1、11,对称性与规范场的基本思想,22, 对称性与物理学,对称性和守恒律,规范场的基本思想,对称性破缺,3/40,1对称性与物理学,4/40,A牛顿力学、B狭义相对论、C广义相对论 D量子理论、E量子理论+狭义相对论,5/40,相对论来源于对称性，对称性在人和自然界中都随处可见：动物、植物、建筑、文学艺术对称是形象美重要因素之一。,6/40,对称性与物理学,7/40,对称性与物理学,8/40,对称性与物理学,9/40,文学创作中的镜象对称 回文词,对称性与物理学,10/40,苏东坡题金山寺,潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。 桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。 迢迢远树江天晓，蔼 蔼红霞晚是晴。 遥
2、望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。,无论顺念，倒念或从任一字开始念都成章,对称性与物理学,11/40,1.1 自然界的基本对称性,自然界对称的形式多种多样,对称性与物理学,1951年德国数学家魏尔,体系的所有对称操作的集合对称群,关于对称的基本概念,对一个事物进行一次变动或操作；如果经此操作后，该事物完全复原，则称该事物所经历的操作是对称的；而操作就叫作对称操作。简言之，对称性就是某种变换下的不变性。,12/40,1.1.1 空间对称性,如果物体上每一部分相对于任意一个假想的点、一条假想的线、一个假想的面而和它另一部分相符合的话，就可以说这个物体是对称的。或者说一切物体只要它们是由任意个相同的部分
3、构成的，就都叫做是对称的。,对称性与物理学,对称意味着“有序”，意味着某种“重复”的东西存在。,13/40,(1)空间旋转对称,对绕 O 轴旋转任意角的操作对称,对绕 O 轴旋转 2 整数倍的操作对称（对称性破缺）,对绕 O 轴旋转 /2 整数倍的操作对称,对称性与物理学,14/40,一次轴,2次轴,3次轴,4次轴,若体系绕某轴旋转 2 n 后恢复原状，则称该体系具有 n 次对称轴。,对称性与物理学,15/40,球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称,(2)空间平移对称,对位矢作 的变换，相应的对称性谓之平
4、移对称性。例如，,一无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。,16/40,一无限大平面：一个不带任何标记的无限大平面， 对沿平面的任意平移具有对称性。,平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长的平移操作对称。,对称性与物理学,17/40,镜像反射（演）：俗称照镜子，指对镜面作物像变换。 紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。,(3)空间反演对称性,18/40,左右对称与平移、旋转不同：（例如手套、鞋）,对称性与物理学,19/40,物理矢量的镜面反射极矢量和轴矢量按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。一类，以位移 为例，其镜像为 ，
5、如图1(a)所示。它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。 ， 等都是极矢量。,20/40,(a)极矢量 (b)轴矢量 图1,21/40,另一类矢量，如图1(b)中右侧所示一沿圆轨道运动的质点的角速度 。保持角速度方向与轨道旋向成右手关系的规定不变，则其镜像为左侧的 。 和 沿镜面的平行分量反向，而垂直分量方向相同。这类矢量叫轴矢量，又称赝矢量。两个极矢量的矢量积必定是轴矢量，所以，如角动量 ，力矩 等都是轴矢量。,22/40,图形对于标尺的涨缩具有不变性,整个图形放大或缩小时，只需转过一定角度就与原图重合 具有整体与部分的自相似性,1.1.2标度变换对称性
6、,“虽然改变了，我还是和原来一样。”,伯努利墓志铭,对称性与物理学,23/40,绝缘体电击穿时的电子路径,三分法科赫曲线,对称性与物理学,24/40,曼德耳布罗特的支气管树模型,对称性与物理学,1975年曼德布罗特(BB Mandelbrot)发表分形：形状、机率和维数,25/40,对称性与物理学,1.1.3 置换对称性（联合变换）,26/40,荷兰画家埃舍尔（M.C.ESCHER）的画具有对称性、多义性、复杂性。埃舍尔的作品是无法归类的，单纯从科学、心理学或美学的角度都无法品味其妙。有一次，一位妇女在电话里对埃舍尔说：“埃舍尔先生，我对你的作品完全着了迷，您的版画蜥蜴把轮回再生的过程描绘得那
7、么生动。”埃舍尔答道：“夫人，如果你那样认为，那就那样好了。”不同的人、不同文化背景的人、不同思维方式的人对埃舍尔作品的理解是不一样的，但那些思维单一、草率仓促的阐释往往离题万里不着边际。,27/40,骑士图和猛兽图对镜象反射加上黑白置换和必要的平移操作才构成对称操作。,对称性与物理学,28/40,29/40,旋转对称、中心反演对称、自相似对称,30/40,旋转对称、标度变换对称、自相似对称,31/40,32/40,33/40,34/40,旋转对称、中心反演对称、标度变换对称、自相似对称,35/40,旋转对称、标度变换对称、自相似对称,36/40,旋转和置换联合对称、中心反演和置换联合对称、标
8、度变换对称、自相似对称,37/40,视觉悖论，在逻辑学中常引喻逻辑悖论,38/40,39/40,40/40,维度的压缩，在不同的角度在不同的尺度感受到不同的维度,41/40,二维与三维的过度和并存,42/40,43/40,现实世界和虚拟世界的融合和转换,44/40,莫比乌斯带，内外的相对性和相同性，不可定向曲面。马戏团的围墙若建成莫比乌斯墙后果不堪设想,45/40,46/40,从有序到无序、从可逆到不可逆、大统一思想、“道生一，一生二，二生三，三生万物”、从相同到不同的分化、层次的产生,47/40,48/40,49/40,50/40,51/40,52/40,局部与整体,53/40,54/40,
9、55/40,56/40,57/40,视角暗示，可以是仰视也可以是俯视,58/40,59/40,60/40,61/40,62/40,63/40,64/40,1.1.4 时间对称性,“周期”、“节奏”、“季节”等，这类出现在我们面前的重复现象，其实就是时间的对称。 生活中的事件总是以不同的节奏循环往复地交替着 人类又何尝不是按一定“节奏”世代交迭着。,65/40,1）时间平移：作 的变换匀速运动物体的速度 对任意时间平移具有对称性。变化周期为T的系统对 (n为整数)的时间平移有对称性。,2）时间反演：作 的变换，即通常所谓“时光倒流” 速度的时间反演，有 ，方向相反，即 不具时间反演不变性。 加速
10、度的时间反演，因 ，故 具有时间反演不变性,66/40,保守力只与位置有关，故对时间反演不变；耗散力与速度方向有关，故对时间反演不具不变性。,由上不难理解，在保守力作用下运动的系统，其运动过程的录像，无论正、反放映都符合力学规律，而有非保守力作用的系统其运动的时间反演就会违背牛顿定律。例如，把一个穿着宽大衣袍的人自墙头跃下的录像倒映，尽管已变为纵身跃上墙头，但从衣袖飘动的方向上就会发现破绽，而如果改穿紧身衣，观众就无法判断录像究竟是正放还是倒着放的了。,67/40,1.1.5 联合变换,最重要的就是时空联合变换。伽利略变换、洛仑兹变换均属时空联合变换。除上述基本变换外，物理学中还有电荷共轭变换
11、（粒子、反粒子的变换）、规范变换等。需要指出的是，物理学中还将对称性的概念延伸至讨论物理规律。若物理规律在某种变换下形式不变，则称此规律对此变换具有对称性。例如牛顿定律对伽里略变换具有对称性，麦克斯韦电磁场方程组对洛仑兹变换具有对称性等。,68/40,1.1.6 对称性原理,自然规律反映了事物之间的“因果关系”，就是在一定的条件（原因）下会出现一定的现象（结果）。因果之间规律性的联系体现为可重复性和预见性，即相同（或等价）的原因必定产生相同（或等价）的结果。用对称性的语言来表述这个结论就给出了对称性原理。对称性原理的内容如下：原因中的对称性必然反映在结果中，结果中的对称性至少和原因中的对称性一
12、样多；结果的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少和结果中的不对称性一样多。,69/40,对称性原理是自然界的一条基本原理，有时，在不知道某些具体物理规律的情况下，我们可以根据对称性原理进行分析，对问题给出定性或半定量的结果。例如，根据对称性原理容易论证，一个只受有心力作用的质点，必定在由初速度 。及力心决定的平面内运动。因为全部原因（力、初始条件）对所述平面具有镜像反射对称性（其镜像就是自身），所以结果（质点运动）也必定具有同样的镜面反射对称性，故质点的运动不可能偏离此平面。同理，我们可以判断一个电荷均匀分布的带电球体对球外一点电荷P的静电力的方向必定沿球心O与P,70/40
13、,的连线，因为电荷分布（原因）对OP轴呈旋转轴对称，电力方向（结果）对OP轴线的任何偏离都将失去这一对称性，从而违背对称性原理，因此是不可能的。,有的问题，利用对称性原理可以大大简化计算。例如图所示连接的电阻，各电阻阻值相同，同为R，求A、B两端的等效电阻RAB。由图可知，这是一个不能简单分解为串联或并联的复联电阻，可利用对称分析求解。方法如下,71/40,I,C,设有电流I经A流入，后分为两支，A C为I1，则A D为I-I1，因A、B位置具置换对称，由对称性原理知，自B流出的两分支电流分别为从A到D的电流等价于电子D 到 A流动 ：C B I-I1，D B I1。由节点电流关系，C D电流
14、为 I1(II1)2I1I，由两分支计算A、D间电压 ，有2R(II1)RI1R(2I1I) 解得 故等效电阻,72/40,对称性与物理学,1.2 物理学与对称性,物理理论自身追求一种对称，并将其作为物理学美学三大标准(简单、对称、和谐)的主要内容之一。,对称性与物理学之间有什么关系呢？这里包含两层含义：,物理规律的内容是自然界对称性的反映，“对称性”是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本规律。,形象对称、抽象对称、数学对称三类,73/40,对称性与物理学,物理理论的对称性,(1) 形象对称,对物理定律、公式形象对称的追求，往往对理论的发展起到积极的建设作用,，,，,真空中的麦氏方程组,万有引
15、力公式和库论公式,74/40,对称性与物理学,(2)抽象对称,，,，,德布罗意：物质波概念的提出、波粒二象性,狄拉克：正电子、反物质,爱因斯坦：狭义相对论和广义相对论的提出,抽象对称性往往是指从一个概念、一个命题或一个理中反映出来的对称性。,75/40,对称性与物理学,(3)数学对称,，,，,在数学上，将两种情况通过确定的规则对应起来的关系，称为从一种情况到另一种情况的变换。数学对称性可称之为变换不变性。如果某一现象(或系统)在某一变换下不改变，则说该现象(或系统)具有该变换所对应的对称性。,物理定律的数学对称性实质就是物理定律不依赖于座标系的选择，物理定律不因地、因时、因人而异,76/40,
16、物理定律不因地而异,(1)物理定律的旋转对称性空间各向同性；,空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向具有特别优越的地位。实验仪器方位旋转，实验结果不变。,(2)物理定律的平移对称性空间均匀性,空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。,(3)物理定律的空间反射对称性：,如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律，则支配该过程的物理规律具有空间反射对称性。,对称性与物理学,77/40,物理定律不因时而异,(1)物理定律的时间平移对称性：,物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移对称性，物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律
17、不变。,(2)物理定律的时间反演对称性（t - t 的操作）,牛顿定律具有时间反演对称性,对称性与物理学,78/40,将无阻尼的单摆（保守系统）拍成影片，将影片倒着放，其运动不会有任何改变保守系统具有时间反演对称性。,实际上,牛顿定律、麦克斯韦方程、量子力学的规律都具有时间反演对称性。,第一级定律,受第一级定律支配的自然过程是可逆的,可为什么实际上看到的宏观现象都不是可逆的呢？,？,对称性与物理学,79/40,除了第一级定律外，大量粒子的运动规律还要尊守“第二级定律”，即：,统计规律，更具体地说就是热力学第二定律。,这一定律的核心思想是大量粒子组成的系统总是要沿着越来越无序或越来越混乱的方向发
18、展。,对称性与物理学,80/40,物理定律不因人而异,对称性与物理学,物理规律(自然定律)不因人（参考系）而异，参考系变换应该是物理定律的对称操作。,81/40,相对论并不神秘它是最脚踏实地的一种理论，是经过千百次实践检验的真理。只要我们摆脱日常生活经验的束缚，自觉地进行理性思维训练就能很好地理解它。,所谓常识不过是你年满18岁之前心中成见的淀积,对称性与物理学,82/40,对称性与物理学,13 对称性和守恒律,物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界
19、起作用。后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。而守恒律和对称性有紧密联系。,83/40,所谓“守恒”的基本涵义，是指任给一组描述系统随时向变化的方程，必能从中寻找到一个始终不变的物理量守恒量。,84/40,物理学中存在着许多守恒定律,如能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒、奇异数守恒、重子数守恒、同位旋守恒这些守恒定律的存在并不是偶然的，它们是自然规律具有各种对称性的结果。,诺特尔 (18831935)定理,严格的对称性严格的守恒定律 近似的对称性近似的守恒定律,85/40,1. 时间平移对称性能量守恒定律,对称性与物理学,1.3.1 三个简单的守恒定律,86/40,如果物理定律不具有时
20、间平移对称性设重力势能 随时间变化,例如：白天 g 大，晚上 g 小，则可晚上抽水贮存于h高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余,则永动机可以制造成功，违反能量守恒定律,对称性与物理学,87/40,2. 空间平移对称性动量守恒定律,设体系由两个相互作用的粒子组成而且只限于在x轴上运动。当两粒子之间距离 x=x1 - x2 时，体系的势能为,当体系发生一个平移 时，两粒子的座标变为,但二者的距离仍为x= x1 - x2 空间的平移对称性意味着势能应于 无关。这只有在势能U只是两粒子的间距的函数时才有可能。,对称性与物理学,88/40,因此：,这样的条件下，粒子1受力为：,这样的条件下，粒子
21、2受力为：,所以：,对称性与物理学,89/40,根据牛顿定律：,所以可得：,即两粒子体系的总动量不随时间发生变化，体系统动量守恒。,对称性与物理学,90/40,粒子对A，B，相互作用：固定B， A沿 至 A,系统相互作用势能增量：,空间旋转对称性空间各向同性相互作用势能只与二者距离有关，与二者连线在空间取向无关此操作不改变系统势能。,3. 空间旋转对称性角动量守恒定律,对称性与物理学,91/40,1.3.2 用拉氏方程讨论三个守恒定律,在牛顿力学中，通过对力学系统内外力的有关分析，可以判断是否存在动量守恒、角动量守恒和机械能守恒.,拉格朗日方法的出现，揭示了力学系统的时空对称性与守恒律的直接联
22、系，加深了对力学守恒律的认识。所谓时空对称性，指的是对时空的某种变换具有不变性。,时间的对称性表示时间是均匀流逝的、改变时间的计时起点不会影响力学系统的力学性质。空间的对称性主要包括空间平移的不变性和空间绕某轴转动的不变性。经空间的平移或绕某轴转动的操作后，系统的力学性质不变。下面用拉氏方程讨论三个守恒定律。,92/40,拉氏方程,广义动量,广义能量,93/40,1.若力学系统具有空间平移的对称性（不变性），则系统在该平移方向上的动量守恒,如果对空间的任意方向，系统都具有空间平移不变性，则系统的总动量守恒。,94/40,2.若力学系统具有空间转动的对称性（不变性），则系统相对空间转动轴的角动量
23、守恒,95/40,如果系统的空间性质对某点具有球对称性，则可得出系统对此点的角动量守恒。,96/40,3.若系统具有时间的对称性（不变性），则系统的机械能守恒,97/40,系统的机械能守恒,动量守恒、角动量守恒和机械能守恒分别起源于空间的均匀性、空间各向同性和时间的均匀性。,98/40,1.3.3 诺特尔定理,艾米诺特尔（Emmy Noether ，18831935 ） ：德国女数学家，她最主要的成就是著名的Noether定理，该定理说明了宇宙中对称与守恒是一一对应的，每发现一个守恒定律，就可以找到一个对称与之对应，反之亦然。该定理成为了现代物理学的基石，为整个物理学指引了方向。她的定律，可谓
24、是发现了造物主的核心思想，这是高于一切物理定律的定律！,99/40,在1920世纪之交，德国妇女要受高等教育非常困难，当时一位学术界著名人士就大叫，允许妇女上大学是“道德沦丧的可耻标志”。 Noether 坚持读完了大学，并取得了博士学位，但她找不到任何一种学术职位。大数学家希尔伯特（David Hilbert, 18621943 ）很赏识她的才能，试图为她争取到无偿讲课的权利，但没有成功，有人讽刺说：“一开始她们想上学，现在她们竟想开课了”。开课的要求被当局认为“与法律不合”而被拒绝，在教务会上，哲学家和历史学家都,100/40,无动于衷，恼怒的Hilbert嘴里叫嚷着“这是大学不是澡堂”而
25、冲出门外。1918年，经过了第一次世界大战，妇女的法律地位得到了改善，经过教务会组织的口试， Noether终于获得了讲课的权利，但仍有守旧派人士抱怨说：“那些保卫过祖国的士兵和饱经苦难的人们，今天又不得不听一个女人讲课！”Noether定理就在这个时期提出来的。,101/40,诺特尔定理：对给定的动力学系统，任一r个参量的 连续对称变换必对应r个守恒量。 诺特尔定理给出了连续对称性与守恒律的关系； 离散（非连续）对称性不一定对应一个守恒量，如时间反演对称就不对应一个守恒量（喀兴林， p.333、.379 ） 诺特尔定理及其推广给物理学家提供了开启宇 宙大门的钥匙,102/40,诺特尔定理的证
26、明见（1）刘辽，量子场论48； （2）王正行，简明量子场论9；（3）李德明、 陈昌民，经典力学，42.,103/40,1.3.4 群论概念,描写对称性的有力工具是数学中的“群论”。 群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，18111832年）提出的。 伽罗瓦1811年10月26日出生在法国巴黎一个小市镇上。父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义、浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，,104/40,伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。12岁那年，伽罗瓦考入当地著名的皇家中学。 他小时候和高
27、斯正好相反，根本没有人认为他是“神童“。他的教师曾说伽罗瓦“没有智慧，不然就是把智慧藏得太深了，我没法去发现。“有的教师干脆说：“伽罗瓦什么也不懂。“其实伽罗瓦在中学时代就对数学表现了非凡的天赋。他从16岁起就致力于五次方程各五次以上方程的根式解法的研究。教科书满足不了人求知的欲望，15岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教。,105/40,1828年，伽罗瓦17岁开始研究方程可解性问题，在数学教师里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，创立了“群”的思想，提出群用以处理可解性问题，获得了重大成果。伽罗瓦写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院。负责审查这篇论文的是当时法
28、国数学家泰斗泊松。论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像泊松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果得到泊松草率的评语：“不可理解”而被否定了。最后连手稿也给遗失了。,106/40,1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二
29、周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。,107/40,1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。直到伽罗瓦死后十四年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作。伽罗瓦所引入的“群”的概念，已发展成为近世代数的一个新的分支“群论”，而且在其他数学分支和近代物理、化学等科学上都是被广泛应用的数学工具。,108/40
30、,伽罗瓦性格倔强，生不逢时，3次把研究论文交法国科学院审查，都未能得到及时的肯定。不仅如此，由于伽罗致词热烈支持和参与法国“七月革命“，在进入巴黎高等师范学校的第一年就被开除学籍；之后又两次被抓进监狱，获释后的一个月，1832年5月31日，为情而决斗。伽罗瓦在生活中受到巨大打击，论文三次被拒，挚爱的父亲自杀，未能考入综合工艺学院，年轻的充满激情的心被心上人撕碎，如此巨大的压力下，决斗仅仅是他自杀的一种方式。决斗方式为两人从一把有子弹的枪和一把无子弹的枪中随机选一把，隔着25公尺射击，伽罗瓦倒下了，肠子被射穿，没有,109/40,医生在场。他被丢在他倒下的地方。9点钟的时候，一个路过那里的农民把
31、他送到科尚医院。伽罗瓦被击中要害，第二天-1832年5月31日早晨，一颗数学新星殒落了。死时还不满21岁，伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案。伽罗华对自己的成果充满自信，他在给,110/40,朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的
32、正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。” 死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，共60页，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。,111/40,历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。并且开创了数学的一片新的天地。 然而不幸的是，伽罗瓦的群论思想由于超越时代太远而未
33、及时地被人们理解和接受，以致埋没了10年多，幸好手稿保存下来。1843年9月，法国数学家刘维尔重新整理了伽罗瓦的数学手稿，向法国科学院作了报告，并于1846年，在他自己办的数学杂志上发表,112/40,了它，这才引起了数学界的注意。 数学家们在伽罗瓦群论思想的基础上，开始追踪、研究和发展，逐渐开创了一个新的数学分支-抽象代数学。它包括群论、环论域论、布尔代数等。 伽罗瓦是不幸的，生前他没有得到他应有的荣誉和地位。但人那颗被冷遇的倍爱创伤的心，却始终充满着对未来的热情、期待和对追求。 伽罗瓦的工作极其成功地应用了他自己提出的冠以“群”的概念。,113/40,伽罗华的遗书我请求我的爱国同胞们，我的
34、朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。 我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲爱的朋友：,114/40,我已经得到分析学方面的一些新发现 在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。 请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西
35、整理清楚会是很有益处的一件事。 热烈地拥抱你 伽罗华,115/40,评：伽罗华的想法是有道理的，但事实这道理只是在探求新知时特别有用。 伽罗华的成就成为整个数学界的成就是一件远比伽罗华想象的更艰难更平常的过程。 galois大脑的验尸报告： 剥去头盖骨的包膜可以看到，年轻人形成冠状物的两块以一个钝角连在一起。这至多有五分之一英寸宽。在冠状物缝合顶骨处的边缘，可以看到进阶两块骨头连接处有一个深的，扁平的圆形凹陷；顶骨封丘发育很好，彼此分得很开；这部分的发育是不寻常的，,116/40,相对于枕骨来说 一旦头盖骨被打开，前窦的内壁靠得非常近；剩下的空间小于五分之一英寸；在头盖骨圆顶的中央，对应于上面
36、所述封丘的两个凹陷 大脑很重，回旋很大，裂缝很深，特别是在侧面部分；有一些隆起对应头盖骨上的腔；在每个前丘的前部有一个，在上面的顶部有两个；大脑组织一般柔软；脑腔很小，没有体液；垂体腺很大且含有灰色颗粒；小脑很小；大脑和小脑总重量为三磅又不足八分之一盎司。,117/40,群的概念 一、群的定义 1.群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G： （1）封闭性 若a,bG,则存在唯一确定的cG,使得a*b=c; （2）结合律成立 任意a,b,cG,有(a*b)*c=a*(b*c); （3）单位元存在 存在eG,对任意aG，满足a*e=e*a=a，称e为单位,118/40,元，也称幺元; （
37、4）逆元存在 若对任意aG,存在唯一确定的bG, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a-1=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab. 若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。,119/40,2.定义运算* （1）对于gG，H包含于G，g*H=gh|hH，简写 为gH；H*g=hg|hH，简写为Hg. （2）A，B包含于G，A*B=ab|aA,bB，简写为AB. 3.群的替换定理G对*是群，则对于任一gG，gG=Gg=G. 4. G对*是群，集合H包含于G，记H-1=h-1|hH,
38、120/40,5.子群如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成 一个群，那么称H为G的子群。 6.如下定理可以判定G的子集是否为一个子群：HH=H且H-1=H H是G的子群 7.若群乘法可交换，即对任何两个群元gi 和 gj，有gi gj= gj gi,则称该群为阿贝尔群。,121/40,二、群的例子 1.全体整数对于数的加法构成一个群 2.全体有理数对于数的加法构成一个群 3.全体实数对于数的加法构成一个群 4.全体非零实数对于数的乘法构成一个群 5.全体NxN矩阵对于矩阵的加法构成一个群 6.全体NxN矩阵对于矩阵的乘法不构成一个群（有些 矩阵不存在逆矩阵）,122/40,7.对
39、三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子） ,它由此被标记为S3。 例如（abc）,定义g1为“不换”：（abc），g2为“向前替换”：（bca）,g3为“向后替换”:（cab）,g4为“1和2的交换”:(bac), g5为“1和3的交换”:(cba), g6为“2和3的交换” :(acb)。显然e= g1， g1-1 =g1 ， g2 和g3 互为逆元， g4 、 g5和g6的逆元为其自身，乘法表同样可给出。,123/40,8.若用P表示对空间坐标的“反演变换”，即将点（x,y,z）变换成（-x,-y,-z）,用I表示对空间坐
40、标不做任何变换，由于P2=I, P的逆元为其自身，显然（ I, P ）为二元阿贝尔群。 9.n维欧式空间的任一转动引起n维坐标(x1,x2,xn)的一个正交变换，这些转动和反演一起组成一个群，记作O(n),群元可用表示相应正交变换的一个nn正交矩阵R来代表。若进一步要求R的行列式等于1，所组成的群记作SO(n),这里S代表 “特殊（special）”。,124/40,10. 由nn酉矩阵U组成的群记着U(n) 。若进一步要求U的行列式等于1，所组成的群记着SU(n) 。,125/40,例 若集合Gg，定义二元运算*为：g*gg， 证明是群。 证明：因为，g*gg， 所以，运算*是封闭的； 又因
41、为，(g*g)*gg*gg g*g g*(g*g)， 则运算*可结合，又g是幺元，gG的逆元是g， 所以是群。,126/40,例 设G=e,a,b,c 运算*表如表所示., G存在单位元e； 运算封闭； *满足结合律；, G的每个元素均存在逆元, 逆元是其本身； G存在交换律(这不是群的要求)； 所以 G, *为群, 并称G, *为四元群。,127/40,2 规范场的基本思想,2.1 麦克斯韦方程的规范不变性,128/40,成立的充要条件是存在矢量场 使得 ，将其代入 可得 ，该式成立的充要条件是存在标量场 使得 ，即 。即在经典电动力学中可等价地用矢势 和标势 代替 和 来描写电磁场。当作如
42、下变换时 和 不变，即电磁规律都不变，该变换称为电磁场的规范变换。,129/40,Maxwell方程在规范变换下的不变性表现了电磁场的一种对称性，由规范场论知道这种对称性与电荷守恒定律相联系。,130/40,2.2 量子力学中的规范不变性量子力学中规范不变性有所不同，它导致一种新思想。从波函数 的统计诠释可知 决定粒子出现在空间的概率分布。因此量子力学描述的理论结构在下列变换下具有不变性式中 是常数，该变换只不过改变了波函数 的相位，因为 在各时刻和空间各点变换都一样，故称为整体规范变换。,131/40,但照理，在不同的时间-空间点可以改变不同的相位，也就是说要求理论在如下变换下具有不变性具有
43、不变性。该变换称为局域规范变换。问题是，很容易看出，一个自由粒子的薛定谔方程在局域规范变换下并非保持不变。但对于电磁场中,132/40,电子运动的薛定谔方程我们知道该如何解决。那就是在波函数 作局域规范变换的同时，对电磁场 和 作Maxwell方程的规范变换，即只要同时作就能保持电磁场中电子运动的薛定谔方程不变。,133/40,2.3 规范场的思想,上节关于在波函数和电磁场的联合规范变换下电磁场中电子运动的薛定谔方程不变的结论表明这样一种新的基本的观念：理论的局域相位不变性（一般地称为规范不变性）要求有场 存在（称为规范场），根据量子场论，和这场相联系的必然有规范玻色子，这里它是矢量粒子（自旋
44、为1），由于对任何带电粒子都会产生同样效应，该粒子（理解为光子）与任何带电粒子的作用,134/40,都是相同的，即这是一种普适的相互作用。因此，带电粒子理论的相位不变性要求有光子和电磁相互作用。（有对称性就有相应的约束或作用，正如整齐列队（有某种对称性）是有相应的指令或约束（即一种作用）所致）20世纪50年代，杨振宁和密尔斯（R.Mills）把电子波函数和电磁相会作用的规范不变性加以推广，从相位不变性推广为更普遍的规范变换下的不变性（内部空间的对称性）。在此基础上，物理学家再向前进一步发展了一整套规范场理论，而认为,135/40,各种相互作用都是规范相互作用，将规范不变性原理作为物质相互作用的
45、一条基本原理。在现代的规范场理论中，重子数、奇异数（包含奇异夸克的数目）、粲数（包含粲夸克的数目）、底数（包含底夸克的数目）和顶数（包含顶夸克的数目）等每一种守恒量都分别对应一种“荷”和对应的相互作用在相应规范变换（由特定的变换群描写）下的规范不变性。,136/40,2.4 作用量原理用微分方程来描写物理规律是从牛顿建立他的运动方程以来物理学家习惯用的方法。在牛顿运动方程中着眼点放在每一时刻粒子所处的状态，作用在粒子上的力使粒子按牛顿运动定律获得一个加速度，由此可以算出下一时刻粒子的速度和位置，如此下去。这就是微分方程描写的物理过程。另一方面，物理学家受光学中的费马原理“光传播时选择的路径是使
46、它到达目的地所花时间最短的那一条”的启发，提出了作用量原理的方法。在该方法中着眼点放在粒子所走路径的整体，,137/40,并探寻粒子选择某一特别路径而不是其他路径的根据。探测到的这个根据被称为“最小作用量原理”或“作用量原理”：给每一个经历指定一个可以按某一表达式计算的被称为作用量的数，粒子的实际经历是作用量最小的那一个。一旦确定了计算作用量的表达式，作用量原理就可以确定粒子的实际演化过程。作用量原理是在经典力学中发展起来的，但它已远远超出了经典力学的范畴，而成为整个物理学的基本原理。,138/40,物理学家认为整个物理学都可以由作用量原理给出，作用量原理适用于整个宇宙，整个物理学应当是用单个
47、作用量描述的。每当物理学家发现了一个新的守恒律，从而掌握了物理学的一个新领域，他们就在描写这个世界的作用量表达式中加上一项，用来描述这个新领域。物理学发展的每一阶段，作用量的表达式是一些分离项的累加，我们可以指着其中一些项说，这项是描述电磁的，那项是描述引力的，如此等等。基础物理学家的最终梦想就是要把作用量的这些分离的项统一成一个有机的整体。目前离这个,139/40,最终目标还相当遥远，新的物理现象还在不断出现。近几十年的粒子物理学的发展差不多都经历了这样的过程：在实验中发现了某种守恒量，由此根据诺特尔定理得到有关相互作用的对称性，即它在某种变换下具有的不变性，于是试探性地写出反映这种对称性的
48、作用量，然后根据作用量原理作出若干理论预测，再在进一步的实验中经受检验，或根据新的实验结果对原来的作用量进行修改，直到理论预测与试验一直为止。可见诺特尔定理帮助我们大大简化了寻求自然规律的过程。,140/40,24 对称性的破缺,断臂维纳斯是很古典的非对称性美。,142/40,143/40,144/40,现在的时尚又是非对称性美，女孩子们将头发梳成一个歪把,145/40,146/40,147/40,148/40,崭新的衣服或裤子非对称地补一些很醒目的补丁，甚至故意做出一些很大的窟窿却卖出比没有窟窿的更好的价钱等等，等等。,149/40,150/40,151/40,152/40,153/40,154/40,155/40,156/40,这也许是人们的对称性审美疲劳，正如荧幕或屏幕上又流行小眼、大嘴、骨感甚至是一些丑星，这也是人们对审美疲劳的一种补救。,157/40,小眼！,158/40,159/40,160/40,161/40,162/40,163/40,164/40,小眼+大嘴,165/40,大嘴,166/40,167/40,168/40,小眼+骨感,169/40,170/40,171/40,172/40,173/40,174/40,175/40,176/40,骨感,177/40,178/40,179/40,
