1、1容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理（ 1） 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类或 B 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数。 例 1 一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析：依题意，被计数的事物有语
2、、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分” 称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为 “A 类或 B 类元素个数”的总和。 试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有 41 人，有电脑的有 34 人，二者都有的有 27 人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。） 容斥原理（ 2） 如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类或 B 类或 C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数 +C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 A 类又是 C 类
3、的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数21、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。他们中有32 人会拉小提琴，27 人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有 11 人。这个团共有多少个小演奏家？2、一个班有学生 42 人，参加体育队的有 30 人，参加文艺队的有 25 人，并且全班每人至少参加一个队。问：这个班两队都参加的有多少人？3、京华小学五年级学生采集标本。采集昆虫标本的有 25 人，采集植物标本的有 19 人，两种标本都采集的有 8 人。全班学生共有 40 人，没有采集标本的有多少人？4、有 100 位旅客，其中有
4、 10 人既不懂英语又不懂日语，有 75 人懂英语，83 人懂日语。既懂英语又懂日语的有多少人？5、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。其中会开车床的有 235 人，会开铣床的有 218 人，会开刨床的有 207 人。既会开车床又会开铣床的有 112人，既会开车床又会开刨床的有 71 人，既会开铣床又会开刨床的有 63 人，三种都会的有 19 人。这个工厂一共有多少人？6、外语学校有英语、法语和日语教师共 27 人。其中只能教英语的有 8 人，只能教日语的有 6 人，能教英语和日语的有 5 人，能教法语和日语的有 3 人，能教英语和法语的有 4 人，能教英语、法语和日语的只有 2 人。只能
5、教法语的教师有多少人？7、某校五年级有学生 54 人，每人至少爱好一种球。其中爱好乒乓球的有40 人，爱好足球的有 20 人，爱好排球的有 30 人，既爱好乒乓球又爱好排球的有 18 人，既爱好足球又爱好乒乓球的有 14 人，既爱好足球又爱好排球的有 12人。这三种球都爱好的有多少人？38、如图，在一个边长为 90 厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20 厘米和 45 厘米的正方形纸。问：桌面上没有被纸片盖住的面积是多少？ 9、如图，边长是 2 厘米、4 厘米、5 厘米的三个正方形叠放在桌面上，它们所覆盖的面积是多少？410、如图，在桌面上放置三个两两重叠，形状相同的圆形纸片，它们的面积
6、都是 24 平方厘米。三张纸片共同重叠的面积是 9 平方厘米，三张纸片盖住的总面积是 37 平方厘米。求三个阴影部分面积的和是多少？5第十七讲 周期问题1、小朋把节省下来的硬币先按四个一分，再按三个 2 分，后按两个 5 分这样的顺序往下排，（1）他排的第 111 个硬币是几分硬币？（ 2）这 111 个硬币共多少元？2、把自然数中的偶数：2、4、6、8、依次按照右图规律排成 5 列，最左边的一列叫第一列，则 2006 出现在第几列？ 3、2007 年元旦是星期一，那么，2008 年元旦是星期几？2009 年元旦是星期几？5、有一个 77 位数，它的各位数字都是 1，这个数除以 7，余数是多少
7、？7、如图，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（奥，数）第二组为（林，学），那么第 340 组是什么？ 68、如下图，每列上面的汉字和下面的字母组成一组，如第一组是（我，A），第二组是（们，B），那么，第 100 组是什么？ 9、将分母为 15 的所有最简假分数由小到大依次排列，问第 99 假分数的分子是几？10、有一排算式：1+1，2+3，3+5 ，4+7 ，1+9 ，2+11，3+13，4+15 ， 1+17，2+19，那么，_+_=2005。11、A2006.1234567891011121314，A 的小数点后第 2006 位是几？712、自然数的平方按从小到大排列成：1 4 9
8、 1 6 2 5 3 6 4 9 6 4 8 1 1 0 0 1 2 1 ，从左至右第 100 个数字是几？13、把 1 至 2006 这 2006 个自然数依次写下来，得一多位数： 12345678910111220052006，试求这一多位数除以 9 的余数。14、一列数，第一个是 1940，第二个是 2006，从第三个开始，每个数是它前两个数的平均值的整数部分，这列数的第 100 个数是多少？15、有一串数字 9286，从第 3 个数字起，每一个数字都是它前面 2 个数字的积的个位数字。问：第 100 个数字是几？前 100 个数字之和是多少？16、1，1，2，3，5，8，13，90 个
9、数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这 90 个数的和除以 5 的余数是多少？17、一串数 1、2、4、7、11、16、，其中第二个数比第一个数多 1，第三个数比第二个数多 2，第四个数比第三个数多 3，依此类推，那么这串数左起第 2003 个数除以 5 的余数是几？818、70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、55、144、，最右边一个数（第 70 个数）被 6 除余几？19、将既能被 5 整除又能被 7 整除的自然数自 35 起从小到大排成一行，共有 1991 个数。这
10、 1991 个数的和被 11 除的余数是多少？20、观察数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，这列数中第 2006个数的个位上数字是几？21、在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米染一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1 厘米的短木棍有多少根？22、有一个人在草坪上散步，从 A 点出发，面向正东向前走 3 米，然后向左转 120，再向前走 3 米，接着再向左转 120，仍向前走 3 米，不断重复进行，当这个人走过 2000 米后，他距出发点 A 的距离是多少米？9第十讲 行程问题（一）1、东西两地长 217.5 千米，
11、甲车以每小时 25 千米的速度从东地到西地；1.5 小时后，乙车从西地出发到东地，再过 3 小时两车还相距 15 千米。乙车每小时行多少千米？2、甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 6 千米，乙车每小时行 8 千米，两车在离中点 32 千米处相遇。求 A、B 两地间的距离是多少千米？3、甲、乙两辆旅游车同时从 A、B 两地出发，相向而行， 4 小时相遇。相遇后甲车继续行驶了 3 小时到达 B 地，乙车每小时行 24 千米。问：A、B 两地相距多少千米？4、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分跑 250 米，乙每分跑200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分甲
12、追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？5、两名运动员在湖的周围环形跑道上练习长跑。甲每分比乙多跑 50 米。如果两人同时同地同向出发，则经过 45 分甲追上乙。如果两人同时同地反向出发，则经过 5 分可以相遇。求甲乙两人的速度。6、甲、乙两人以每分 60 米的速度同时、同地、同向步行出发，走 15 分后，甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去 5 分时间，然后改骑自行车以每分 360 米的速度去追乙，骑车多少分才能追上乙？7、一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要 6 小时，逆流需要 8 小时，水流速度每小时为 2.5 千米。求轮船在静水中的速度是多少？8、某人步行的速
13、度为每秒 2 米，一列火车从后面开来，超过他用了 10 秒。已知火车长 90 米。求火车的速度？109、一列火车通过 440 米的桥需要 40 秒，以同样的速度穿过 310 米的隧道需要 30 秒。这列火车的速度和车身长各是多少？10、一列货车共 50 节，每节车身长 30 米，两节车间隔长 1.5 米，这列货车平均每分钟前进 1000 米，要穿过 1426.5 米山洞，需要多少分钟？11、一列火车长 640 米，从路旁的一棵大树旁通过，需 40 秒。如果以同样的速度通过一座长 800 米的大桥，需要多少秒？12、有两列火车，一列长 102 米，每秒行 20 米，一列长 120 米，每秒行 1
14、7米。两列火车同向而行，从第一列车追上第二列车到两车离开需要几秒？13、甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为每小时 60 千米和 48 千米。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 小时、7 小时、8 小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。14、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用 6 分、10 分、12 分追上骑车人。现知道快车每小时行24 千米，中车每小时行 20 千米。慢车每小时行多少千米？15、A、B 两地相距 21 千米，上午 8 时甲、乙分别从 A、B 两地出发，相向而行。甲到达 B 地后立即
15、返回，乙到达 A 地后立即返回，上午 11 时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的路程多 9 千米。甲每小时走多少千米？16、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后又立刻回头去追小明。再追上他的时候，离家恰是 8 千米。这时是几时几分？17、两辆汽车同时从 A、B 两城相向而行，在离 A 城 52 千米处相遇，到达对方城市后立即以原速返回，又在离 A 城 44 千米处相遇。两城相距多少千米？1118、甲、乙两地相距千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲地开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出千米；当汽车到达
16、乙地时，拖拉机距乙地还有千米。那么，汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？19、当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？20、两辆汽车同时从 A、B 两站相对开出，在 B 侧距中点 20 千米处两车相遇。继续以原速前进，到达对方出发站后又立即返回。两车再在距 A 站 160 千米处第二次相遇。求 A、B 两站距离？21、兄弟骑车旅游，弟弟先出发，速度是每分 200 米，5 分后，哥哥带一只狗出发，以每分 250 米的速度去追弟弟。而狗则以每分 300 米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后立即返
17、回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟后为止。这时狗跑了多少千米？12第十一讲 行程问题（二）1、如右图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向而行，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 有 80 米；在 D 点第二次相遇， D点离 B 点有 60 米，求这个圆的周长。2、在一圆形跑道上，小明从 A 点，小强从 B 点同时出发反向行走 6 分，小明与小强相遇，再过 4 分，小明到达 B 点，又再过 8 分，又与小强再次相遇。小明环形一周要多少分？3、A、B、C 三人在一个圆形池塘的周围散步。三人从同一地点同时出发，A 与 B 按顺时针方向行走，而 C 是
18、按逆时针方向行走。 A 每分钟走 80 米，B每分钟走 65 米。C 在出发后 20 分钟先遇到 A，再过 2 分钟时 C 又遇到了 B。求这个圆形池塘的周长是多少米？4、如图，AC 两地相距 2 千米，CB 两地相距 5 千米。甲、乙两人同时从 C地出发，甲向 B 地走，到达 B 地后立即返回；乙向 A 地走，到达 A 地后立即返回。如果甲速是乙速的 1.5 倍，那么在乙到达 D 地时，还未能与甲相遇，他们还相距 0.5 千米，这时甲距 C 地多少千米？ 135、自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走 20 级，女孩每分走 15 级，结果男孩用了 5
19、分到达楼上，女孩用了 6 分到达楼上。问：该扶梯露在外面的部分共有多少级？6、亮亮沿公共汽车路线行走，他注意到，每隔 10 分钟就有一辆公共汽车迎面向他开来，每隔 15 分钟就有一辆公共汽车由后面追上他。如果公共汽车和亮亮的速度都不变，车站发车间隔时间相同，那么车站每隔几分钟发出一辆公共汽车？7、一条大河上有 A、B 两个码头，A 在 B 的上游 50 千米处，客船、货船分别从 A、B 两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中漂浮，10 分钟后，此物品距离客船 5千米，客船在行驶 20 千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇，求水流的
20、速度？148、如右图，两只小爬虫甲和乙从 A 点出发，沿长方形 ABCD 的边，按箭头方向爬行，在离 C 点 32 厘米的 E 点，它们第一次相遇；在离 D 点 16 厘米的F 点第二次相遇；在离 A 点 16 厘米的 G 点第三次相遇。求长方形的边 AB 长多少厘米？AD 边长多少厘米？ 9、一个圆周长 70 厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发同向爬行，甲以每秒 4 厘米的速度不停地爬行，乙爬行 15 厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1 倍，在离开出发点 30 厘米处与甲相遇。问：爬虫乙原来的速度是多少？10、一个圆的周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行
21、。这两只蚂蚁每秒分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米。它们每爬行 1 秒，3秒，5 秒（连续的奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时已经爬行的时间是多少秒？11、一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地 300 千米以外的指挥部。每辆摩托车装满油最多能行驶 300 千米，途中无加油站。为保证顺利完成任务，队长想出一个巧妙的方法：用三辆摩托车执行此项任务，恰好有辆摩托车可以把文件送到指挥部，另外两辆安全返回驻地（三辆摩托车所带的油全部用完）。指挥部距小分队驻地多少千米？1512、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行， 6 小时后在 C 地相遇；如果甲速不变，乙车每小时多行
22、5 千米，则相遇点距 C 地 12 千米；如果乙速不变，甲车每小时多行 5 千米，则相遇点距 C 地 16 千米，甲车原来每小时行多少千米？13、唐老鸭与米老鼠进行 10000 米赛跑，米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟行 100 米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第 n 次指令，米老鼠就以原速度的 n10%倒退1 分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？14、三个人从 A 地到 B，两地相距 36 千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。
23、他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点 C 时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处 D 与第三个人相遇，两人同乘自行车前往 B；第二个人在 C 处下车后继续步行前往B 地。结果三个人同时到达 B 地。那么 C 距 A 处多少千米？ D 距 A 多少千米？1615、一辆奥迪轿车和一辆桑塔纳轿车分别从 A、B 两地出发，相向而行，奥迪车每分行 1400 米。如果两车同时出发，则恰好在途中的加油站相遇；如果桑塔纳轿车先出发了 1 分钟，则两车在距加油站 600 米处相遇；如果奥迪轿车先出发 1 分钟，则两车在距加油站多少米
24、的地方相遇？17第十八讲 尾数与平方数1、2 30 的尾数是几？2、2006 2006 的末位数字是几？3、78 87 与 8778 的和的尾数是几？4、人们用电子计算机找到的最大质数是 22160911，它的尾数是几？5、46305 乘一个自然数 A，积是一个完全平方数，则最小的 A 是多少？6、祖孙三人，孙子与爷爷的年龄之积是 1512，而爷爷，父亲，孙子三人年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是多少？7、若（123N）3 是一个完全平方数，则 N 是多少？8、777 777888888999999 的尾数是几？9、乘积 717273710 的个位数字是几？10、1 102 103 104 1
25、05 106 107 108 109 1010 10 的个位数字是几？11、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？12、已知一个自然数的平方的十位数字是 8，这个完全平方数的个位数字是几？1813、如果一个自然数能表示成两个自然数的平方差，则把这个自然数称之为“智慧数”。如 16=523 2，16 称为“智慧数”。请确认：在自然数列中，从 1 数起，第 2006 个智慧数是哪个数？14、两位数 AB 减去两位数 BA 的差为某自然数的平方，这样的两位数共有多少个？15、如果把 2006 连写 2006 次，就得到 N =
26、200620062006，那么，N被 11 除所得商的个位数字是几？16、由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是由偶数码组成的完全平方数，那么这个四位数是多少？17、设 ABCD 是四位数，已知 A、BCD、ABCD 都是完全平方数，符合条件的所有四位数有哪些？18、从 1986，1989，1992，1995，1998 这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是多少？19、一个两位数的立方是一个五位数，组成这个五位数的数字与原两位数的数字都不相同，求原来的两位数。20、一个小于 400 的三位数，它是一个完全平方数。它的前两位数字组成的两位数是一个完全平方数，它的个位数也是完全平方数。这样
27、的三位数有哪些？1921、如果一个两位数与它的反序数的和是一个完全平方数，则称它为“灵巧数”。试找出所有的“灵巧数”。22、甲、乙、丙、丁均买了奖券，他们中只有一个人中奖，而中奖号码的最后四位数字组成的四位数（不变顺序）恰是完全平方数，已知甲的奖券从右数第一个数字是 8，第四个数字是 1；乙的奖券从右数第一个数字是 5，第二个数字是 4；丙的奖券从右数第一个数字是 1，第三个数字是 4，第四个数字是3；丁的奖券从右数第一个数字是 0，第二个数字是 4，则中奖号码的后四位数字组成的四位数（不变顺序）是多少？23、两人共买 N 只皮球，每只皮球 N 元。付款时，甲先付 10 元，乙再付10 元，照
28、此轮流下去，当最后余下的所要付的钱不足十元时，轮到乙付。当所有的款全部付完时，乙再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？20第三讲 差倍、年龄问题1、一个数的小数点向左移动一位，比原数小 0.72，原数是多少？2、甲数减去 878，就等于乙数，如果甲数加上 1142，就等于乙数的 5 倍。甲、乙两数各是多少？3、把数字 5 写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上 400，它们的和是这个三位数的 55 倍，这个三位数是多少？4、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多 19 千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中苹果数反而比甲筐多 3 千克？5、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中
29、筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍。大、中、小三筐共有苹果多少千克？6、有两袋大米，第二袋比第一袋多 40 千克，如果从第二袋中取出 5 千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的 3 倍。原来两袋大米的重量各是多少千克？7、有甲、乙两桶油，若从甲桶倒入乙桶 15 千克，则两桶油重量相等；若从乙桶倒入甲桶48 千克，则甲桶油是乙桶油的 4 倍。甲桶原有油多少千克？8、甲在银行存款 4000 元，乙在银行存款 2000 元。两人从银行中取出同样多的钱后，甲的存款是乙存款的 5 倍。两人各取出多少元？9、两筐重量相等的苹果，甲筐卖出了 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐
30、余下的千克数是乙筐的 3 倍。两筐原来各有苹果多少千克？2110、甲数是乙数的 4 倍，如果甲数增加 20，乙数增加 70，则甲数是乙数的 2 倍。甲、乙两数各是多少？11、有甲、乙两个仓库，甲仓储存的大米等于乙仓的 4 倍。如果从甲仓运 600 袋到乙仓，则乙仓的大米等于甲仓的 4 倍。甲、乙两个仓库原来各有大米多少袋？12、甲、乙、丙三只筐，筐内装球数不等，三只甲筐装的球与四只乙筐装的球相等，两只乙筐装的球刚好等于一个丙，甲筐比丙筐少装 60 个，乙筐装球多少个？13、A、B、C 三条公路，B 公路的长度是 A 公路的 2 倍，C 公路比 B 公路的 3 倍还多 15千米，A 公路比 C
31、公路短 230 千米，三条公路各长多少千米？14、父亲的年龄是儿子的 5 倍，15 年后，父亲的年龄是儿子的 2 倍。父子年龄各是多少？15、姐姐年龄比妹妹年龄的 3 倍多 1 岁，但妹妹 5 年后的年龄比姐姐 3 年前的年龄大 1 岁。求姐妹年龄各是多少岁？16、父亲的年龄是 50 岁，女儿的年龄是 16 岁，几年后父亲的年龄正好是女儿的 3 倍？17、学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你像我这么大时，我已经 39 岁。”那么，这位老师今年多少岁？18、小红全家人的年龄加在一起，刚好是 90 岁。小红的爸爸比妈妈大 3 岁，小红比妹妹大5 岁。但是，8 年前，他们
32、全家人的年龄和刚好是 60 岁。想一想，小红家四人今年各是几岁？19、有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和，9 年后老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再 3 年后，则为乙、丙两学生年龄之和。求现在各人的年龄？2220、梁老师问陈老师有多少个子女。陈老师说：“现在我和妻子的年龄和是子女年龄和的6 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的 10 倍；6 年后，我们的年龄和是子女年龄和的 3倍。”陈老师有多少个子女？1. 今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？2. 有
33、老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9 年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再 3 年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。3. 全家 4 口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁。四年前他们全家的年龄和为 58 岁，而现在是 73 岁。问：现在各人的年龄是多少？234. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁。问：哥哥现在多少岁？5. 今年是 1996 年。父母的年龄和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。四年后，父的
34、年龄是弟的4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍。那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时是公元哪一年？6. 甲、乙、丙三人现在岁数的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，那么乙现在是多少岁？7. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的 6 倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的 5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的 4 倍。求：祖父今年是多少岁？24第一讲 一般复合应用题1、王伯伯家买了 4 筐苹果，李叔叔家买了 5 筐苹果，和小芳家三家平均分。小芳的爸爸拿出 54 元钱给王伯伯和李叔叔。他们两人各应收回多少钱？2、山泉农场要
35、完成 1500 公亩的播种任务，原计划用 4 部播种机，每天每部播种 25 公亩。为了加快速度，增加了 2 部同样的播种机，这样，能够比原计划提前几天完成任务？3、某厂要加工一批机器零件，原打算 30 人每天工作 9 小时，40 天完成。后来因为工作需要，抽走了 5 人，还要提前 4 天完成任务。他们每天要工作几小时？4、金山小学乘 7 辆同样的汽车外出参观，前 5 辆车每辆都有 14 人没有座位，后 2 辆车一共空一个座位。如果再增加 2 辆汽车，却要空出 31 个座位。这次外出参观的师生共有多少人？5、张老师买了 2 千克苹果和 3 千克梨共用 2.5 元。王老师买苹果的千克数是张老师的
36、2 倍，买梨的千克数是张老师的 3 倍，比张老师多用 3.4 元。1 千克苹果和 1 千克梨的价钱各是多少元？6、有甲、乙、丙、丁四个数，这四个数的和是 162。如果甲数加上 2，乙数减去 2，丙数乘以 2，丁数除以 2，则四个数相等。求甲、乙、丙、丁四个数原来各是多少？7、100 名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选（得票数并列第一选举无效）。唱票过程中累计，前 61 张选票中，甲得 35 票，乙得 10 票，丙得 16 票。问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票才能保证一定当选？258、有一筐苹果和一筐梨，如果每天吃掉一个苹果两个梨，梨
37、吃完时还剩三个苹果；如果每天吃掉两个苹果三个梨，苹果吃完时还剩五个梨。你知道苹果有多少个？梨有多少个？9、甲、乙两个杯子里各有 512 克水，小明第一次将甲杯中的水的一半倒入乙杯中，第二次将乙杯中水的三分之一倒入甲杯中，第三次将甲杯中水的四分之一倒入乙杯中如此进行下去，当他倒完第 15 次后，这时甲杯中有多少克水？10、小花狗非常顽皮，看见楼梯就上。当它上到楼梯的正中一级台阶时打一个滚，滚下 2 级台阶；它又上 5 级台阶，高兴地一跳又跳下 2 级台阶；它又往上爬 4 级台阶，这时离最高一层还有 3 级台阶。你算一算，这楼梯一共有几级台阶？11、有一堆棋子，把它 4 等分，每堆有棋子 A 枚，
38、还剩 1 枚；把 A 枚棋子再 4 等分，每堆有棋子 B 枚，还剩 1 枚；把 B 枚棋子再 4 等分，每堆有棋子 C枚，还剩 1 枚。原来这堆棋子最少有多少枚？12、自行车的前轮轮胎行驶 5000 千米后报废，后轮轮胎行驶 3000 千米后报废。现有一对轮胎，可在适当的时候交换前后位置。问一辆自行车同时安装上这对轮胎，最多可以行驶多少千米？13、足球是用黑、白两种颜色的皮缝制而成的。黑皮是正五边形，白皮是正六边形，其中黑皮有 12 块，白皮有几块？14、莎莎的储蓄罐里有 26 枚硬币，壹分、贰分和伍分硬币都有。她先把其中的贰分硬币全部等值地换成伍分硬币，然后又把壹分硬币也全部等值地换成26伍
39、分硬币，这样硬币总数变为 11 枚。问：莎莎的储蓄罐里原有伍分、贰分和壹分硬币各多少枚？15、李阿姨到邻居家当钟点工，星期一到星期五每天工作 2 小时，每天工资 10 元；星期六工作 1 小时，工资 5 元；星期天休息，没有工资。她从 7 月下旬的某一天开始工作，24 天后就辞去了这份工作（辞职这天她没有为邻居家干活），邻居家按事先的约定付给她工资 190 元。已知 7 月 1 日是星期天，那么李阿姨辞去工作的那天是 8 月几号？16、玛丽、麦克、海伦结伴乘飞机去旅行，三人各自带了若干行李，这些行李一共重 100 千克，需要随飞机托运。按照规定，每位旅客托运的行李在规定重量以下，享受免费搬运;
40、超过规定重量以外的部分，按所超出的重量另收搬运费。玛丽、麦克、海伦三人所带的行李都超过了规定免费的重量，这样，他们分别应付托运费 22 元、14 元、12 元。如果玛丽的全部行李分给麦克和海伦携带，那么麦克、海伦分别应付托运费 38 元、34 元。问：（ 1）按规定每位旅客可享受免费托运的行李重多少千克？（2）超重的行李每千克应付托运费多少元？17、某城市收取电费的标准是：若每月用电量不超过 50 千瓦时，则每千瓦时收电费 5 角；若每月用电量超过 50 千瓦时，则超出部分按每千瓦时 8 角收费。276 月份，张家比李家多交电费 3 元 3 角，这个月张家、李家各用了多少千瓦时电？（用电量以整
41、数为单位）28第二讲 和差、和倍问题1、某校六年级一班有学生 49 人，其中男生比女生多 5 人，这个班男、女生各多少人？2、把 325 分成两个数，使两数的和是两数差的 5 倍，两数各是多少？3、少先队员种柳树和杨树共 148 棵，柳树的棵数比杨树棵数的 2 倍多 4 棵。求两种树各种了多少棵？4、甲、乙两数的和是 32，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的和是 122。求甲乙两数各是多少？5、甲、乙两打字员合打一份稿件，按分工，平均每人每小时打 14 页，3 小时即可打完。当两人打完稿件时，乙发现甲比自己多打了 12 页。甲、乙两打字员打这份稿件时各打字多少页？6、甲站有汽车 192 辆，乙站
42、有汽车 48 辆。每天从甲站开往乙站的汽车是21 辆，从乙站开往甲站的是 24 辆。经过几天后，甲站的汽车辆数是乙站的 7倍？7、有甲、乙、丙三袋化肥。甲、乙两袋共重 32 千克，乙、丙两袋共重 30千克，甲、丙两袋共重 22 千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？8、六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人，不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人，四个班的总人数是多少人？9、甲、乙两数的和是 15.2，如果甲数减少 3.1，乙数增加 2.1，那么这时甲数还比乙数的 2 倍多 1。甲、乙两数原来各是多少？2910、两个数相除，商
43、 3 余 10，被除数、除数、商及余数的和是 143，求被除数是多少？11、甲、乙、丙三数的和是 100，甲数除以乙数，或丙、乙两数的和除以甲数，结果都是商 5 余 1，问：乙数是多少？12、四年级有学生 76 人，其中 13 名女生与男生的一半参加数学竞赛。剩下的男女生人数相等。这个年级的男生比女生多多少人？13、师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6 小时，师傅做了 8 小时，一共做了 312 个零件。徒弟 5 小时的工作量等于师傅 2 小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？14、有两根绳子，长的是短的 2 倍，现在把每根绳子都剪掉 6 分米，那么长的一根就是短的一根 3 倍。问：这两根绳子
44、原来的长各是多少分米？15、果园里苹果树的棵数是桃树棵数的 3 倍，管理人员每天能给 25 棵苹果树和 15 棵桃树喷撒农药。几天后，当给桃树喷完农药时，苹果树还有 140 棵没有喷农药。果园里两种树共有多少棵？16、某商店库存花布是白布的 2 倍，如果每天卖 30 米白布和 40 米花布，几天后，白布完全卖完，而花布还剩 120 米。原来库存花布多少米？17、甲、乙两同学绕一周长 400 米的跑道行走，他们同时从同一起点反向行走，经过 2.5 分钟相遇；如果他们同时从同一起点同向行走，经过 12.5 分钟甲能追上乙。甲、乙两人每分钟各走几米？3018、如下图，有两个一样大小的长方形，拼合成两
45、种大长方形。大长方形（A）的周长是 240 厘米，大长方形（B）的周长是 258 厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？19、李叔叔要在下午 3 点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在 12 点 10 分就停了。他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有 10 分钟。夜里 11 点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才 9 点整。假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？20、一笔奖金分一、二、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2 倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的 2 倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖奖金是 308 元。如果评一个一等奖、 2 个二等奖和 3 个三等奖，那么一等奖的奖金多少元？21、甲在南北的路上，由南向北行进，乙在东西的路上，由西向东行进。甲出发的地点在两条路交叉南 1120 米，乙在交叉点出发。两人同时开始行进，4 分后，甲、乙两人所在位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南）；再经过52 分后，两人所在位置又距交叉点等远（这时甲已在交叉点北）。甲、乙二人每分各行多少米？
