1、2018-2019 学年度东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人、校对人：高三数学备课组第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 ，则2zi14ziA.1 B. C. D.i i2.设集合 ， ，则集合20Ax2logBx()RCABA. B. C. D104x14x3.已知各项为正数的等比数列 中， ， ，则公比 qna2146aA2 B3 C4 D54.若两个单位向量 ， 的夹角为 ，则b60bA B C D235.已知命题 ：幂函数的图象必
2、经过点 和点 ；p(,)(1,)命题 ：函数 的最小值为 .下列命题为真命题的是q2+5()4xf52A. B. C. D.ppq()pq()pq6.设变量 、 满足约束条件 ，则 的最小值为xy3062yxyxZ2A.-3 B.-2 C.0 D. 67.将函数 ysin(6x )图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍，再向右平移 个单位，所得4 8函数的一条对称轴方程为A B. C. D.28x58x8已知定义在 上的函数 ， ，设两曲线(0,)2()fm()6ln4g与 在公共点处的切线相同，则 值等于)yfxygA. B. C. D 5359.已知 为等腰三角形，满足 ， ，若 为底 上
3、的动点，ABC3ABC2PBC则 ()PA.有最大值 B.是定值 C.有最小值 D.是定值821410函数 的图象大致为|()e|1xf11.如图直角坐标系中，角 、角 的终边分别交单位圆于 、0202A两点，若 点的纵坐标为 ，且满足 ，则 的值B51334AOBS 1sin3cosin2A. B. C. D.5132125112.设函数 若关于 的方程 有四4|,0()log,xfx()fa个不同的解 且 则 的取123,1234,31234x值范围是 A. B. C. D.7(,27(,)2(,)7(,2第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13等差数
4、列 、 的前 项和分别为 和 ，若 ，则nabnnST231n_.31975ab14已知向量 ，且 ，则角 的值为 (,2)(tan,1)0,b/ab （用反三角函数形式表示）15.已知函数 ，若关于 的不等式 恰有 3 个整数解，则2xfex20fxfABOxy实数 的取值范围为 a16.已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，其1CBA 2CBA中 ，若 ，则 的最大值为 . 2|2|3|22BA三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足（）求数列 通
5、项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 18.（本小题满分 12 分）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .ABC, ,abc22cac（）求 ；（）若 ，求 的面积.42,cos5aABC19.（本小题满分 12 分）已知顶点是坐标原点的抛物线 的焦点 在 轴正半轴上，圆心在直线 上的Fy12yx圆 与 轴相切，且 关于点 对称Ex,EF1,0M（）求 和 的标准方程；（）过点 的直线 与 交于 ，与 交于 ，求证： l,AB,CD2AB20 （本小题满分 12 分）如图，在四面体 中， ， ABCD90BAC（）证明： ；（）若 ， ，四面体 的体积为 2，求二面角602D的余弦值BACABC
6、D21 （本小题满分 12 分）已知 21()xfea（）当 时，求 的极值；a()f（）若 有 2 个不同零点，求 的取值范围.()fx选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22.（本小题满分 10 分）选修 45；极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，xOyx两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 是以极坐标系中的点 为圆心， 为半C7(2,)63径的圆，直线 的参数方程为 .l123xty（）求 与 的直角坐标系方程；Cl（）若直线 与圆 交于 ， 两点，求 的面积.MNO23.（本小题满分 10
7、分）选修 45；不等式选讲已知函数 |1|2|)(xaxf（）当 时，解关于 的不等式 ；1a4)(f（）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围.|)(f 2,a2018-2019 学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（理科）答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 14 14 16. 130291artn221,e0三、解答题：本大题共 6
8、小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：，2a5914 数列 的前 n 项和 ，18.解：（1）由已知得22cosabcB由 ，得 . 0,B=4（2）由 ， 得， ，cos5A0,23sin1cos5A在 中， ，C insi()iinBBA7210由正弦定理 得， ，siniabAB5sin3aBA所以12BCS.5730619.解：（1）设 的标准方程为 ，则 2xpy0,2pF已知 在直线 上，故可 设 .1 分Ey,Ea因为 关于 对称，所以,F1,0M01,2pa，解得 3 分,2.ap所以 的标准方程为 4 分24xy因为 与 轴相切，故半径 ，所以
9、 的标准方程 为 .5 分E1raE221xy（2）设 的斜率为 ，那么其方程 为 ，.6 分lkykx则 到 的距离 ，所以 7 分,1l21d2211kABd由 消去 并整理得： 24,xyk40xk设 ，则 ，12,CDx1212,那么 9 分k124kxx 221kk所以 .11 分22216+1=8kABk所以 ，即 12 分22CD2CAB20。解：（1）如图，作 Rt 斜边 上的高 ，连结 DAEC因为 ， ，所以 Rt Rt 可得BA90BD所以 平面 ，于是 （6 分）CEBDAECBDAzxyABCDE（2 ）在 Rt 中，因为 ， ，所以 ， ，AD2A60B4B3AE，
10、 的面积 因为 平面 ，四面体 的体3CE3sinSEDCD积 ，所以 ， ， ，所以 平1sin42C 1C9AE面 B（8 分）以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 则 ，EDxyzOxyz(0,3)A， ， ， ， ，(1,0)B(,30)C(,0)(1,03)AB(,3C,AD设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取1(,)xyzmC0Am1103xzy3,设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可2(,)xyznDA0CADn203yzx取 1,3因为 ，二面角 的平面角为钝角，所以二面105cos,|3mnBC角 的余弦值为 BACD5（21 ）解：（ ）当 时 ，1 分ae()x
11、fe令 得 ， ， ， 为增函数, ，()0fx1或 0x()f()fx01x()0f， ， 为增函数3 分1()f ， 4 分()01fxf极 大 值 (1)2efxf极 小 值（） ()xfea当 时， ，只有个零点 ;5 分01a1xf1x当 时，20xe， ， 为减函数, ， ， 为增函数(,0)x(f()fx(0,)x(0fx()f而 ，当 ， ，使 ,当1ff极 小 值 2af0,1)0fx时， ，0xxe()1xe221()xfeaa21a取 ， ,函数有 个零10ax1()0fx1()0fx2点7 分当 时， ,令 得 ，03a()xfea()fx ln()xa ，即 时,当
12、变化时 ， 变化情况是ln()1()fx(0)0,ll()(ln),a()f0xA1AA ,函数 至多有一个零点，不符合题意; 8 分()(0)ff极 大 值 ()fx 时， ， 在 单调递增, 至多有一个零点，不合题1alna,()fx意9 分当 时，即以 时,当 变化时 ， 的变化情况是ln()0a(10)ax()ffxx8,ln)lln,0a(0,)f0xAA1A ， 时, , ,函数 至多有个零0a21()0xfea()ffx点11 分综上： 的取值范围是 .12 分(0,)（12 分）22.解：（1） 所对应的直角坐标系下的点为 ，圆 的直角坐标系方程7(2,)6(31)， C为： ； 的直角坐标系方程为： ，即2313xyl 2yx.0（2）圆心到直线 的距离为 ，l|(3)1|2d弦长 ， .2MNr1MONSdA1223.（） 5 分),3,(（） 对 恒成立xa12,时，2x)(3a时，1x综上： 10 分3a
