1、212.1 配方法(3课时)第1课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(exf) 2c0型的一元二次方程重点运用开平方法解形如(xm) 2n(n0)的方程，领会降次 转化的数学思想难点通过根据平方根的意义解形如x 2n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm) 2n(n0)的方程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1：填空(1)x28x_(x _) 2；(2)9x212x_ (3x_) 2；(3)x2px_(x_) 2.解：根据完全平
2、方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)( )2 .p2 p2问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 29，根据平方根的意义，直接开平方得x3，如果x换元为2t1，即(2t1) 29 ，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t1变为上面的x，那么2t13即2t13，2t13方程的两根为t 11，t 22例1 解方程：(1)x 24x41 (2)x26x92分析：(1)x 24x4是一个完全平方公式，那么原方程就转化
3、为(x2) 21.(2)由已知，得：(x 3) 22直接开平方，得：x3 2即x3 ，x32 2所以，方程的两根x 13 ，x 232 2解：略例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是1010x10(1x) ；二年后人均住房面积就应该是10(1x)10(1x)x10(1 x) 2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1x) 214.4(1x) 21.44直接开平方，得1x1.2即1x1.2，1x1.2所以，方程的两根是x 10.220%，x 22.2因为每年人均住房
4、面积的增长率应为正的，因此，x 22.2应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结) 老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材第6页 练习四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x 2p(p0)的方程，那么x 转化为应用直接开p平方法解形如(mxn) 2p(p 0)的方程，那么mxn ， 达到降次转化之目的若 p0则方程无p解五、作业布置教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一
5、些具体问题通过复习可直接化成x 2p(p0)或(mxn) 2p(p 0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如x 26x160的一元二次方程的解题步骤难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入(学生活动) 请同学们解下列方程：(1)3x215 (2)4(x1) 290 (3)4x216x169 (4)4x216x7老师点评：上面的方程都能化成x 2p或(mxn) 2p(p0)的形式，那么可得x 或 mxn (p0)p p如：4x 216x16(2x4) 2，你能把4x 216x7化成(2x4)
6、 29吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m 2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征(2)不能既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x26x160移项x 26x16两边加(6/2) 2使左边配成x 22bxb 2的形式x 26x3 2169左边写成平方形式(x3)
7、225降次x35 即x35或x35解一次方程x 12，x 28可以验证：x 12，x 28都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例1 用配方法解下列关于x的方程：(1)x28x10 (2)x22x 012分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上解：略三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是
8、含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、作业布置教材第17页 复 习巩固2，3.(1)(2)第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解一、复习引入(学生活动) 解下列方程：(1)x24x70 (2)2x28x 10老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解
9、左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略 (2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x p) 2q的形式，如果q0，方程的根是xp ；如果q0，方程无实根q例1 解下列方程：(1)2x213x (2)3x26x4 0 (3)(1x) 22(1x)4 0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，
10、即配一个含有x的完全平方式解：略三、巩固练习教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到五、作业布置教材第17页 复习巩固3.(3)(4) 补充：(1)已知x 2y 2z 22x 4y6z 140，求xyz的值(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x 2y 22x4y 16的值总是正数.21.2.2 公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解
11、公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2bxc 0(a 0) 的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程重点求根公式的推导和公式法的应用难点一元二次方程求根公式的推导一、复习引入1前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x24 (2)(x2) 27提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数” 的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程)2面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能 够“直接开平方”的形式)(学生活动) 用配方
12、法解方程 2x237x(老师点评) 略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x p) 2q的形式，如果q0，方程的根是xp ；如果q0，方程无实根q二、探索新知用配方法解方程：(1)ax27x30 (2)ax2bx30如果这个一元二次方程是一般形式ax 2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知ax 2bxc 0(a0) ，试推导它的两个根x 1 ，x 2 (这 b
13、 b2 4ac2a b b2 4ac2a个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax 2bxc二次项系数化为1，得x 2 xba ca配方，得：x 2 x( )2 ( )2ba b2a ca b2a即(x )2b2a b2 4ac4a24a20， 当b 24ac0时， 0b2 4ac4a2(x )2( )2b2a b2 4ac2a直接开平方，得：x b2a b2 4ac2a即x b b2 4ac2ax1 ，x 2 b b2 4ac2a b b2 4ac2a由上可知，一元二
14、次方程ax 2bxc0(a0)的根由方程的系数a，b，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2bx c0，当b 24ac 0时，将a ，b，c代入式子x 就得到方程的根 b b2 4ac2a(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例1 用公式法解下列方程：(1)2x2x10 (2)x21.5 3x(3)x2 x 0 (4)4x23x20212分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补：(5)(x 2)(3x5)0三、巩固练习教材
15、第12页 练习1.(1)(3)(5) 或(2)(4)(6) 四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0 ；2)找出系数 a，b，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算 b24ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果(4)初步了解一元二次方程根的情况五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应
16、用因式分解法解决一些具体问题重点用因式分解法解一元二次方程难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便一、复习引入(学生活动) 解下列方程：(1)2x2x0( 用配方法 ) (2)3x26x0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上12 12 14( )2，同时减去 ( )2.(2)直接用公式求解14 14二、探索新知(学生活动) 请同学们口答下面各题(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解因此，
17、上面两个方程都可以写成：(1)x(2x 1)0 (2)3x(x2)0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x0或2x10，所以x 10，x 2 .12(2)3x0或x20，所以x 10，x 22.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例1 解方程：(1)10x4.9x 20 (2)x(x2)x20 (3)5x22x x 2 2x (4)(x1) 2(32x) 214 34思考：使用因式分解法解一元二
18、次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A(x3)(x5)102，x310，x52，x 113，x 27B(25x) (5x2) 20，(5x2)(5x 3)0， x1 ，x 225 35C(x2) 24x0， x12，x 22Dx 2x，两边同除以x，得x1三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其 应用(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8
19、，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系一、复习引入1已知方程x 2ax3a 0的一个根是6，则求a 及另一个根的值2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3由求根公式可知，一元
20、二次方程ax 2bxc0(a0)的两根为x 1 ，x 2 b b2 4ac2a.观察两式右边， 分母相同，分子是b 与b .两根之间通过什 b b2 4ac2a b2 4ac b2 4ac么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1x 2 x1x2x22x0x23x40x25x60观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x的方程x 2pxq0(p，q为常数，p 24q0)的两根x 1，x 2与系数p，q之间有什么关系？(2)关于x的方程ax 2bxc0(a 0)的两根x 1，x 2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并
21、填写表格：方程 x1 x2 x1x 2 x1x22x27x403x22x505x217x60小结：根与系数关系：(1)关于x的方程x 2pxq0(p，q为常数，p 24q0)的两根x 1，x 2与系数p，q的关系是：x 1x2p，x 1x2q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)(2)形如ax 2bxc0(a0)的方程 ，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论即：对于方程 ax2bxc 0(a0)a0，x 2 x 0ba cax1x 2 ， x1x2ba ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x23x10 (2)2x2 3
22、x50(3) x22x0 (4) x2 x13 2 6 3(5)x210 (6)x 22x10例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x22 x1 0 (x 1 1，x 2 1)2 2 2(2)2x23x80 (x 1 ，x 2 )7 734 5 734例3 已知一元二次方程的两个根是1和2，请你写出一个符合条件的方程(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2kx90的一个根是3，求另一根及k的值变式一：已知方程x 22kx90的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程2x 25xk0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1根与系数的关系2根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零四、作业布置1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积(1)x25x30 (2)9x2x 2 (3)6x23x20(4)3x2x102已知方程x 23xm0的一个根为1，求另一根及m的值3已知方程x 2bx60的一个根为2，求另一根及b的值.
