1、1课题：3.2 立体几何中的向量方法 （第 76-79 课时）（周三、周四、周五、周一；2010 年元月 6 日、 7 日、8 日、11 日）【教学目标】1在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；2学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；3学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；4能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式
2、【教学过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用， 较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：1直线 l 的方向向量的含义： .2向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a/b ；（2）ab ；（3）aa = ；（4）cosa,b = 。二、创设情景前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的
3、问题等等若再加入平面，会出现更多的的问题，如： 线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面 。由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）平面的法向量：。（二）直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条
4、件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）2设直线 , 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， ，则：lmabuv ； ；lm ； ； ； 。【小试牛刀】1设直线 , 的方向向量分别为 ， ，根据下列条件判断直线 , 的位置关系：l ablm（1） = （2 ，-1 ，-2）， =（6 ，-3，-6）；a（2） = （1 ， 2 ，-2）， =（-2， 3， 2）；（3） = （0 ， 0， 1）， =（0 ， 0，-3）。2平面 ， 的法向量分别为 ， ，根据下列条件判断平面 ， 的位置关系：uv（1） = （-2 ，2 ， 5）， =（6 ，-4， 4）；u（2） = （ 1
5、 ，2 ，-2）， =（-2，-4， 4）；（3） = （ 2 ，-3 ，5）， =（-3 ，1，-4）。3如图，在正方体 中，E、F 分别是 、1ABCD1BCD 的中点，求证： 平面 ADE1F（你能用几种方法呢？ ）（三）利用向量方法证明平面与平面平行的判定定理【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行已知：直线 , 和平面 ， ，其中 , ， 与 相交，lmlml ， ，求证： l【分析】根据 ，所以只要证明 即可，那需要证明 ，uvuvu都是平面 的法向量v【证明】设直线 , 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ，l ab，【点评】向量法解题“
6、三步曲 ”：（1）化为向量问题 （2）进行向量运算 （3）翻译向量运算结果，回到图形问题. 四、互动达标此类问题前面已经接触过，下面再来 总结及拓展一下：关于两特殊点间距离的问题3问题.1 如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点 A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。【分析】根据前面所学的方法，可将 用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解1AC【解析】【点评】遇到空间两点间的距离问题，往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的向量的模。然后把向量进行恰当的分解，运用向量 的模满足的关系式：u来进行针对性地运算和
7、求解22|u【探究】1.本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系?2.如果一个平行六面体的各棱长都相等, 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于 ,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?3.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?【分析】显然，第 1 个问题与问题.1 类似；第个问题是问题.1 的逆向问题，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同；第个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结下面我们再来看一个问题.1 的逆向问题：问题.如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面
8、上的点 B 处。从 A，B 到直线 （库底与l水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为 c, AB 的长为 d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 【分析】正如上面的分析，此题是问题.1 的逆向问题，解决方法与问题.1 一致【解析】【点评】由此可体会解决一类数学问题的方A1 B1C1D1A BCDABCD4法，从而以静制动，体现数学知识、 方法应用的本质。【探究】 1本题中如果 AC 和 BD 夹角可以测出，而 AB 未知，其他条件不变，可以计算出 AB 的长吗？（通过课本第 页的第题体会一下即可）2如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点
9、的各棱间的 夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？3如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【分析】显然，第 1 个问题又回到了问题.1 的形式；第、个问题是问题.1 的逆向问题，但第个问题又是略有挑战性，需要通过做辅助线构出问题.的图形模式对于这个问题，同样是同学们先课后探究一下，以后在进行总结 问题.3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F。（1）求证：PA平面 EDB；（2）求
10、证：PB 平面 EFD；（3）求二面角 CPBD 的大小。【分析】此题包括：判定直线与平面平行和垂直及计算二面角的大小均可用向量方法来解决。题目中的垂直条件非常适合建立空间直角坐标系来表示向量。【解析】【点评】(1)此 题涉及到的问题都是立体几何中的重点问题。通过解决过程来看，若条件适合建立空间坐标系，建系表示向量来解决问题还是较简洁的转化为目标明确的坐标运算 (2) 同学们可用传统法（不用向量）解决一下，比较各自的特点，便于解决问题时能恰当选择方法可大体上分为三种方法：传关于直线、平面的位置关系的论证及夹角问题5统法；向量法；坐标向量法。当然也可把这三种方法结合起来使用直线与平面所成的角怎样
11、用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线 PA 与平面 PBC 所成角：利用问题.3 的条件（PD=DC 改为 PD=DC= a ）求出点 A 到平面 PBC 的距离总结出点到平面的距离的求法：问题 4.一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 ， ， ，每个50kg1F23力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是 ，且 ，这块钢板在这些力的61F230kg作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？【分析】钢板所受重力为 ，垂直向下作用在三角形的中心 O.若能将各顶点处所受的50kg力 ， ， 用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态。1F23【解析】
12、关于实际问题关于点到平面的距离问题6【点评】此题是力的合成问题，用向量将其表示，转化为数学问题，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量来表示五、思悟小结知识线：思想方法线：题目线：六、巩固提高1（1）设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则 k= ；若 ，则 k= 。（2）若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1, ,2),若 ，则 m= ； 若l 21l ，则 m = .2如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 ，线段 BDAB，AC线 段 ， ，如果 ABa，ACBDb，求D30BC、D 间的距离或：一个矩形 ABCD，AB=3,
13、CD=4, 以 BD 为棱折成直二面角，求A、C 之间的距离3（1）如图，空间四边形 ABCD 的每条边和 AC,BD 的长都等于 a，点 M , N 分别是 AB, CD 的中点，求证：MNAB , MN CD .B DAMNC（2）如图，已知正方体 ABCDABCD , B C 和 C B 相交于点 O,连结 DO，求证：DOB CDOD CBABCA4. 如图，M、N 分别是棱长为 1 的正方体 的棱 、 的中点求异面直线BCMN 与 所成的角CD75如图，正方体 ABCDABCD中， 点 E , F 分别是 B B， CD 的中点。求证：面 AED面 A F DDEFD CBABCA6如图，正方体 ABCDABCD中， 点 E , F , G , H , K , L 分别是 AB ，B B，BC， CD ， D D，DA 各棱的中点。（1） 求证：A C平面 E F G H K L；（2） 求 DB与平面 E F G H K L 所成角的余弦值；（3） 若 AB=1，求点 B到平面 E F G H K L 的距离。DLGHKEFD CBABCA7已知 和 所在的平面互相垂直，且 ,求 ABCD 120,DBCABCA（1）直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小；（2）直线 AD 与直线 BC 所成角的大小； A （3）二面角 A-BD-C 的余弦值。B C 8D
