1、第一章 数列,1 数列,1.1 数列的概念,1.数列的有关概念 一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成 a1,a2,a3,an,简记为数列an,其中数列的第1项a1,也称首项;an是数列的第 n项,也叫数列的通项. 【做一做1】,答案:D,2.数列的分类 按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫作有穷数列;项数无限的数列叫作无穷数列. 【做一做2】 下列说法中哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. (1)0,1,2,3,4是有穷数列; (2)所有的自然数能构成数列; (3)同一个数在数列中可能重复出现; (4)数列
2、1,2,3,4,2n是无穷数列. 解:(1)错误.0,1,2,3,4是集合,不是数列. (2)正确.如将所有的自然数按从小到大的顺序排列. (3)正确.数列中的数可以重复出现. (4)错误.数列1,2,3,4,2n,共有2n项,是有穷数列.,名师点拨有穷数列与无穷数列的表示方法: (1)有穷数列一般表示为a1,a2,a3,am;无穷数列一般表示为a1,a2,a3,am,. (2)对于有穷数列,要把末项(即最后一项)写出来,对于无穷数列,不存在最后一项,要用“”结尾.,3.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的
3、通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式. 【做一做3】写出下列数列的通项公式: (1)0,2,4,6,8,; (2)1,2,4,8,; (3)1,4,9,16,; (4)-1,1,-1,1,. 解:(1)an=2(n-1).(2)an=2n-1. (3)an=n2.(4)an=(-1)n.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)数列2,6,8,10,12可以表示成2,6,8,10,12. ( ) (2)1,1,1,2,2,2,3,3,3,不能构成数列. ( ) (3),2,3,4,n是无穷数列. ( ) (4)数列的通项公式不同,该数列也可能相
4、同. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 给出以下说法: 数列1,3,5,7,1的第5项是1; 数列10,100,1 000与1 000,100,10是相同的两个数列; 数列n2+1的第10项是100; 数列5,4,3,2,1,是有穷数列. 其中正确说法的序号是 . 解析:正确;所给两个数列中数的次序不同,不是同一数列,错误;该数列的第10项应该是102+1=101,错误;数列后面有“”,表示无穷数列,错误. 答案:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟正确理解数列及相关概念,注意以下几点: (1)数列与数集不同,数集具有互异性和无序
5、性,而数列中各项可以相同,但与顺序有关; (2)数列a1,a2,an,可以记为an,但不能记作a1,a2,an,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1,其中正确说法的序号是 . 解析:错误,当n=5时,a5=25+1=11;正确;错误,这是因为数列是按一定次序排成的一列数;正确. 答案:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 写出下列数列的一个通项公式:,分析:根据给出数列的前几项,通过归纳、猜想写出它的一个通项公式时,要分析各项与对应序号间的关系,得出一个合适的函数解析式,再验证是否合适.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)数列中的各项都是数列2n中对应各项减去1得
6、到的,因此通项公式是an=2n-1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.在根据数列的前几项求数列的一个通项公式时,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求解. 具体可参考以下几个思路: (1)统一项的结构,如都化成分数、根式等; (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式; (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1处理符号; (4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.,探究一
7、,探究二,探究三,思维辨析,2.根据前几项写通项公式时,结果可能不唯一,如本例(5). 3.善于对所写的通项公式的正确性进行验证.令通项公式中的n=1,2,3,得到数列的前三项,看是否与实际相符.若符合,则写出的通项公式是正确的,否则是错误的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 写出下面各数列的一个通项公式.,解:(1)通过观察,发现各项分别减去1,变为2,4,8,16,32,其通项公式为2n,故原数列的一个通项公式为an=2n+1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟数列的通项公式给出了第n项an与它的项
8、数n之间的关系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3,0和1是不是数列an中的项?如果是,那么是第几项? 数列an中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是an中的项. 假设an中存在第m
9、项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得m=10. 所以数列an中存在连续的两项,第10项与第11项相等.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽略了相邻正方形的公共边而致误 【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成.,通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为 . 错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4; 第二个图形有两个正方形,火柴棒的根数为42; 第n个图形有n个正方形,火柴棒的根数为4n.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解:因为每两个相邻的正方形均有1条公共边, 所以第二个图形的火柴棒根数为23+1. 第三个图形的火柴棒根数为33+1. 第n
10、个图形的火柴棒根数为3n+1. 答案:3n+1 纠错心得本题错误的根源是对图形认识不到位,实际上虽然第n个图形中有n个正方形,但每相邻的两个正方形都有公共边,因此解决此类问题需要看清图形间的内在联系,并找到相关规律再进行归纳.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) A.an=3n B.an=3n-1 C.an=3n-2n D.an=3n-1+2n-3 答案:B,1,2,3,4,5,1.下列说法中错误的是( ) A.数列4,7,3,4的第一项是4 B.数列an中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等
11、于3 C.数列-1,0,1,2与数列0,1,2,-1不相同 D.-1,1,2,0,-3是有穷数列 解析:虽有a1=3,但数列中其他的项还可以等于3. 答案:B,1,2,3,4,5,2.已知数列an的通项公式为an=n2-n,则下列结论正确的是( ) A.第2项a2=0 B.0不是数列中的一项 C.21是数列中的一项 D.42是数列中的一项 解析:令n2-n=42,解得n=7(n=-6舍去).故42是数列的第7项,其余选项均错. 答案:D,1,2,3,4,5,3.已知数列1,2,4,7,11,16,x,29,37,则x等于( ) A.20 B.21 C.22 D.23 答案:C,1,2,3,4,5,4.写出下列数列的一个通项公式.,1,2,3,4,5,
