1、1题组训练 47 专题研究 2 数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一个值 n0等12于( )A1 B2C3 D0答案 C解析 边数最少的凸 n 边形是三角形2(2017山东德州一模)用数学归纳法证明 122 22 n2 2 n3 1，在验证 n1时，左边的式子为( )A1 B12C122 2 D122 22 3答案 D解析 当 n1 时，左边122 22 3.故选 D.3用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，其初始值至少应取( )12 14 12n 112764A7 B8C9 D10答案 B解析 1 ，整理得 2n128，解得 n7.1
2、2 14 12n 11 12n1 1212764初始值至少应取 8.4设 f(n)1 (nN *)，那么 f(n1)f(n)等于( )12 13 13n 1A. B. 13n 2 13n 13n 1C. D. 13n 1 13n 2 13n 13n 1 13n 2答案 D5用数学归纳法证明 34n1 5 2n1 (nN)能被 8 整除时，当 nk1 时，对于 34(k1)1 5 2(k1)1 可变形为( )A563 4k1 25(3 4k1 5 2k1 ) B3 434k1 5 252kC3 4k1 5 2k1 D25(3 4k1 5 2k1 )2答案 A解析 因为要使用归纳假设，必须将 34
3、(k1)1 5 2(k1)1 分解为归纳假设和能被 8 整除的两部分所以应变形为 5634k1 25(3 4k1 5 2k1 )6若数列a n的通项公式 an ，记 cn2(1a 1)(1a 2)(1a n)，试通过计算1（ n 1） 2c1，c 2，c 3的值，推测 cn_答案 n 2n 1解析 c 12(1a 1)2(1 ) ，14 32c22(1a 1)(1a 2)2(1 )(1 ) ，14 19 43c32(1a 1)(1a 2)(1a 3)2(1 )(1 )(1 ) ，14 19 116 54故由归纳推理得 cn .n 2n 17设数列a n的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数
4、n 都有：(S n1) 2a nSn.(1)求 S1，S 2，S 3；(2)猜想 Sn的表达式并证明答案 (1)S 1 ，S 2 ，S 3 (2)Sn ，证明略12 23 34 nn 1解析 (1)由(S 11) 2S 12，得 S1 ；12由(S 21) 2(S 2S 1)S2，得 S2 ；23由(S 31) 2(S 3S 2)S3，得 S3 .34(2)猜想：S n .nn 1证明：当 n1 时，显然成立；假设当 nk(k1 且 kN *)时，S k 成立kk 1则当 nk1 时，由(S k1 1) 2a k1 Sk1 ，得 Sk1 .12 Sk 12 kk 1 k 1k 2从而 nk1
5、时，猜想也成立综合得结论成立8已知函数 f(x)xsinx，数列a n满足：00，所以 f(x)在(0，1)上是增函数又 f(x)在0，1上连续，从而 f(0)0，所以 aka k1 2(n1)n.故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn ( )16 12 123 134 1n（ n 1） ( )16 1212 13 13 14 1n 1n 1 ( ) .16 1212 1n 1 16 14 5121用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 nk 推导 nk11n 1 1n 2 1n n 1324时，不等式的左边增加的式子是_答案 1（ 2k 1） （ 2k 2）解析 不等式的左边增加的式子是
6、 ，故填12k 1 12k 2 1k 1 1（ 2k 1） （ 2k 2）.1（ 2k 1） （ 2k 2）62用数学归纳法证明：对任意的 nN *， 113 135 1（ 2n 1） （ 2n 1）.n2n 1答案 略解析 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，所以等式成113 13 121 1 13立(2)假设当 nk(kN *且 k1)时等式成立，即有 ，113 135 1（ 2k 1） （ 2k 1） k2k 1则当 nk1 时， 113 135 1（ 2k 1） （ 2k 1） 1（ 2k 1） （ 2k 3） k2k 1 1（ 2k 1） （ 2k 3） k（ 2k 3）
7、1（ 2k 1） （ 2k 3） ，2k2 3k 1（ 2k 1） （ 2k 3） k 12k 3 k 12（ k 1） 1所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN *等式都成立3(2017湖北宜昌一中模拟)已知函数 f(x) x3x，数列a n满足条件：13a11，a n1 f(a n1)试比较 与 1 的大小，并说明11 a1 11 a2 11 a3 11 an理由答案 111 a1 11 a2 11 a3 11 an解析 f(x)x 21，a n1 f(a n1)，a n1 (a n1) 21.函数 g(x)(x1) 21x 22x 在区间1，)上单调递增，于是由 a11，得 a2(a 11) 212 21，进而得 a3(a 21) 212 412 31.由此猜想：a n2 n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当 n1 时，a 12 111，结论成立；假设 nk(k1 且 kN *)时结论成立，7即 ak2 k1，则当 nk1 时，由 g(x)(x1) 21 在区间1，)上单调递增知，ak1 (a k1) 212 2k12 k1 1，即 nk1 时，结论也成立由、知，对任意 nN *，都有 an2 n1.即 1a n2 n， .11 an 12n 1( )n1.11 a1 11 a2 11 a3 11 an 12 122 123 12n 12
