1、二次函数在几何图形中的应用一、选择题1. 设等边三角形的边长为 x（x0），面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式是（ ）A. y x2 B. y x2 C. y x2 D. y x212 14 32 342. 长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x0），面积为 ycm2，则这样的长方形中 y 与 x的关系可以写为（ ）A. yx 2 B. y（12x 2）C. y（ 12x ）x D. y2（12x）3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 ya（x3） 2k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长
2、为（ ）A. 9 B. 12 C. 18 D. 20BCOxy*4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数yx 26x 的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点274的个数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8*5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB a，BC b， a 3b， AEAH CF CG，则四边形b3EFGH 的面积的最大值是（ ）A. （ab） 2 B. （ab ） 2 C. （ab） 2 D. （ab） 2116 18 14 12*6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为 400m 的
3、跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ）二、填空题7. 在半径为 4cm 的圆中，挖去一个半径为 x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm2，则 y 与 x的函数关系式为_。8. 如图，已知等腰直角ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20 厘米，AC 与 MN 在同一直线上，开始时点 A 与点 N 重合。让ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动，最终点 A 与点 M重合，则重叠部分面积 y（厘米 2）与时间 t（秒）之间的函数关系式为_。ABCMNP
4、Q*9. 如图， ABC 是直角三角形，A 90，AB8cm，AC6cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 APQ 的最大面积是_。*10. 如图所示，从边长为 5 的正方形纸片 ABCD 中剪去直角EBF （点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上） 。若 EBBF ，则五边形 AEFCD 的面积的最小值是_。15ABCDEF三、解答题来源:学优高考网11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体
5、。其中，抽屉底面周长为180cm，高为 20cm。请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 。12. 已知抛物线 yx 22xm 1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点，如图，设它的顶点为 B。（1）求 m 的值；来源:学优高考网（2）过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：ABC 是等腰直角三角形。ABCOxy*13. 如图，四边形 ABCD 是矩形，A 、B 两点在 x 轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线yx 26x 上。设 OAm （ 0m 3），矩形 ABCD 的周长为 l，求 l 与 m 的函数
6、解析式。*14. 用长为 12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AEAB，BC AB ，CD E 。设 CDDEx m，五边形 ABCDE 的面积为 S m2。问：怎样设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？*15. 用长度为 20m 的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为 2x m。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。 45二次函数在几何图形中的应用1. D 解析：作出 BC 边上的高 AD。ABC 是等边三角形，边长为x，CD x，AD x
7、，y xAD x212 32 12 342. C 解析：长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x0），长方形的另一边长为12x，y（12x ） x故选 C。3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为 x3，所以 AB6，所以等边三角形 ABC 的周长为18。来源:gkstk.Com*4. C 解析：抛物线与 x 轴两交点坐标分别为（ ，0） 、 （ ，0） ，当 x2 时32 92y412 ，所以红色区域内在直线 x2 上的整点有（2，0）和（2，1） ；当 x3 时274 54y ，且抛物线的对称轴是 x3，所以红色区域内在直线 x3 上的整点有（3，0） 、 （3，1） 、94（
8、3，2） ；由抛物线的对称性可知在红色区域内直线 x4 上的整点有两个。所以满足题意的整点共7 个。本题可用数形结合法，画出图象，结果一目了然。*5. B 解析：设 AEAHCFCGx，则 BEDGax ，BF DH bx，设四边形 EFGH的面积为 y，依题意，得 y abx 2（ax）（bx），即 y2x 2（ab）x，20，抛物线开口向下，函数有最大值为 （ab） 2。故选 B。0 （ a b） 24（ 2） 18*6. B 解析：设矩形的长为 x m，半圆的半径是 r m，中间的矩形区域面积是 S m2，根据题意知2x2 r400。所以 S2rxr（4002r）2r 2400r，即 S
9、 是 r 的二次函数，其图象开口向下，当 r 时，S 取得最大值。此时 x 100（m），所以，4002（ 2 ） 100 400 2 r2应设计矩形的长为 100m，宽约为 2r 63.7m 时，矩形面积最大，故选 B。2007. yx 216 解析：半径为 4 的圆的面积是 16，半径为 x 的圆的面积是 x2，所以函数解析式为 yx 216 。来源:学优高考网8. y （202t） 2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且 AM202t，所以重叠12部分的面积 y （202t） 2。129. 16cm2 解析：根据题意，点 P 沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动；
10、同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点 C 运动，AP2t ，AQt，S APQ t 2，0t4，三角形APQ 的最大面积是 16。10. 23 解析：本题即是求EBF 面积的最大值，设其面积为 y，y BEBF，因为 EBBF18 12，设 BEx ，则 BF x，所以 y x（ x ） x2 x。由二次函数的性质可知15 1512 15 12 152当 x 时 y 取得最大值为 y 。所以五边形 AEFCD 的面积的最小值是 25 。152 158 158 185811. 解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802x（90x）cm。由题意得：yx（9
11、0x） 2020（x 290x）20（x45） 2 40500，当 x45 时，y 有最大值，最大值为 40500。答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3。12. 解：（1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明0，即（2） 24（m1）0，m2。 （2）由（1）得抛物线的解析式是 yx 2 2x1，A（0，1） ，B（1，0） ，AOB 是等腰直角三角形。又 ACOB，BACOAB45，A ，C 是抛物线上一对对称点，AB BC，ABC 是等腰直角三角形。*13. 解：把 xm 代入抛物线 yx 26x 中，得 ADm 26m ，把 ym 26m 代入抛物
12、线yx 26x 中，得 m26m x 26x，解得 x1m ，x 26m，C 的横坐标是 6m，故AB6 mm62m，矩形的周长 l2（m 26m）2（62m），即 l2m 28m12。*14. 解：连接 EC，作 DFEC，垂足为F，DCBCDEDEA，EABCBA90，DCBCDEDEA120 ，DE CD，DECDCE 30，CEAECB90，四边形 EABC 为矩形，DE x m， AE 6x，DF x，EC x，S x26 x（0x6）。当 x4m 时，12 3 334 3S 最大 12 m2。3*15. 解：根据题意等腰直角三角形的直角边长为 x m，矩形的一边长为 2x m。所以2S2x102x x x x（32 ）x 220x， （0x105 ） 。当212 2 2 2 2x 30 20 时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长 2x6040 （m） ，相邻边103 22 2 2长为 10（2 ）10（3 2 ）10 10（m） ，S 最大 100（32 ）300200 （m 2） 。2 2 2 2 2来源 :学优高考网 gkstk
