1、北师大版普通高中新课程标准实验教科书选修2-1,充 要 条 件,周末,你和你的妈妈出门逛街,在商场遇到她的同事,你的妈妈向她的同事介绍:“这是我的女儿”,那么,你还需要介绍:“这是我的妈妈”吗?为什么?,引导归纳,得出定义,深入探究,获得新知,拓展练习,总结方法,p:在ABC中,C= 2 ,q:在ABC中, 2 + 2 = 2 。 问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?,1.引导归纳,得出定义,归纳充要条件的定义:对于p和q,如果有pq,又有qp,那么,记作pq,称p是q的充分必要条件
2、,简称充要条件,也称p与q是等价的。,例1. 勾股定理 “ 2 + 2 = 2 ”是“ABC中, C= 2 ”的什么条件?例2. 一元二次方程实数解的问题例2. 一元二次方程实数解的问题 “判别式= 2 4ac0”是“实数系一元二次方程 2 +bx+c=0有实数解”的什么条件?,充要条件的意义:从不同角度来刻画同一事物。,从边的数量上看,三角形三条边的长度之间有“ 2 + 2 = 2 ”的关系;从角的数量上看,有一个角是 2 ;从几何形态上看,三角形有两条边互相垂直。,定量分析方程的系数,得出方程有无实数解的定性结论。,例3. 判断p与q的关系。 (1)p:一个数的末位数字为0。 q:一个数能
3、被5整除。(2)p: 2 =。 q: a,b,c成等比数列。(3)p: 给定向量a和b,ab=0。 q: a与b垂直。(4)p:ab q:acbc。,2.深入探究,获得新知,若pq,但qp,则p是q的充分不必要条件;,若qp,但pq,则p是q的必要不充分条件;,若pq且qp,则p是q的充要条件;,若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件。,探究1 充要条件具有传递性吗?,探究2 设集合Ax|x满足条件p,Bx|x满足条件q,如何用集合观点理解p与q的四种关系?,若p是q的充要条件,q是s的充要条件,,即pq,qs,则有ps,即p是s的充要条件。,“我是华山中学高二7班的学生”,与“我是华山
4、中学的学生”有什么关系?,3.拓展练习,总结方法,例4:在下列各题中,试判断p是q的什么条件。,(5)p: a3 , q: a1; (6)p: 四边形的对角线相等,q : 四边形是等腰梯形。,解析 (1)x20(x2)(x3)0, 而(x2)(x3)0x20(当x3时“”不成立), 所以“x20”是“(x2)(x3)0”的充分不必要条件;,(2) 法一:t24t2,t2 t24(当t2时,t24), “t2”是“t24”的必要不充分条件。 法二:原命题的逆否命题为若t24,则t2; t2t24,t24 t2(当t2时,“”不成立)。 故“t24”是“t2”的必要不充分条件。 由互为逆否命题同真
5、同假得: “t2”是“t24”的必要不充分条件。,(5) a3 a1, a1 a3 所以“a3”是“a1”的充分不必要条件。 (6) p q,q p 所以p是q的必要不充分条件。,例5. 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么: (1) s是q的什么条件? (2) r是q的什么条件? (3) p是q的什么条件?,(1)定义法若pq,但qp,则p是q的充分不必要条件;若qp,但pq,则p是q的必要不充分条件;若pq且qp,则p是q的充要条件;若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件。 (2)等价法“pq”表示p等价于q,等价命题可以进行转化,当我们要证明p成立时
6、,就可以证明q成立,应注意“原命题逆否命题”“否命题逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法。,(3) 集合法当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系利用Venn图或数轴解题。 (4) 传递性法由于逻辑联结符号“”“”“”具有传递性,因此可根据几个条件的关系,经过若干次的传递,判断所给的两个条件之间的相互关系。有时需要画出示意图,借助图形作出判断,体现数形结合的思想。,例6.已知条件p:Ax|x2(a1)xa0,条件q:Bx|x23x20,当a为何值时,(1) p是q的充分不必要条件;(2) p是q的必要不充分条件;(3) p是q的充要条件分析 用条件的充分性、必要性确定范围,一般转化为集合之间的包含关系,解析 得p:Ax|(x1)(xa)0,q:B1,2。(1) p是q的充分不必要条件AB且AB,当A1时,a1;当A1,a时,12a2。(3) p是q的充要条件ABa2。,【点评】 本题将充分条件、必要条件的问题,转换为集合之间的包含关系问题,体现了转化与化归的思想,在确定AB后,需要对A进行讨论,体现了分类讨论的思想,