1、收稿日期 : 2011-03-10基金项目 : 广西教育科学 “十一五 ”规划重点课题 ( 桂教科学 2008 2 号 ) ; 广西研究生创新基金项目 ( 2009106020401M16) 。作者简介 : 欧慧谋 ( 1982 ) ， 男 ， 广西师范大学数学科学院硕士研究生 ， 主要研究方向为数学学习论 、数学教学论 。2011 年 10 月 内蒙古师范大学学报 ( 教育科学版 ) Oct， 2011第 24 卷 第 10 期 Journal of Inner Mongolia Normal University ( Educational Science) Vol24 No10用波利亚解
2、题表在解题中学解题欧慧谋1， 黄红梅2， 欧贻丽3( 1 广西师范大学 数学科学学院 ， 广西 桂林 541004; 2 广东省电白县第一中学 ， 广东 茂名 525400;3 广西玉林市樟木镇第二中学 ， 广西 桂林 537026)摘 要 : 波利亚解题思想集中体现在 “怎样解题表 ”中 。在解题中学习解题 ， 即要利用 “怎样解题表 ”， 学习怎样理解题目 、怎样拟定方案 、怎样执行方案 、怎样解题回顾 ， 并最终从学习解题走向学会解题 。关 键 词 : 波利亚解题表 ; 提示语 ; 学习 ; 解题中图分类号 : G 421 文献标识码 : A 文章编号 : 1671-0916( 2011
3、) 10-0138-03学数学必然解题 ， 学好数学必然要学会解题 。时下普遍解题现象是 : 为解题而解题 ， 重数量轻质量 ， 重结果轻过程 ， 重模仿轻理解 ， 重训练轻反思 。这种 “题海战术 ”的解题 ， 其效果和效率很不理想 。如何解放 “题海战术 ”， 做到举一反三 、触类旁通 ?一种有效的方法是在解题中学习解题 。这方面 ， 我们可以从世界著名数学家和数学教育家波利亚的“怎样解题表 ( 以下简称解题表 ) ”得到启发 。一 、波利亚解题表的简介波利亚解题思想集中体现在解题表上 。解题表把解题分成四个步骤 ， 即理解题目 、拟定方案 、执行方案 、解题回顾 ， 每个步骤又由若干问题
4、组成 1。下面是波利亚解题表的简介 2:步骤 具 体 问 题理解题目未知量是什么 ? 条件是什么 ? 条件是否足以确定未知量 ? 画个草图 ， 引入适当的符号 ?拟定方案见过这道题或与之类似的题目吗 ? 能联想起有关的定理或公式吗 ? 还能以不同的方式叙述它吗 ? 能解出这道题目的一部分吗 ? 用到全部的条件了吗 ? 再看看未知数 ? 把题目中所有关键的概念都考虑到了吗 ? 回到定义看看 ? 先解决一个特例试试 ?执行方案执行解题方案 ， 检查每一个步骤 。能清楚地看出这个步骤是正确的吗 ? 能否证明它是正确的 ?检查回顾能检验这个结果吗 ? 能以不同的方式推导这个结果吗 ? 能在别的什么题目
5、中利用这个结果或这种方法吗 ?整个解题表的各个部分均由问题组成 ， 这些问题问的不是别人 ， 而是解题者 ， 我们称为 “解题提示语 ” 1。“提示语 ”的作用在于 ， 启发问题分析 ， 诱发解题 “念头 ”， 促使解题反思 ， 从而解决问题 ， 并学会解决问题 。二 、在解题中学解题学会解题就要在解题中学习解题 ， 根据波利亚解题表进行自我提问 ， 我们可以学会怎样理解题目 、怎样拟定计划 、怎样实现计划 、怎样检查回顾 。( 一 ) 在解题中学习理解题目理解题目即指平常说的审题 。它是成功解决问题的必要前提 。但很多解题者常不重视 ， 匆匆读题后就急于下手 。研究表明 ， 善于解题的人用一
6、半时间来理解题目 1。因此 ， 在解题中学习理解题目 ，显得尤为重要 。理解题目包括对题目的表层理解和深层理解 。表层理解常常表现为对问题的字面含义进行解释 。而深层理解则要在此基础上抓住题目的关键信息 ，并能用自己的话解释题目的已知条件 、分析出题目隐含条件 、探索出从已知到未知的可能途径 。如何达到深层理解 ? 可以根据波利亚解题表进行自我提831示实现 。譬如 ， 证明 “两个角在不同的平面上 ， 其中一个角的两条边分别平行于另一个角的相应两边 ， 且方向相同 ， 证明这两个角相等 ”。在理解该题时 ， 我们可以自我提问 : 这是一个什么类型的问题 ? 题设是什么 ? 结论是什么 ? 题
7、设与结论有什么联系 ? 关键信息在哪里 ? 我可以通过画图描绘题设与结论吗 ? 自我提示可以诱导我们发现 ， 这是一个空间几何证明题 ， 通过画图 ( 如图 1) ，可以把题目描述为 “ABC 与 ABC不在同一个平面 ， 且 ABAB， ACAC， AB 和 AB的方向相同 ， AC和 AC的方向相同 ， 证明 ABC =ABC。”图 1图 2图 3( 二 ) 在解题中学习拟定方案理解题目后 ， 接下来要确定解决问题的策略 ， 即拟定方案 ， 它决定着问题解决的方向与成败 。波利亚建议分两步走 : 第一 ， 努力在已知与未知之间找出直接联系 ; 第二 ， 如果找不出直接的联系 ， 就对原来的
8、问题做出某些必要的变更或修改 ， 如引进辅助元素 。这两步可以通过自我提示实现 。譬如 ， 看着未知数 ， 回到定义去 ， 重新表述问题 ， 考虑相关问题 ， 分解或重新组合 ， 特殊化 ， 一般化 ， 类比等 ， 积极诱发念头 ， 努力变化问题 2。对于上面的例子 ， 由于这两个角不在同一个平面上 ， 要证明它们相等 ， 如果初次接触空间问题 ， 将难以找出未知与已知直接的联系 ; 但假如多问 “我能想起一道类似的题目吗 ? ”“我能联想起有关的定理或公式吗 ? ”等类似问题 ， 将有助于我们联想到求两角相等的相关经验与知识 ， 如全等三角形性质定理 ， 这能启发我们尝试添加辅助线 ， 如图
9、 2， 取 AB =AB， AC = AC， 连接 B、C、B、C， 得到两个三角形ABC 和 ABC， 只要证明 ABCABC， 即可证 ABC =ABC 为证明 ABCABC， 只要证 BC = BC即可 。新目标的出现促使我们把注意力集中在 “对应两边平行 ”这个已知量上 ， “ABAB， ACAC这个条件用处何在 ? ”“它与 AB = AB， AC= AC有什么联系 ? ”等问题 ， 能刺激相关的 “知识结构 ”， 并诱导我们构思出如图 3 中的 3 个有关平行四边形 ， 通过推理不难得出 BC = BC， 从而使解题思路清晰可见 。( 三 ) 在解题中学习执行方案方案的拟定为解题给
10、出了一个总体的框架 ， 但有时候这个框架未必就是清晰的或合理的 ， 不加判断地执行这样的方案是愚蠢的 ， 所以我们为了使自己确信细节都符合这个框架 ， 不得不细心检查细节 ，对每一步演算和推理进行检验 ， 直到每一点都非常清晰 ， 不再有任何可能隐藏的错误或含糊之处 。诸如以下这些自我提示是有帮助的 : 解题的每一步理由充分吗 ? 解题过程是否遵循数学原理或规律 ? 解题的结果是否符合实际或原来想法 ? 等等 2。譬如 ， 在上面的证明题中 ， “构造 AB = AB， AC= AC”这一步 ， 在整个方案中是极其关键的 ， 在执行方案时 ， 应该细心自问 “这个步骤是正确 ( 合理 )的吗
11、? ”， “我能证明这个步骤是正确 ( 合理 ) 的吗 ? ”这不但能检验这个步骤的合理性 ， 而且能进一步理931欧慧谋 ， 黄红梅 ， 欧贻丽 /用波利亚解题表在解题中学解题清整个解题方案 ， 达到成功解题 。( 四 ) 在解题中学习解题回顾对于 “学习解题 ”而言 ， 完成了解题过程 ， 并不意味一次 “解题学习 ”活动的结束 ， 对解题的真正学习是 “解题回顾 ”。这好比采蘑菇 ， 在你找到第一朵蘑菇后 ， 要环顾四周 ， 因为它们总是成堆生长的 ， 用推广题的方法 ， 可以解决更多的问题 众多研究表明 1， 2， 3， 回顾与反思是数学思维活动的核心 。但目前的普遍情况是 ， 与前面
12、解题步骤相比 ， “解题回顾 ”是最容易被忽视的阶段 。所谓解题回顾 ， 不仅要回顾有关知识 、解题方法以及理解题意的过程 ， 而且更要回顾 : 一开始是怎样探索的 ， 走过哪些弯路 ， 产生过哪些错误 ， 为什么会出现这些弯路和错误 ; 是否还有其它解题策略 ; 改变部分条件 ， 会得出什么结论 ; 这些结论或解题策略对于另外一些问题有什么意义 ， 等等 。这些回顾能引领我们反思 、评价整个解题结果与过程 ， 能促使我们一题多解 、举一反三 ， 能启发我们总结归纳相关知识 、解题策略等 ， 并形成解题经验 。如上面例子 ， 尽管完整地解答了问题 ， 但仔细回顾反思 ， 依然会有很大的发现 。
13、假如我们多提 “还能以不同的方式推导这个结果吗 ? ” 1这样的问题 ，可能会诱发我尝试利用相似三角形的性质定理去证明这个结论 。如图 4， 连接 AB、AC、BC、AB、AC、BC， 使 AB/AB= AC/AC， 再分别连接 AA、BB、CC， 且延长交于点 V， 易证明 VABVAB、VACVAC， 故 VBCVBC， 所以 AB/AB= AC/AC= BC/BC， 从而 ABCABC， 所以 BAC =BAC。另外 ， 如果把题目的条件 “方向相同 ”改变为“方向相反 ”， 我们同样可以证明这两个角也是相等的 ( 如图 5 所示 ) 。如果删去条件 “方向相同 ”， 这两个角除相等外 ， 还具有互补 ( 如图 6 所示 ) 这种情形 。图 4图 5图 6三 、结 语解题的目标不仅在解题结果 ， 解题本身是一个有意义的学习过程 ， 深入挖掘波利亚解题表中蕴含的解题思想 ， 在解题中学习解题 ， 能促使我们学会解题 ， 并最终解放题海战术 。参 考 文 献 : 1 G波利亚 怎样解题 M 涂泓 ， 冯承天译 上海科技教育出版社 ， 2007 2 涂荣豹 数学解题的有意义学习 J 数学教育学报 ，2001( 4) 3 涂荣豹 数学解题学习中的元认知 J 数学教育学报 ， 2002( 4) 责任编辑 李海燕 041欧慧谋 ， 黄红梅 ， 欧贻丽 /用波利亚解题表在解题中学解题
