1、数学是思维的体操，问题是数学的心脏！ 四年级（上）数学思维训练 数学原来是一件非常轻松快乐的事情！你发现了吗？- 1 -第 4 讲 包含与排除容斥原理知识要点以前我们是不是遇到过这样问题：从左边数，小明排在第 8 个，从右边起小明排在第 15 个，这一排一共有多少个人？这道题是不是小明被重复计算啦，如果要使得计算的结果既不重复，又无遗漏，就需要把重复的计数排除出去，这样的计数方法就是容斥原理，也称之为重叠问题。解决这类问题，我们还可以借助韦恩图来分析数量关系。小明1 人8 人 15 人一般先把包含的所有数量都计算出来，再把重叠的部分排除出去，就可以计算出不重复、不遗漏的数量了：8+15-1=2
2、2（人）精典例题例 1:四（2）班参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有29 人，有 12 人两个小组都参加了，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？先画韦恩图分析数量关系，再利用包含与排除的方法来计算。四年级（上）数学思维训练数学会让你变成一个善于发现的孩子！- 2 -模仿练习学校文艺组的每位同学至少会演奏钢琴和手风琴中的一种乐器，已知会演奏钢琴的有 24 人，会演奏手风琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有8 人，那么文艺组一共有多少人？精典例题例 2: 某餐馆有 40 道招牌菜，牛牛吃过其中的 15 道，丁丁吃过其中的9 道，且有 4 道菜是两人都吃过的，那么有多少道
3、招牌菜两人都没有吃过？模仿练习在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 18 人，既采了樱桃又采了杏的人有 7 人，既没有采樱桃又没有采杏的有 6 人，只采了杏的有多少人？先算他们吃过的菜，再算没有吃过的。数学是思维的体操，问题是数学的心脏！ 四年级（上）数学思维训练 数学原来是一件非常轻松快乐的事情！你发现了吗？- 3 -精典例题例 3:在 1 到 100 这 100 个自然数中，5 和 6 的倍数一共有多少个？模仿练习在 1 到 100 这 100 个自然数中，不能被 5 和 8 整除的数一共有多少个？精典例题例 4: 50 名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左往右按1、2、3一次
4、报数，然后让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数同学向后转。现在还面向老师的同学有多少名？先弄清楚有多少同学转了，有多少个同学没转，再思考哪些同学转了两次，因为没转的和转了两次的同学都是面向老师的。先找 5 的倍数有多少个？6 的倍数有多少个？再利用包含与排除的方法解决。四年级（上）数学思维训练数学会让你变成一个善于发现的孩子！- 4 -模仿练习一根长 60 里面的木棍，每 5 厘米用红点标记，每 6 厘米用蓝点标记，延标记的地方把木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？精典例题例 5：光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个小组进行，参加围棋比赛的有 42 人，
5、参加中国象棋比赛的有 55 人，参加国际象棋比赛的有 33 人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有 18 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的人数有 10 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有 9 人，三种都参加了的有 5 人，问：参加棋类比赛的共有多少人？模仿练习三位经理投资了若干只股票，张经理买了 66 只，王经理买了 40 只，李经理买了 23 只，张经理和王经理都买了有 17 只，王经理和李经理都买了的有 13 只，李经理和张经理都买了的有 9 只，三人都买了的有 6 只，请问这三位经理一共买了多少只不同的股票？这是属于三个数量的容斥问题，先计算参加三类棋人数的总和，在把重复计算了两次
6、的人数减去，但要思考：其中重复计算了 3 次 5 人，有没有被减掉？减了几次？数学是思维的体操，问题是数学的心脏！ 四年级（上）数学思维训练 数学原来是一件非常轻松快乐的事情！你发现了吗？- 5 -家庭作业1.四（3）班有 45 人，参加数学兴趣小组的有 30 人，参加语文兴趣小组的有 22 人，并且每人至少参加了一个兴趣小组，那么两样都参加了的有几人？2. 对全班的同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人，两项都会的有 10 人，两项都不会的有 9 人，这个班一共有多少人？3.1 到 100 这些自然数中，4 和 5 的倍数一共有多少个？4. 36 个学生回答两个问题，答对
7、第一题的有 23 人，答对第二题的有25 人，两题都答对的有 14 人，两题都没有答对的有多少人?四年级（上）数学思维训练数学会让你变成一个善于发现的孩子！- 6 -5.47 名同学参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的有 14 人，数学得分 95 分以上的有 21 人，两门都没有在 95 分以上的有 22 人，求两门都在 95 分以上的有多少人。6.30 名同学面向老师站成一排，老师先让大家从左往右按 1、2、3一次报数，然后让报数是 2 的倍数的同学向后转，再让报数是 3 的倍数的同学向后转，现在还有多少名同学面向老师？7.四年级课外活动有体育、音乐和书法，参加的人数分别是 54 人、46人、36 人，其中参加体育和音乐两组有 7 人，参加音乐和书法两组的有 10人，参加体育和书法两组的有 10 人，三个组都参加了的有 2 人，五年级参加课外活动的一共有多少人？数学是思维的体操，问题是数学的心脏！ 四年级（上）数学思维训练 数学原来是一件非常轻松快乐的事情！你发现了吗？- 7 -
