1、追及相遇问题一、梳理归类1.概述当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.2.两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度.(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近.3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离.(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.练习 1 平直公路上的甲车以 10 m/s 的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过
2、乙车旁边时，乙车立即以大小为 1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则( )A.乙车追上甲车所用的时间为 10 sB.乙车追上甲车所用的时间为 20 sC.乙追上甲时，乙的速度是 15 m/sD.乙追上甲时，乙的速度是 10 m/s答案 B解析 设乙车追上甲车所用的时间为 t，则有 v 甲 t at2，解得 t20 s，选项 A 错12误，B 正确；由 v at 得，乙车追上甲车时，乙车速度 v 乙 20 m/s，选项 C、D 错误.二、考点归纳考点一 追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件” “两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否
3、追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法物体 B 追赶物体 A：开始时，两个物体相距 x0，到 vA vB时，若 xA x0 xB，则能追上；若 xA x0 xB，则恰好不相撞；若 xA x0 xB，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.4.三种方法(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上
4、则在两物体速度相等时有最小距离.(2)函数法：设两物体在 t 时刻相遇，然后根据位移关系列出关于 t 的方程 f(t)0，若方程 f(t)0 无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程 f(t)0 存在正实数解，说明这两个物体能相遇.(3)图象法.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.错误！未找到引用源。例 1 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为 v18 m/s，乙车在后，速度为 v216 m/s，当两车相距 x08 m 时，甲车因故开始刹车，加速度大小为 a12
5、 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？答案 6 m/s 2解析 方法一：临界法设两车速度相同时均为 v，所用时间为 t，乙车的加速度大小为 a2，则v1 a1t v2 a2t v， t t x0，解得 t2 s， a26 m/s2，即 t2 s 时，两v1 v2 v2 v2车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为 6 m/s2.方法二：函数法甲、乙运动的位移： x 甲 v1t a1t2， x 乙 v2t a2t212 12避免相撞的条件为 x 乙 x 甲 012代入数据有( a22) t216
6、t160不等式成立的条件是：16 2416( a22)0解得 a26 m/s2.变式 1 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 v t 图象如图 1 所示.已知两车在 t3 s 时并排行驶，则( )图 1A.在 t1 s 时，甲车在乙车后B.在 t0 时，甲车在乙车前 7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是 t2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 40 m答案 BD解析 由题中 v t 图象得 a 甲 10 m/s2， a 乙 5 m/s2，两车在 t3 s 时并排行驶，此时 x 甲 a 甲 t2 1032 m45 m， x 乙 v0t a 乙 t2103 m 5
7、32 m52.5 12 12 12 12m，所以 t0 时甲车在前，距乙车的距离为 L x 乙 x 甲 7.5 m，B 项正确. t1 s 时， x甲 a 甲 t 25 m， x 乙 v0t a 乙 t 212.5 m，此时 x 乙 x 甲 L12.5 12 12m，所以另一次并排行驶的时刻为 t1 s，故 A、C 项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距 L x 乙 x 乙 40 m，故 D 项正确.变式 2 在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度时间图象如图 2 所示，则( )图 2A.甲、乙两车同时从静止开始出发B.在 t2 s 时乙车追上甲车C.在 t4 s 时乙车追上甲车D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次答案 C
