1、高考填空题分项练 2 平面向量1已知ABC 中，BC4，AC 8，C60，则 _.BC CA 答案 16解析 画图(图略)可知，向量 与 的夹角为C 的补角，BC CA 故 BCACcos(C)48 16.BC CA ( 12)2若|a |1，|b|2，c ab，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为_答案 23解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，由题意知(ab) a0，a 2ab0，|a |2 |a|b|cos 0，12cos 0，cos .12又 0， .233设 a，b 是两个不共线的非零向量若向量 ka2b 与 8akb 的方向相反，则k_.答案 4解析 向量 ka2b 与 8akb
2、 的方向相反，ka2b(8ak b)k8，2k k4.(方向相反，0 k0)4已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x4y )a(2x3y)b6a3b，则 xy 的值为_答案 3解析 由题意得Error!解得Error!xy3.5已知向量 a(1,2)，b(m,4) ，且 a(2ab)，则实数 m 的值为_答案 18解析 方法一 因为 a(1,2)，b( m,4)，所以 2ab(m2,8)因为 a(2ab)，所以 a(2ab)m2160，所以 m18.方法二 因为 a(1,2)，b( m,4)，所以 a25，abm8.因为 a(2ab)，所以 a(2ab)2a 2ab10m80，所以
3、 m18.6已知平面向量 a，b 满足|ab| 3 ，且 a2b 与直线 x2y20 的方向向量垂直，10若 b(2,3) ，则 a_.答案 (7,0) 或 ( 295，125)解析 由题意得直线 x2y 20 的斜率 k ，12因为 a2b 与直线 x2y 20 的方向向量垂直，所以 a2b 所在直线的斜率与直线 x2y20 的斜率互为负倒数，故可设 a2b(m,2m)( m0)，从而 a(m4,2m6)，得 ab(m 6,2m9) 因为|a b|3 ，10所以(m6) 2 (2m9) 290，解得 m3 或 m ，95从而 a(7,0)或 .( 295，125)7.如图，在平面四边形 AB
4、CD 中，O 为 BD 的中点，且 OA3，OC5.若 7，则AB AD 的值是_BC DC 答案 9解析 因为 O 为 BD 的中点，所以 0，OB OD 所以 ( )( )AB AD AO OB AO OD 2 9 7，AO OB OD OB OD 所以 16.OB OD 所以 ( )( )BC DC BO OC DO OC 2 25169.OC OB OD 8已知点 O 在ABC 所在平面内，且AB4，AO 3，( ) 0，( ) 0，则 取得最大值时线段 BC 的OA OB AB OA OC AC AB AC 长度是_答案 6解析 ( )OA OB AB ( )( )OA OB OB
5、OA | |2| |20，OB OA | | |3，OB OA 同理| | |3，OC OA 则点 O 是ABC 的外心如图，以 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，过点 O 且与 AB 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(2， )，B (2， )，5 5点 C 在以 O 为圆心，3 为半径的圆上，设 C(3cos ，3sin )，则 (4,0)(3cos 2,3sin )AB AC 512cos 8，当 cos 1，即 C(3,0)时， 取得最大值 20，AB AC 此时 BC .69在菱形 ABCD 中，边长 AB ，对角线 AC4，边 DC 上(包括 D，C 点)
6、 一动点 P 与5CB 的延长线上(包括 B 点) 一动点 Q 满足 DPBQ，则 的最小值是_PA PQ 答案 2解析 方法一 连结 BD 交 AC 于点 O，因为边长 AB ，对角线 AC4，5所以 BD2.以 O 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，BD 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy.由题设可知，A(2,0) ，B(0，1)，C(2,0)，D (0,1)设 P(2t,1t)， t0,1 ，因为 DPBQ ，所以 Q(2t，1t)，0t1.所以 (22t，t1)(4t ，2)PA PQ 8t 26t28 2 ，(t 38) 78由二次函数的单调性可知，当 0t1
7、 时，y 8t 26t2 单调递增，所以当 t0 时， 取得最小值，且最小值为 2.PA PQ 方法二 因为边长 AB ，对角线 AC4，5所以 BD2.设向量 a， b，AB DC AD BC 由余弦定理得 cosa，b ， 52 52 22255 35且 ab| a|b|cosa，b 3.5 535令 a(01)，DP 则 ( )(b a)，PA AD DP (1)a(1)b，PQ PC CQ (ba)( 1)a(1 )bPA PQ 3(1)5(1)5 (1)3(1)8 2628 2 ，( 38) 78由二次函数的单调性可知，当 01 时， y8 26 2 单调递增，所以当 0 时， 取得
8、最小值，且最小值为 2.PA PQ 10在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交CP 23CA 13CB 点为 M，又 t ，则 t 的值为_CM CP 答案 34解析 ，CP 23CA 13CB 3 2 ，CP CA CB 即 2 2 ，CP CA CB CP 2 ，即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示AP PB A，M，Q 三点共线， x (1 x)CM CQ CA (x1) ，x2CB AC 而 ， .CB AB AC CM x2AB (x2 1)AC 又 ，CP CA PA AC 13AB 由已知 t ，可得CM CP t ，x2A
9、B (x2 1)AC ( AC 13AB )又 ， 不共线，AB AC Error!解得 t .3411已知向量 a，b 满足|a b|6，|ab|4，则| a|b|的取值范围是_答案 5,13解析 方法一 由|ab| 6， |ab|4 得，Error!得，ab5，进而得|a|b|cos 5(设向量 a，b 夹角为 )，则|a |b|5；得，|a| 2|b| 226，进而得 26|a| 2|b| 22| a|b|，即|a |b|13.综上，|a|b| 的取值范围是5,13方法二 设 ab2m，ab 2n，则|m | 3，|n|2，amn，bm n.依题意有，(|a|b|) 2|mn |2|mn
10、| 2(m 2n 22m n)(m2n 22m n)(132m n)(132mn )1694(m n)2，而 mn 的取值范围是6,6，故(| a|b|)225,169，则|a |b|的取值范围是5,13 12设向量 a，b 满足|a| |b| ab|1，则|at b|(tR )的最小值为_答案 32解析 |a| |b| ab|1，a 22abb 21ab ，12|a tb | a2 2atb t2b2 t2 t 1 ，(t 12)2 34当 t 时，|atb| min .12 3213对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算： .若非零的平面向量 a，b 满足：ab 和 ba
11、都在集合Error!中，且|a| b|，设 a 与 b 的夹角 ，则(ab)sin _.(6，4)答案 23解析 由题意，设 ab cos (k1Z)，abbb |a|b| 3k13ba cos (k2Z)，|b|a| 3k23两式相乘，可得 cos2 .k1k23因为 ，(6，4)于是 cos2 ，12 34即 k1k2 ，32 94又 k1，k 2 都是整数，所以 k1k22，cos 2 ，23所以 sin ，33又|a |b|，所以 k12，k 21，ab ，233所以(ab)sin .2314.如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，ABC60，BC AB2，动点 E 和 F12分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 的最小值为_BE BC DF 12DC AE BF 答案 4 136解析 由题意得 AB4，CD2， ( )( )AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF | | |cos 120| | | | | | |cos 60AB BC BE BC AB CF BE CF 42 2 24 22 2( 12) (1 12) (1 12) 12136 132 4 13，4 64 6当且仅当 (舍负)时取等号，63即 的最小值为 4 13.AE BF 6
