1、小波变换及稀疏表示初步梅树立2015-5-5 1 三维空间属于线性空间 大多数的信号如图像等，无法在线性空间描述 线性向量空间和泛函空间 典型的泛函空间：距离空间， Banah空间，内积空间， Hilbert空间。 构成线性空间的元素是向量（ N维），构成泛函空间的基本元素是函数（基函数）。因此，泛函简称为 “ 函数的函数 ”2015-5-5 2概述 -从空间解析几何谈起2015-5-5 3基函数和三角板如何用数学公式表达这种基函数逼近？2015-5-5 4基函数如何用数学公式表达这种基函数逼近？如何提高逼近精度？2015-5-5 5基函数 V0: 在整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空
2、间，可表示为以下形式：2015-5-5 6基函数空间 V1: 在半整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2015-5-5 7基函数空间 V2: 在 1/4整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2015-5-5 8基函数空间V0V2V12015-5-5 9 Vj: 在 1/2j整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2015-5-5 10基函数空间思考：将一个函数分别表达在 V0空间和 V1空间，这两种逼近表达之间的误差是多少？换句话说，我们能否找到误差补空间 W0，满足 :2015-5-5 11RECALL2015-5
3、-5 12函数 f(x)=a-(x-b)2在 V0空间的映射（在 V0空间被逼近）若 a=b=1,则 h=2/32015-5-5 13函数 f(x)=a-(x-b)2在 V1空间的映射（在 V1空间被逼近）若 a=b=1,则 h1=5/12, h2=11/122015-5-5 14V0的补空间？2015-5-5 152015-5-5 162015-5-5 172015-5-5 18TranslatingStretching2015-5-5 19f(x)=a-(x-b)2在 V0空间内的逼近表达式（红色直线）：在 V1空间内的逼近表达式（绿蓝色直线）：在补空间 W1空间内的逼近表达式：2015-
4、5-5 20.因此，有进一步可表示为2015-5-5 21Haar小波通过平移和伸缩可以得到 Haar小波族2015-5-5 22平移2015-5-5 23伸缩2015-5-5 24小波的一般表达式Haar小波的正交特性小波的正交特性2015-5-5 25多尺度分析Only 0 function in all spaces如果某函数在所有空间中，必然在任意区间上是常数，而且平方可积，因此只能是0。所谓平方可积，即：2015-5-5 26多尺度分析可以逼近所有的平方可积函数 f (x)以上尽管涉及到了内积运算，但实质属于插值。即以上讨论内容均在巴拿赫空间进行。 完备的线性赋范空间称为 Banach空间由于没有定义内积概念，只能用线性泛函代替内积。如插值算子， Laplace算子（微分算子）等。（算子是泛函的一种）。 坐标就是线性泛函 。 完备的内积空间称为 Hilbert空间 。数值逼近理论在 Hilbert空间定义。Banach空间和 Hilbert空间 设 X是 n维实向量空间，对其中向量内积举例 定义内积 正交的定义 : (x,y)=0利用内积定义正交任何 n维空间都存在正交基正交推论：Hilbert空间中的最佳逼近
