1、1,线 性 代 数 电子教案之四,2,第四讲 逆矩阵与矩阵的分块法,主要内容,可逆矩阵的概念、性质、矩阵可逆的充要条件， 以及逆矩阵的求法；,分块矩阵及其运算规律.,基本要求,理解可逆矩阵的概念、性质，熟悉矩阵可逆的充 要条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵；,知道分块矩阵及其运算规律；,熟悉矩阵的行向量组和列向量组.,3,一、概念的引入,第三节 逆矩阵,给定一个从 到 线性变换,系数矩阵记为,且记,则 可写成,问：如果线性变换 可逆，那么它的逆变换，从到 的线性变换是什么？,4,假设从 到 的线性变换为,线性变换 是线性变换 的逆变换，则有,类似有,即,我们把这样的 称为矩阵 的逆矩阵.,5,二、
2、逆矩阵的定义和记号,定义,说明,此定义表明只有方阵才可能有逆阵；,对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使,则称矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩 阵，简称逆阵.,如果矩阵 是可逆的，那么它的逆矩阵唯一，因此，我们把矩阵 的逆矩阵记作 ，即,若 则,证明,6,三、方阵可逆的条件,定理1（必要条件）,若矩阵 可逆，则,证,矩阵 可逆，,即,所以,所以有 使 ，,故,定理2（充分条件）,若 ，则矩阵 可逆，且,其中 为矩阵 的伴随阵.,7,证,根据伴随阵的性质，有,当 时，有,根据矩阵可逆的定义知，矩阵 可逆，且,8,说明,这两个定理给出了矩阵可逆的一个充要条件：,矩阵 可逆,定理2给出了计算
3、逆矩阵的一个方法：,1）计算,2）计算,3）写出,根据这个充要条件，可以将定义中的条件改进为,证明,9,四、例题,例1 求二阶矩阵 的逆矩阵.,解,说明,此例的结果应作为公式记住.,10,例2 求方阵,的逆阵.,解,析：这是一个求三阶矩阵的逆矩阵的例子，要 利用公式,所以 存在，再计算 的余子式，,11,12,13,14,15,得，,根据余子式和代数余子式的关系,16,所以,说明,利用这个公式求矩阵的逆矩阵，计算量较大,很容易出错， 为了减少出错 ，先计算 ，而不是直接计算 .,验证,17,五、逆矩阵的运算规律,若 可逆，则 亦可逆，且,若 可逆，数 ，则 亦可逆，且,若 为同阶矩阵且均可逆，
4、则 亦可逆，且,若 可逆，则 亦可逆，且,18,六、矩阵方程和矩阵多项式的求法,设 为可逆矩阵，,1. 矩阵方程的求法,19,例3 设矩阵 满足,其中矩阵,解,20,故 可逆，且,于是， 用 左乘、右乘 的两边，得,21,矩阵多项式也是线性代数的重要而基本的内容， 虽然计算矩阵多项式比较繁， 但是如果矩阵比较 特殊，则有一种特殊的计算法.,2. 矩阵多项式的求法,22,当 时， 则有,一般地，,23,解,所以 存在，因此由 得，,于是,24,又,所以,再由,得,的对角元,25,因此,26,3. 方阵求幂问题,方法,基本方法：把 通过可逆阵 与对角阵 联系起 来，,根据所给矩阵 ，找出 所满足的
5、关系式.,从具体计算 等等，找出 的幂的规律.,27,解,这个结果应当作公式记住,28,解,29,30,解,析：根据此题的特点，要找出 满足的条件.,所以,因此,31,七、小结,逆矩阵的计算公式：,实数的倒数与矩阵的逆阵的比较：,零是唯一一个没有倒数的实数，因而它显得怪异，相似地，当 时，称矩阵 为奇异矩阵，当时，称矩阵 为非奇异矩阵.,32,矩阵可逆的条件：,可逆,没有矩阵的除法：其一，有许多矩阵没有逆阵， 其二， 不能确定是表示 ，还是表示 （ 为可逆的方阵）.,33,伴随阵是一种很重要的矩阵， 的伴随阵 继承了 的许多性质；伴随阵的性质有,34,一、分块矩阵的概念,第四节 矩阵分块法,用
6、一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操 作”称为对矩阵进行分块，每一个小块称为子块；这 样处理矩阵的方法称为分块法；,矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.,说明,分块矩阵只是形式上的矩阵；,分块法的优越之处是：,把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.,矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化.,可为某些命题的证明提供方法.,35,例如,得到4个子块：,以这些子块为元素，于是，得到 的按照这种 分法的分块矩阵：,这是一个形式上为 的分块矩阵,36,对 还可以进行其它分法，如下面的两种分法：,37,二、分块矩阵的运算规则,1. 分块矩阵的加法,设矩阵 与 为同型矩
7、阵，采用相同的分法，有,那么,说明,分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加.,38,2. 分块矩阵的数乘,设 为数，对矩阵 分块后，得分块矩阵为,那么,说明,分块矩阵的数乘，数乘每一个子块.,39,3. 分块矩阵的乘法,设 为 矩阵， 为 矩阵，,对 的列的分法与对 的行的分法相同，分块成,则,的列数分别等于,的行数， 那么,40,其中,说明,分块矩阵的乘法，对左矩阵的列的分法与对右矩 阵的行的分法相同，再按普通矩阵的乘法.,41,解,分块法：,把 分块成,42,则,43,因此,说明,在计算两个分块乘积时，可以把子块看作“数”；,把4阶矩阵的乘积化为2阶矩阵的乘积，即把大矩阵的运算化为小矩
8、阵的运算.,44,例 设A为n阶矩阵， 矩阵 ，（1）求证 为矩阵 A 的第j列；（2）若 ，求证： 。,45,证 （1）将A按列分块，设 为A的第j列，则,（2）将A按列分块，则,于是,46,如此类推，可得,47,4. 分块矩阵的转置,设对矩阵 分块后，得分块矩阵为,那么,说明,分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每 个子块转置.,48,5. 分块对角阵,设 为 阶矩阵，可分块成为,也就是只有在对角线上有非零子块，其余子块都 是零矩阵; 如果在对角线上的子块 都是方阵，那么这样的分块矩阵称为分块对角阵.,说明,对角阵是分块对角阵的特殊情形，因此分块对角阵有与对角阵相似的性质.,49,分块
9、对角阵的性质,分块对角阵的行列式,分块对角阵的逆：,当 ，即 时，有,分块对角阵的幂：,50,特别注意,则,51,解,分块法：,对 做如下形式的分块后，得到分块对角阵:,52,因此,说明,由此例可以看出，用分块法把求3阶矩阵的逆阵问题化为求2阶矩阵的逆阵问题，使计算简便多了.,此例显示出，记住2阶矩阵的逆阵，是必要的.,53,解,分块法：,对 做如下形式的分块后，得到分块对角阵:,因此,54,由此归纳可得,所以,55,三、几种常见的分块方法,在分块矩阵的运算中，特别要注意分块矩阵的乘 法， 运算的可行性取决于两个方面：,左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；,左矩阵子块的列数等于右矩阵相应子块的行
10、数，,在计算矩阵 与 相乘时，常 见的分块方法有：,1. 对 按列分块，同时对 作“最粗”的分块,56,把 本身当作一个子块,说明,称为矩阵 的列向量， 称为 的列向量组；,矩阵与列向量组一一对应.,应注意，若反过来，对 按列分块，对 作“最粗”的分块，则 是无法进行分块矩阵的乘法.,下标表示分块矩阵的行块数和列块数，以下相同,57,2. 对 按行分块，同时对 作“最粗”的分块,把 本身当作一个子块,58,说明,称为矩阵 的行向量， 称为 的行向量组；,矩阵与行向量组一一对应.,列向量（列矩阵）常用小写黑体字母 表示，或用希腊字母 表示.,行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示. 如,59,3.
11、 对 按列分块，同时对 作“最细”的分块,当 是对角阵时,常用这样的分块. 做“最细”的分 块,即为把每个元素作为一个子块.,说明,此结论表明，以对角阵右乘 的结果是 的每一列乘以对角阵中与该列对应的对角元.,60,4. 对 按行分块，同时对 作“最细”的分块,说明,此结论表明，以对角阵左乘 的结果是 的每一行乘以对角阵中与该行对应的对角元.,当 是对角阵时,常用这样的分块.,61,5. 对 按行分块，同时对 按列分块,是一个数,说明,此结果进一步表明了矩阵相乘的定义.,62,证,把 用列向量表示为 ，,则,因为,所以,63,特别地，有,而,由,和 为实数，得,因此,此题的结论对于复矩阵不成立
12、,64,例12,线性方程组,记,则 称为系数矩阵， 称为未知数向量， 称为 常数项向量， 称为增广矩阵.,或者,65,利用矩阵乘法，有,对 按列分块，对 作“最细”的分块，有,对 按行分块，对 作“最粗”的分块，有,66,此式相当于把方程组中每个方程写成,67,说明,(2)、(3)、(4)是线性方程组(1)的各种变形， (2)是以向量 为未知元的方程，(2)的解称为(1)的解向量. 今后，我们将把它们混同使用，并都称为线性方程组或线性方程，而且解与解向量亦不加区分.,68,四、小结,矩阵分块法是矩阵运算的一种技巧.其好处有3点；,把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.,能突出该矩阵的结构，从而可利用
13、它的特殊结构，使运算简化.,可为某些命题的证明提供方法.,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似；,常见的分块法有：按列分块、按行分块、作“最 粗”分块、作“最细”分块；,分块法求矩阵的逆阵，常用的几个公式为：,69,证明,70,P54 11.(1)(3)(4)12.(2)(4) P55 14. 15. 16. 20.24. 28. 30.,作业：,71,因为 都可逆，所以可以作分块矩阵,于是,设,根据左矩阵的分块情况，对 作相应的分块，,72,则有，,所以,73,逆矩阵唯一性的证明,证,假设矩阵 可逆， 都是它的逆矩阵,则,因此，,所以 的逆阵是唯一的.,74,证,故,因而 存在，于是,
