1、,第三章 函数的应用,3.1 函数与方程3.1.2 用二分法求方程的近似解,明目标知重点,填要点记疑点,探要点究所然,内容索引,01,02,03,当堂测查疑缺,04,1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值.从而求得方程的近似解.,明目标、知重点,填要点记疑点,1.二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 .,f(a)f(b)0,一分为二,逐
2、步逼近零点,方程的近似解,2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点 ；(3)计算f(c)；若f(c)0，则 ；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0 )；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0 ).,f(a)f(b)0,c就是函数的零点,c,(a，c),(c，b),(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4).,探要点究所然,情境导学一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如
3、何求得方程的根？,探究点一二分法的概念,思考1上节课，我们已经知道f(x)ln x2x6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？ 答取区间(2,3)的中点2.5.计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)0.084.因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内.,思考2如何进一步的缩小零点所在的区间？答再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)0.512.因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来，零点所在的范围越来越小了.,思考3若给定精确度0.3，如何选取近似值？ 答当精确度为0.3时，由
4、于|2.752.5| 0.250.3，所以可以将x2.5作为函数f(x)ln x2x6的零点近似值，当然区间2.5,2.75内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值.,小结二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,探究点二二分法求函数零点近似值的步骤思考1对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？,答不能.因为不存在一个区间a，b，使f(a)f(b)0.,思考2通过对函数f(x)ln x2x6的零点
5、近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？答用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1.确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a，b)的中点c；3.计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)；,4.判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24.,例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x7的近似解.(精确度0.1)解原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7，用计算器或计算机
6、作出函数f(x)2x3x7的对应值表与图象如下：,观察图或表可知f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5).,再取区间(1,1.5)的中点x21.25，用计算器算得f(1.25)0.87.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5).,同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.437 5).由于|1.3751.437 5|0.062 50.1，所以，原方程的近似解可取为1.437 5.,反思与感悟用二分法求函数零点的近似值
7、关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.,跟踪训练1用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点.(精确度0.01)解经试算f(1)0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5).,如果继续下去，如下表：,因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50，2x02.5；再取2与2.5的中点2.25，f(2.25)0.437 50，,2.250x0(2.375
8、,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.437 5)，|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.,反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.,跟踪训练2借助计算器或计算机，用二分法求方程x3lg x在区间(2,3)内的近似解.(精确度0.1)解原方程即xlg x30，令f(x)xlg x3，用计算器可算得f(2)0.70，f(3)0.48，于是f(2)f(3)0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解.下面用二分法求方
9、程x3lg x在区间(2,3)内的近似解.取区间(2,3)的中点x12.5，用计算器可算得f(2.5)0.10.,因为f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2 2.75，用计算器可算得f(2.75)0.19.因为f(2.5)f(2.75)0，所以x0(2.5,2.75).同理可得x0(2.5,2.625)，x0(2.562 5,2.625).由于|2.6252.562 5|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为2.562 5.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.下面关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方
10、程的近似解时，可以精确到小数点后的 任一位C.二分法无规律可循D.只有在求函数零点时才用二分法,29,1,2,3,4,解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.答案B,30,1,2,3,4,2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(),1,2,3,4,解析由图象可知A中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点.答案A,1,2,3,4,3.设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0
11、，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定解析f(1.5)f(1.25)0，方程的根落在区间(1.25,1.5)内.,B,1,2,3,4,4.若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：,那么方程x3x22x20的一个近似根为_.(精确度0.1),1,2,3,4,解析因f(1.375)f(1.437 5)0，且由表知|1.437 51.375|0.062 50.1，所以方程x3x22x20的一个近似根为1.437 5.答案1.437 5(不唯一),呈重点、现规律,1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.,
