问题。小球（m，I，R）沿倾角为 的斜面作无滑滚动，求小球在运动中平动的加速度，运动中所受到的摩擦力。解：无滑条件：
15、， ，sRva平动方程： mfgin转动方程： Jf解得： ，与在光滑的斜面上运动是不相同的。si/2Ra是静摩擦力，与在斜面上滑动时所受滑动摩擦力不相同。in2gJmfNNfmgO Fmgf2 f1N2 N1fNmgO8例 2打击中心如图：问水平方向冲击力 F，对匀质细杆（m，L）作用于何处（作用点到转轴的距离 h 为多少） ，转轴 O 点不会对该冲击产生水平方向的瞬时反作用力。解：对质心 C 点： 对细杆：2/a231JFM联立以上两式，解得： Lh323刚体的进动 （对转轴作定点转动的简单分析）（1）分析：（来源于动量矩定理的矢量性）如图，据动量矩定理， )(JdtM若力矩的方向始终垂直
16、于转轴，则该力矩作用的效果是：只使动量矩的方向发生变化，而不改变动量矩的大小。类比于质点在向心力的作用下，速度的方向改变而大小不变。如上图所示：力矩方向垂直纸面向内，以 O 为参考点，分析转轴的运动。据动量矩定理： ，转轴绕 O 点进动的角速度： dJdt)( JMdt如上图，向前推动，力对 O 点的力矩向上，可使轴直立起来。（2）应用：枪膛中来复线的设计,使子弹在飞行中保持弹头大致向前。沱螺仪导航。高速旋转的沱螺仪在运动中保持轴线方向不变。1 为什么运动的自行车倾斜时，依靠转弯又可使车从新直立起来？2 生鸡蛋与熟鸡蛋，在旋转中的区别是什么？3 角动量守恒与转动定律的综合运用。 （小虫在旋转的自由杆上的往复爬行）4 角动量守恒与机械能守恒的综合运用。 （小球在旋转的空心管中的滑动）L LFOm,LhF
