1、第二章 推理与证明2.3 数学归纳法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和 S(n2) 对于 nn0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取A2 B3C4 D5【答案】B【解析】n 边形的最少边数为 3,则 n03.2已知 为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 ，且 为偶数 时命题为真，则还需要用归纳假设再证A 时等式成立 B 时等式成立C 时等式成立 D 时等式成立【答案】B【解析】由数学归纳法的原理知，还需要再证明 时等式成立，故选 B3用数学归纳法证明“ ”,则当 时,应当在 时对应的等式的两边加上A
2、 BC D【答案】A【解析】因为当 时, ,当 时,= ,故选 A4设 ，那么 A B12n 12nC D 【答案】D【解析】故选 D5当 是正整数时，用数学归纳法证明 从 到等号左边需要增加的代数式为A BC D【答案】D【解析】当 时， .则当 时， ，作差可得从 到 ，等号左边需增加的代数式为 ，故选 D二、填空题：请将答案填在题中横线上6用数学归纳法证明： ，当 时，左边为_1n【答案】 21c【解析】等式的左边是以 为首项， 为公比的等比数列的前 项的和，观察当 时，等式左边1c21n等于 ,故答案为 .227对于不等式 n+1(nN *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1
3、）当 n=1 时, 1+1 ,不等式成立;（2）假设当 n=k(kN *)时,不等式成立,有 k+1,即 k2+k(k+1)2,则当 n=k+1 时, = = =(k+1)+1,所以当n=k+1 时,不等式也成立.则下列说法中正确的有_.( 填出所有正确说法的序号) 证明过程全部正确;n=1 的验证不正确 ;n=k 的归纳假设不正确;从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确.【答案】【解析】n=1 的验证及 n=k 的归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假设,而是通过对不等式的放缩直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故填.8用数学归纳法证明不等式 的过程中，由“
4、 ”到“ ”时，左边增加了_项【答案】【解析】当 时，左边 ，当 时，左边 ，观察可知，增加的项数是 ，故答案是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9求证: + + =1- (其中 nN *).【解析】(1)当 n=1 时,左边= ,右边=1 - ,左边=右边,等式成立 .(2)假设当 n=k(kN *)时等式成立,即 + + =1- .那么当 n=k+1 时, + + + =1- + =1- ,即当 n=k+1 时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何 nN *都成立.10证明： .【解析】设 .()当 n=1 时， ， ， .()假设当 n=k 时， .则当 n=
5、k+1 时， .要证： ,只需证： .由于 ,所以 .于是对于一切的自然数 ，都有11求证：n 3(n1) 3( n2) 3(nN*) 能被 9 整除.【解析】(1)当 n1 时，1 3(1 1) 3(12) 336，能被 9 整除，命题成立.(2)假设 nk 时，命题成立，即 k3(k1) 3( k2) 3 能被 9 整除.当 nk1 时，( k1) 3( k 2)3(k3) 3(k1) 3(k 2)3k 33k 233k3 23 3k 3(k1) 3 (k2) 39( k23k3).由归纳假设，上式中 k3( k1) 3( k2) 3 能被 9 整除，又 9(k2 3k3)也能被 9 整除
6、，故 nk1 时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意 nN*命题成立.12试比较 2n2 与 n2 的大小(nN *),并用数学归纳法证明你的结论.【解析】当 n1、n2、n3 时都有 2n2n 2 成立,所以归纳猜想 2n2n 2 成立.下面用数学归纳法证明：当 n1 时,左边2 124；右边1,左边右边,所以原不等式成立；当 n2 时,左边2 226,右边2 24,所以左边右边；当 n3 时,左边2 3210,右边3 29,所以左边右边.假设 nk 时( k3 且 kN*) 时,不等式成立,即 2k2k 2.那么 nk1 时，2k+1222 k22(2 k2) 22 k22，又因为 2k22( k1) 2k 22k3(k3)(k1)0,即 2k+12( k 1)2 成立.根据和可知,2 n2n 2 对于任何 nN *都成立.13在数列 中， ，其中 .（1）计算 的值；（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【解析】 （1）由题意， ， ， .（2）由 猜想234,a1.2na以下用数学归纳法证明：对任何的 ,*N1.2na证明：当 时，由已知，得左边 ，右边1n1.所以 时成等式.假设当 时， 成立，21ka则 时， ，1nk所以，当 时，等式也成立.根据和，可知对于任何 ， 成立. *nN12na
