1、第三章多分辨分析与正交小波的构造 3 1多分辨率分析 3 1 1的小波空间分解如果有一个正交小波 它的二进尺度伸缩平移函数族将构成中的正交规范基 进而任何函数可以展开为二重求和的小波级数 进而有是信号中含有的以第j级小波的平移函数族为基的展开式 可简称为的第j级小波分量第j级小波空间如果是正交小波 则 的小波空间分解理论上是完美的 实践中是行不通的 小波级数的双重无限和难以实现无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作近似处理 k表征平移位置 只须在有限范围内取值 j对应信号的某一频率范围 在正整数域中取值的上界总是有限的 在负整数域中取值至 是不可避免的 J级尺度空间尺度空间的性质 潜套性 完
2、备性 稠密性 互补性 尺度性质 3 1 2尺度空间的定义和性质 逼近性 尺度函数如果函数的平移族是空间V0的Riesz基则称为一个尺度函数 目标 下式成立 3 1 13 定理3 1 如果是空间的Riesz基 并且它和小波函数存在如下关系则式 3 1 13 成立 二尺度关系 具有潜套性 完备性 稠密性 互补性 尺度性质的空间序列 称为由尺度函数生成的一个多分辨率分析 MRA 对于一幅图像 量化级数决定了图像的分辨率 量化级数越高 图像就越清晰 即图像的分辨率高 对于任意一幅图像 都可以用不同的量化空间来表示 细节比较丰富的部分用高分辨率来表示 细节比较单一的部分可用低分辨率来表示 我们可以将不同
3、的量化级数构成的空间看成不同的多分辨空间Vj 显然这些量化空间是相互嵌套的 从图像处理的角度 多分辨空间的分解可以理解为图像的分解 假设有一幅256级量化的图像 不妨将它看成量化空间Vj中的图像 则可理解为Vj空间中的图像有一部分保留在Vj 1空间中 还有一部分放在Wj 1空间 小波空间是两个相邻尺度空间的差 也就是说空间Wj包含了函数f投影到尺度空间Vj与Vj 1间的细节差别 因此小波空间有时又称为细节空间 3 1 3基于正交尺度函数和小波函数的分解 为了生成一个MRA 在小波函数已经确定的情况下 需要构造与之对应的尺度函数 反之 如果已知尺度函数 则需要构造与之对应的小波函数 MRA中特殊
4、情况 正交尺度函数正交小波函数小波函数与尺度函数正交在上述前提下 小波级数可改写为 V0空间 Vj空间 3 2正交小波构造的理论基础 二尺度关系的频域表达 1 尺度函数完全由二尺度关系中的序列 hk 确定 从信号处理的角度 h是与 t 对应的低通滤波器 g是与 t 对应的高通滤波器 h g 既可以表示为时域上的离散序列形式 hk gk k Z 也可以表示为频域上的2 周期函数 h g 两者本质上是一样的 Riesz条件的频域表达 定理3 2 如果函数满足Riesz条件那么满足下列不等式 反之亦然 定理3 3的平移族构成空间的正交规范基的必充条件是推论3 1根据定理3 2和3 3 可推出如下结论
5、 如果是尺度空间的Riesz基 那么由所确定的函数的平移族是同一尺度空间的正交规范基 Poisson公式 利用Poisson公式可以得到部分定理的证明 定理3 4平移族是的正交规范基的充要条件是满足定理3 5当 有定理3 6小波函数的平移族能够张成在空间中正交补的充要条件是它对应的满足 构造正交小波的基本条件 定理3 7在满足构造正交小波的基本条件 3 2 11 取 3 2 16 则 3 2 13 和 3 2 14 式成立 推论3 2 3 2 16 式等价于 尺度函数与小波函数的对比 定义 时域二尺度关系 频域二尺度关系系数之和递推关系频域初值 正交尺度函数的构造 尺度空间的Reisz基 正交
6、尺度函数 性质 目标 构造一个小波 使 构成 的规范正交基 正交小波函数的构造 令 则 的标准正交基 是 构成 的标准正交基 即 是一个小波 是一个正交小波 MRA 时域求解过程 频域求解过程 构造正交小波的方法 3 3B 样条函数 m阶B 样条函数可由递推定义为 B 样条函数的基本性质 非负性紧支撑Fourier变换整数节点上的值之和为1 微分性质插值公式对称性质 以m 2为对称中心 平移m 2 B 样条函数的尺度函数性质定理3 8是中的Riesz基 3 4利用B 样条函数构造正交小波 从B 样条函数的正交化入手 可按如下步骤构造正交小波函数 Step1利用正交化公式计算 并进行IDFT得
7、M 8 Nm zeros M M 1 行表示m次样条 列表示整数k 0 MNm 2 2 1 form 3 Mfork 2 MNm m k k 1 Nm m 1 k m 1 m k 1 Nm m 1 k 1 m 1 此处系数k减1是因为第k列代表得是整数k 1endend Nm 00000000001 0000000000000 50000 500000000000 16670 66670 16670000000 04170 45830 45830 0417000000 00830 21670 55000 21670 008300000 00140 07920 41940 41940 07920
8、 00140000 00020 02380 23630 47940 23630 02380 00020 Step2求和Step3求和Step4求正交小波函数 IFT 3 5紧支撑正交小波的构造 非严格意义上的紧支撑小波一方面会引入误差 另一方面也使分解和重构的计算量比较大 Daubechies于1988首先实现了紧支撑正交小波的构造 其基本思路就是沿图3 1左侧所示的途径 预备定理 定理3 9对于任何一个实的余弦多项式总可以分解为和的乘积 这里是一个实系数的关于的多项式 定理3 10存在唯一的一对阶次不高于N 1的多项式和 使成立 并且这一对多项式满足 定理3 11上式唯一的阶次不高于N 1的
9、多项式解是 3 5 14 构造紧支撑小波的步骤 Step1对于选定的正整数N 由 3 5 14 式得到相应的 Step2再利用欧拉公式将它转化为含的各次幂的多项式 然后以代换得到相应的Z多项式 Step3对求根并按预备定理所述的方法对作因式分解 再用代换得到 Step4最后利用公式得到一个能满足正交条件的 3 6利用序列计算的迭代算法 Step1选择某一函数作为迭代算法的初始函数 该函数满足Step2利用下式获取Step3返回step2 直至迭代收敛 即得Step4 定理3 12当序列的长度为L 1时 它对应的尺度函数的支撑区间长度为L 且序列的长度也是L 1 对应的小波函数也是紧支撑的 且支撑区间的长度也是L
