1、,第三章 函数的应用,3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点,明目标知重点,填要点记疑点,探要点究所然,内容索引,01,02,03,当堂测查疑缺,04,明目标、知重点,1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在性判定定理.3.能结合图象求解零点问题.,填要点记疑点,1.函数的零点对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的 .2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0 函数yf(x)的图象 函数yf(x) .,f(x)0,零点,有实数根,与x轴有交点,有零点,3.函数零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 的一条曲
2、线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内 ，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根.,连续不断,f(a)f(b)0,有零点,f(c)0,探要点究所然,情境导学下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？,探究点一函数零点的定义,思考1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1; (3)方程x22x30与函数yx22x3.请列表表示
3、出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.,答,思考2从你所列的表中你能得出什么结论？答方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标.,思考3我们把使函数f(x)x22x3的值等于零的实数1,3叫做函数f(x)x22x3的零点.那么请你给函数yf(x)的零点下个定义.答对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.,思考4函数yf(x)的零点、f(x)0的根及yf(x)的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？答函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点方程f(x)0有实数根.,思考5请说出函数ylg x；ylg(x1); y2
4、x；y2x2的零点.答ylg x的零点是1；ylg(x1)的零点是0；y2x没有零点；y2x2的零点是1.,例1已知函数yax2bxc，若ac0，则函数f(x)的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.不确定解析因ac0，所以函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.,C,反思与感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.,跟踪训练1若函数f(x)axb(a0)有一个零点为2，那么函数g(x)bx2ax的零点是(),答
5、案A,探究点二函数零点存在性定理思考1观察二次函数f(x)x22x3的图象，发现这个二次函数在区间2,1上有零点1，而f(2)0，f(1)0，即f(2)f(1)0.二次函数在区间2,4上有零点3，而f(2)0，f(4)0，即f(2)f(4)0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？,答函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.,思考2如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是间断的，上述定理成立吗？答不一定成立，由下图可
6、知.,思考3反过来，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，函数yf(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)f(b)0是否一定成立？答不一定成立，由下图可知.,思考4 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？ 还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数yf(x)在区间a，b上单调.,小结函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)f(b)0.即零点存在性定理不可逆.,例2求函数f(x)ln x2x6的零点的个数.解用计算器或计
7、算机作出x，f(x)的对应值表和图象如下：,由上表和图象可知f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点.,反思与感悟本题不用计算列表、画图象也可得到结论：方法一寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)ln 22ln 2ln e20，所以f(2)f(3)0.方法二通过作出函数yln x，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图象交点的个数.,跟踪训练2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e
8、2.72)的一个根所在的区间是(),A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),解析令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710.由于f(1)f(2)0，m2或m0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，故选A.,A,1,2,3,4,4.函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A.(2，1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析f(x)exx2，f(0)e0210，f(0)f(1)0，f(x)在区间(0,1)上存在零点.另经验证，可知A、B、D均不满足题意，故选C.,C,呈重点、现规律,1.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.,4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.,
