1、第八章 小波分析理论及应用16第八章 小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。1822 年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础 1。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析 2。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是 ，定义如式(8.1-1)、 (8.1-2)
2、2， (8.1-1)2,0Lxfkikxecxf其中 (8.1-2)dfikx201然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明 3：从任一个平方可和的函数 出发，为了得到一个连续函数 ，只需或者增)(xf )(xg大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)(8.1-3)dxefFj(8.1-4)xfj21通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为
3、冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到 ，必须有关于 f(x)的过去和未来的所有知识，F而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是 的任意有限区域的信息F都不足以确定任意小区域的 f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都
4、拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射第八章 小波分析理论及应用17信号的瞬时与持续时间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论 3。 ”为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念：定义 8.1-1 若 选择得使 W 与它的傅里叶变换 满足：RL2WRLRLt22,那么使用 W 作为窗函数，在式 (8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换
5、”(STFT)：(8.1-5)dtbtfefgjb 当窗函数选择为高斯(Gaussian) 函数时，则为 Gabor 变换 2。STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。小波分析方法的出现可以追溯到 1910 年 Haar 提出 Haar 规范正交基，以及 19
6、38年 Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的 L-P 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是 1984 年法国地球物理学家 Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学方面所做的探索主要是 R. Coifman 和 G. Weiss 创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了 Stein 和 Weiss 的空间 的无条件基。直到 1986 年，法国1H数学家 Meyer 成功地构造出了具
7、有一定衰减性的光滑函数 ，它的二进伸缩与平移构成 的规范正交基。此前，人们普遍认为这是Zkjttjjkj ,:2/,RL2不可能的，如 Daubechies,Grossman 和 Meyer 都退而研究函数系 构02/0kbtajj成 的框架的条件去了。RL2Lemarie 和 Battle 继 Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987 年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的 Mallat 快速小波分解和重构算法。1988 年 Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman, Meyer 等
8、人在 1989 年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在 1990 年构造出来。1992 年 A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视 4,5。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤 6，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小第八章 小波分析理论及应用18波被认为是第二代小波 5。小波
9、理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。8.2 小波变换及其基本性质8.2.1 连续小波变换， 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：RLtf2tf(8.2-1)0,2/1 adtbtfabWTf 或用内积形式：(8.2-2)baff,式中 abttba2/1,要使逆变换存在， 要满足允许性条件：t(8.2-3)dC2式中 是 的傅里叶变换。t这时，逆变换为(8.2-4)2,1,adbWTttf fba这个常数限制了能作为“基小波（或母小波） ”的属于 的函数 的类，尤其是C RL若还要求 是
10、一个窗函数，那么 还必须属于 ，即1dt故 是 R 中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得 在原点必定为零，即 (8.2-5)00t从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。连续小波变换具有如下性质：性质 1（线性）：设 ，则thtgtfbaWTbaWThgf ,第八章 小波分析理论及应用19性质 2（平移不变性）：若 ，则 。平移不baWTtff,baWTtff,变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。性质 3（伸缩共变性）：若 ，则 ，其中batff,cbactff,1c0。性质 4（冗余性
11、）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数 存在许多可能的选tba,择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。8.2.2 连续小波变换的离散化由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取，这时Zkjkbj ,;21, kttt jjkbaj 2/2,1, 常简写为： 。tkj,变换形式为： kjjf fWT,2,1为了能重构信号 ，要求 是 的 Riesz 基。tZkj,RL2定义 8.
12、2-1 一个函数 称为一个 R 函数，如果 在下述意义上是一个L2 Zkj,Risez 基： 的线性张成在 中是稠密的，并且存在正常数 A 与 B，Zkj,2，使BA02,2,2, lkjjkkjlkj cBccA对所有二重双无限平方可和序列 成立，即对于 的kj, 2,2,jkjlkj c第八章 小波分析理论及应用20成立。kjc,假定 是一个 R 函数，那么存在 的一个唯一的 Riesz 基 ，它在意义RL2 Zkj,Zmlkjmkljlkj,上与 对偶。这时，每个 有如式(8.2-6)的唯一级数表示：kj, tf2(8.2-6)jkkjjtftf ,特别地，若 构成 的规范正交基时，有Z
13、kj,RL2 kjkj,重构公式为：(8.2-7)tftfj kjkj,8.3 多分辨分析与 Mallat 算法8.3.1 多分辨分析Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的 Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当 7。定义 8.3-1 空间 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 ，使其具有RL2 ZjV以下性质：（1） 单调性（包容性） 21012VV（2） 逼近性： 0,jfjfRLclose（3） 伸缩性：12jjVtt（4） 平移不变性： ZkktVt jjj ,（5）R
14、iesz 基存在性：存在 ，使得 构成 的 Riesz 基。0kjt2jV在定义 8.3-1 中， 对应于 分辨率，在有些文献中 2,8， 对应于 分辨率，这jj2jj2第八章 小波分析理论及应用21时，性质（1） 、 （3）中子空间的下标要做相应的变化。定理 8.3-1 令 是 空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数ZjVRL2使得 (8.3-1)RLt2 Zktjjkj ,/,必定是 内的一个标准正交基，其中 称为尺度函数。jV式(8.3-1)中的系数 是为了使 的 范数为 1。引入尺度函数的目的是为了构2/jkj,2L造正交小波基，图 8.3-1(a)为一指数衰减、连续可微分的尺度函
15、数，图(b)是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。(a)尺度函数的图形 (b)尺度函数的傅里叶变换图 8.3-1 DB9 尺度函数若 生成一个多分辨分析，那么 也属于 ，并且因为 是 的t0V1Zk:,11V一个 Riesz 基，所以存在唯一的 序列 ，它描述尺度函数 的两尺度关系：2l)(kh(8.3-2)kktt2由性质（1）可知 ，所以ZjVj,1(8.3-3)1jjjWV反复应用式(8.3-3)，得(8.3-4)jZjRL2同样，象 生成 一样，存在一个函数 生成闭子空间 ，且有与式(8.3-2) 类似t0Vt00 5 0124n 0 0 w 第八章 小波分析理论及应用
16、22的双尺度方程(8.3-5)kktgt2式(8.3-5)称为小波函数双尺度方程。由式(8.3-2) 、(8.3-5) 可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数 的设计，若令 ，)(,kghkjkkkj egGehH2,2则把尺度函数和小波函数的设计可以归结为滤波器 的设计。构造正交小波,时滤波器 与 必须满足以下三个条件：HG(8.3-6)122H(8.3-7)G(8.3-8)0*联合求解式(8.3-7)和(8.3-8)可得(8.3-9)*ej由式(8.3-9)立刻可得(8.3-10)Zkhkgk,1所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器 。H8.3.2 正交小波变换式(2.2-7)式说明由
17、一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢？若存在是什么样的呢？这样的小波母函数是存在的，节 8.3.1 的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面先给出几个具有解析表达式的例子 9。Haar 小波母函数： othertth,012,Shannon 小波母函数：第八章 小波分析理论及应用2321sinsintttShannon 小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的 Haar 小波母函数要优越，可是 Haar 系函数的支集是紧的，Shannon 系的函数不仅不是紧支的，且当时趋于零的速度仅为 ，故当用 Shannon 系对函
18、数进行分解时，分解系数t t1不能很好地反映信号的局部特征。Haar 小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方法，这就构成了由 B 样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B样条函数构造小波的方法 2。下面式(8.3-11) 给出一个用 B 样条构造的正交小波母函数的例子，是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里叶反变换获得，不过实际中只能通过数值运算获得其时域的函数图形。(8.3-11) 4sin8si34sin214sin16 22 ieDaubechies 构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基，其对应的滤波器是有限长的 10。
19、不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且，除 Haar 基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对称或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。下面是 Daubechies 小波滤波器的一个例子 D4：(-0.129409522551,-0.224143868042,0.836516303738, -0.482962913145)。更多的例子请参见附录。8.3.3 双正交小波变换在图像处理中经常希望所用滤波器具有线性相位，Cohen、Daubechies 等人放弃了小波、尺度函数的正交性，给出了构造具有对称性的双正交基的方法，这时对应的滤波器具有线性相
20、位 11。取代小波函数、尺度函数的正交性的是所谓的双正交条件：(8.3-12)nknjkj ,(8.3-13)mmj,此时相应的多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种：第八章 小波分析理论及应用24(8.3-14) 21012VV在双正交的条件下，子空间 与 不是正交补空间，但是若令jjW则有以下正交补的关系：ZkjcloseWj ,:,(8.3-15)jjj,相应的双尺度方程为： kthtktht NkNk 2,2120120 (8.3-16) 120120,kk tgttgt 依据式(8.3-15)得(8.3-17)12,121NkNhkgk 所以，在设计双正交小波滤波器时，实际上只要设计两个
21、尺度滤波器。有关双正交小波滤波器的例子请参见附录。8.3.4 小波包变换短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等 Q 滤波器组，语音、图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。当对某类信号，等宽和等 Q 滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合的滤波器，这就引出了小波包的概念。Coifman 及 Wickerhauser 在多分辨分析的基础上提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的
22、聚焦。小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是：令(8.3-18)ZjWUVjj,10定义子空间 是函数 的闭包空间，而 是函数 的闭包空间，并令njUtwn nj2twn2满足如下双尺度方程：nw(8.3-19)kthtnk2第八章 小波分析理论及应用25(8.3-20)knn ktwgtw212式中 即两系数也具有正交关系。其等价表示是：khkg1(8.3-21) ZjUnjjnj ,121定义 8.3-2（小波包）：由式(8.3-19) 、(8.3-20) 构造的序列 称为由基函数nw确定的小波包。tw0空间分解的子空间列可以写成 ， 。若jWmjlU21 ,2
23、1;,;12,0jlln 是一个倍频程细划分的参数，即令 ，则有小波包的简略记号nl，其中 。与小波 相比较可知，小kttjnjkj 2/,twtlmll2/tkj,波包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数 n，正是由于这个频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n 表示 的tn零交叉个数，也就是其波形的振荡次数。 8.3.5 一维 Mallat 算法Mallat 在著名的用于图像分解的金字塔算法(Pyramidal algorithm)的启发下，结合多分辨分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为 Mallat 算法。设 ，并假定已得到 在
24、 分辨率下的粗糙象 ， 构成RLtf2tfj2jjVfAZj的多分辨分析，从而有 ，即2 1jjjWV(8.3-22)fDfAfjjj式中 ， ，kkjj tCfA,kkjj tfD,于是(8.3-23) kkjjkjkjkj tDtCt ,1,1, 由尺度函数的双尺度方程可得 kkjmj tht,12第八章 小波分析理论及应用26利用尺度函数的正交性，有(8.3-24)mkhjmj 2,1同理由小波函函数的双尺度方程可得(8.3-25)gkjmj,1由式(8.3-23)、(8.3-24)和(8.3-25) 立即可得：(8.3-26)kjmj hC2*,1(8.3-27)kjj mgD*,1(
25、8.3-28)mmmjjkj DkChC,1,1, 22引入无穷矩阵 ， ，其中kH;, kG;,则式(8.3-26)、(8.3-27)和(8.3-28) 可分别表示为：gGkhHmkm22*,*,(8.3-29)JjCDHjj ,101和 (8.3-30),* Cjjj其中 分别是 H 和 G 的共轭转置矩阵。*,式(8.3-29)为 Mallat 一维分解算法，式(8.3-30)为 Mallat 一维重构算法，如图 8.3-2所示：H H H0C1C2C3CG G G1D2D3D(a)分解算法*H*H0C12C3第八章 小波分析理论及应用27*G*G1D23D(b)重构算法图 8.3-2
26、Mallat 小波分解和重构算法示意图利用 Mallat 分解与重构算法进行信号处理时，不必知道具体的小波函数是什么样的，此外，在对数字信号进行处理时，通常假定相应的连续函数属于 ，但即使如此，0V该函数在 空间的投影的系数与由采样得到的离散序列一般不一样，但实际上都是直0V接把由采样得到的信号作为最高分辨率的信号来处理，这时更多的是把小波变换当作滤波器组来看待。在实际应用 Mallat 算法时，由于实际信号都是有限长的，存在如何处理边界的问题。比较常用的方法是周期扩展和反射扩展。主要目的是要降低边界不连续性所产生的在边界上变换系数衰减慢的问题。8.3.6 二维 Mallat 算法在进行图像处
27、理时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，下面的定理给出了构造二维可分离正交小波基的方法。定理 8.3-112 令 是 的可分离多分辨分析，并令 是相应ZjV22RLyx,的二维尺度函数， 是与尺度函数对应的一维标准正交小波。若定义三个“二维小x波”(8.3-31)yxy,321则(8.3-32)2321 , Znmyxjjj jjj分别是 内的标准正交基。2RL设 为待分析的图像信号，其二维逼近图像为2,jVyxf(8.3-33)fDfffAf jjjjj 31211第八章 小波分析理论及应用28式中(8.3-34)3,21,111 inmDfCAmnjijij jjj 利用尺
28、度函数和小波函数的正交性，由式(8.3-32)、(8.3-33)和(8.3-34) 立即得(8.3-35) kl jj lkCnlhC,2,1以及(8.3-36)kl jj jjkl jj lkCnlgmDhlkl,2,3121引入矩阵算子，令 和 分别代表用尺度滤波器系数对阵列 的行和列作用rHc 2,Zlk的算子， 和 分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子，二维 Mallat 分解算rGc法为(8.3-37)JjCGDHjcrjjcrj ,10,3121 二维 Mallat 重构算法为：(8.3-38)31*21*11* jcrjcrjcrjcrj DGC图 8.3-3 示出了二维图
29、像的分解和重构算法：对行滤波 对列滤波G 2 1 fAj1G 2 1H 2 1 fDj1第八章 小波分析理论及应用29fAjG 2 1 fDj21H 2 1H 2 1 fj31(a) 分解算法示意图1 2 GfAj11 2 G1 2 HfDj1fAj1 2 Gfj211 2 H1 2 HfDj31(b) 重构算法示意图图例 2 1 下采样：对列滤波时，两列去一列，对行滤波时，两行去一行1 2 上采样：对列滤波时，两列中加 0，对行滤波时，两行中加 0图 8.3-3 二维 Mallat 小波分解和重构算法示意图对图 2.2-3 所示的二维小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分别由对
30、行进行一维小波变换，然后再对按行变换后的数据按列进行一维小波变换来完成。与一维的情形类似，在实际应用中，由于图像信号总是有限区域的，也存在如何处理边界的问题。典型的处理方法是周期扩展和反射扩展。在用小波变换进行图像压缩时，由于边界的不连续性，会使得在边界处的小波变换系数的衰减变慢，从而影响图像的压缩比，因而在图像压缩应用中，若使用的是具有对称性质的双正交小波滤波器，一般对边界采用反射扩展的方式，使边界保持连续，以提高压缩性能。8.4 利用提升方案(Lifting Scheme) 构造小波8.4.1 提升方案的基本原理小波函数 通常定义为一个属于 空间的母小波的二进伸缩(Dilates)和平移t
31、kj,RL2第八章 小波分析理论及应用30(Translate)：(8.4-1)kttjjkj 2/,这样的小波称为第一代小波。然而，在更一般的情况下，小波并不必须是彼此的伸缩与平移，但仍然具有第一代小波的特点，这样的小波称为第二代小波，利用提升方案可以构造它们。第一代小波具有如下性质：P1：是 空间的 Riesz 基，还是 Lebesgue、Lipschitz、Sobolev 和 Besov 空间的RL2无条件基。P2：小波及其对偶在空间和频域是局域化的，有些小波还是紧支的。P3：小波分析可纳入多分辨分析的框架，这导致了快速小波变换算法。在研究中常有如下需要：G1：第一代小波提供了定义在 上
32、函数的基，但在象数据分割、在一般定义域上nR的微分和积分方程的求解，需要定义在任意的、可能不光滑的域上的小波。G2：第一代小波典型地只提供具有不变测度的空间的基，而微分方程的对角化、在曲线或表面上的分析等需要可适应加权测度的基。G3：第一代小波隐含对数据进行规则采样，而实际问题经常要处理不规则采样的数据。具有性质 P1-P3 而又满足 G1-G3 性质的第一代小波的推广称为第二代小波。这儿的关键问题是平移与伸缩并不是属性 P1-P3 所必须的，放弃平移和伸缩，隐含着傅里叶变换不能再用作构造工具。下面介绍利用提升方案构造第二代小波的方法。考虑信号 ，把 X 分成二个不相交的集合：偶下标采样Zkk
33、RxX|和奇下标采样 ，通常情况下这两个集合是紧密相关的，因Zkex2 Zkox12而从一个集合能很好地建立另一个集合的预测 P(8.4-2)oexd知道了 d 和奇采样值，可立即恢复信号(8.4-3)oe若 P 性能好，则 d 将是一个稀疏集，换言之，我们期望 d 的一阶熵小于 的。ox令 Zkxxkk ,1202,0取 (8.4-4),1利用相邻两偶采样对奇采样进行预测，记下差值(8.4-5)1,112,0,1 kkk若信号是相关的，则大多数小波系数 将很小。在理论上，我们可以继续通过对k,第八章 小波分析理论及应用31施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引入另一个条件，即Z
34、k,1希望 系数的平均值在每一次分解时保持一致，或者说使 ，此前j, kk,0,12所进行的下采样很显然不具有这种特点，我们可通过借助于 对 进行提升来实,现这点：(8.4-6)kkkk ,1,1,1,4现在，每一级小波变换由两步构成：首先计算小波系数，其次提升下采样系数。逆变换可立即得到：只需把式(8.4-6)中的加号换成减号，再把式(8.4-5)的等式中的项作一下移动即可。整个计算过程如图 8.4-1 所示： 12,kjkj2,kj,12,kj(a) 小波系数的几何含义 kj2,12,kj2,kj-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 kj2, kj,12,kj1/4 1/4 1/4 1/
35、4 kj,1kj,1kj,1(b) 分解过程图 8.4-1 提升方案示意图从图 8.4-1 中可以看出，在进行小波变换时，可进行同址运算，即不需要辅助存储器，这对硬件实现十分有利。下面的定理给出提升方案的一般方法。第八章 小波分析理论及应用32定理 8.4-1 给定双正交滤波器算子的初始集合 ，那么可通过如下oldjljoldjlj GH,方法获得一个新的双正交滤波器算子集 jj,oldjj oldjljj ljoldjjljjGSH*式中 是一个从 到 的算子。jSjMl2Kl2证明：利用矩阵形式表示提升方案 oldjjGHS10oldjjS*因为 1010有 11* SGHSGHoldjl
36、joldjjjj根据双正交滤波器的定义有 10*oldjljoldj所以 (8.4-7) 010* SSGHjjj第八章 小波分析理论及应用33另外 (8.4-8)101*oldjljoldj oldjoldjlj oldjoldjljjjj GHSGH根据定义，满足式(8.4-7)(8.4-8) 两式的即为双正交滤波器。 证毕。8.4.2 把小波变换分解成基本的提升步骤 6已经证明所有 FIR 小波滤波器都有能分解成基本的提升步骤 6。用矩阵表示时，一个提升步骤对应一个单元(elementary)矩阵。分解的基本理论依据是矩阵代数，根据矩阵代数，任何具有多项式元素项且行列式为 1 的矩阵都可
37、以分解成一系列的单元矩阵。首先把求自然数的最大公约数的 Euclidean 算法推广到求两个多项式的最大公因子。两个多项式的公因子取决于因子 ,而且与自然数不同的是，在多项式的情形下，解并pz不是唯一的。定理 8.4-2 （多项式的 Euclidean 算法） 。设有两个多项式 和 ，而且za0b。令 ， ，从 i=0 开始循环执行以下步骤zbaza0zb0zaiii%1那么 ，如果 n 是使得 的最小数。zbazn,gcd0bn定理中 定义为：若 ，则 。kebkzakbez用矩阵形式表示为 zbaqniin10相应地 01zazzbannii第八章 小波分析理论及应用34式中 。这样， 能
38、整除 、 ，如果 是一个单项式的话，那么1zbnzanzabzan是互素的。a,为了把 FIR 小波滤波器 (h, g)分解成基本的提升步骤，我们首先注意到 必zhoe,须是互素的 78，而且，利用公约数的不唯一性，总是可以使公约数为常量 K，即niioe Kzqzh10对于给定的滤波器 h，通过如下操作，总可以找到一个互补滤波器 ，0g即令(8.4-9)KzqzghzPniioee /10100在式(8.4-9)中(8.4-10) 101101 zqzqzq iii当 i 为奇时使用式(8.4-10) 的第一个等式，当 i 为偶时使用第二个等式，有(8.4-11)KzqzPinii /101
39、022/10通过一个提升步骤可获得滤波器 g， 10zsPz由以上分析可得如下定理定理 8.4-3 给定互补滤波器对 (h, g)，那么总是存在多项式 和 ， ，以及zsiti ni1一个常量 K，使得 KztszPinii /10101与对偶滤波器对 相关的多相(polyphase)矩阵为gh,ztzszinii 0/1011在正交小波滤波器时有 ，这就对应着两种不同的分解，也就是说，把P第八章 小波分析理论及应用35FIR 小波滤波器分解成基本的提升步骤时，分解是不唯一的。利用提升方案进行的小波变换如图 8.4-2 所示：2 1 1/K LP)(1zszt1zsmtz 1 2 K HP(a
40、)利用提升方案进行的小波分解示意图LP K + + 1 2+ztmszt1s1HP 1/K + + 1 2 1z(b) 利用提升方案进行的小波重构示意图图 8.4-2 利用提升方案进行分解与重构作为例子，下面给出对具有两阶消失矩的 D4 正交小波的分解：3210zhzhz1023g其中 24,4,13210 hh多相矩阵是 01231320hzhzP因式分解是(8.4-12) 21301423101zzzP使用式(8.4-12)作为 P(z)的分解，则分析用的多相矩阵为第八章 小波分析理论及应用36 1301042312301/1 zzzPt由此可得小波分解算法 2112 1121/34/34
41、/ll lllll lllll ddss dxd由分解算法，通过反向进行操作，并改变相应的符号可得重构算法 lll lllllll lll xdxdss212 1121234/4/利用提升方案进行小波变换具有可进行同址运算优点，这样在具体实现时可省去大量在存贮器开销，在进行图像处理时，这个优点更为明显。它的另一个优点是可提高小波变换的速度。所以把现存的有限长小波滤波器分解成基本的提升步骤，可加快小波变换的进行，根据 Daubechies 的分析，随滤波器长度的增加，运算速度趋于常规小波变换的 2 倍，换言之，在同等的硬件条件下，对一维小波变换而言，运算时间降低一半，对二维小波变换则降为原来的四
42、分之一。这个优点在实时性要求比较高的场合有很大的实用价值。8.4.3 整数小波变换 13提升方案为扩展小波变换的应用领域提供了更多的灵活性。常规的小波变换都是采用浮点运算的，但利用提升方案所带来的便利，可十分方便地构造整数到整数的小波变换。将整数小波变换用于图像压缩就可以用小波变换进行无失真的图像压缩。最早的整数到整数小波变换是 S 变换，是哈尔（Haar）变换的整数形式：(8.4-13)2/,1,1,02,0, llldsSaid 和 Pearlman 提出了 S+P( tranSform + Prediction)，就是在 S 变换之后，利用低通滤波器的系数来产生一个新的高通滤波器系数，它
43、的一般形式是：第八章 小波分析理论及应用37(8.4-14) 1,1,1,1,01,2,11, ,2,0, 2,0,1, / llllllllllll lll dsssds 式中 。8/38/01 S 和 S+P 变换的逆变换由式(8.4-13) 、(8.4-14) 把执行顺序变动一下，再改变一下相关项的符号就可以获得。通常小波滤波器的系数都是浮点数，只能把整数映射成浮点数，要进行无失真变换，必须构造把整数映射成整数的小波变换，提升方案（Lifting scheme）为此提供了一种有效的方法，所有正交或双正交小波滤波器，用提升方案进行分解后，都可用与 S+P类似的方式来构造变换的整数版本。用提升方案构造小波变换有如下优点： 1） 同址计算：即不需要辅助存储器，原信号（图像）可被小波变换的结果覆盖。2） 更快的小波变换：传统上，快速小波变换首先把信号分解成高通和低
