1、一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x) xIx上也是单调增加(或
2、减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,下页,例2,同样 y=arccos x 在区间-1 1上是连续的y=arctan x 在区间(- +)内是连续的y=arccot x 在区间(- +)内是连续的,反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,下页,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x) xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连
3、续的,例2,注:,(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理,提示:,定理3,例3,解,下页,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x) 在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续,下页,定理4,定理3,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,sin u 当-u+时是连续的,例4,首页,解,内是连续的,三、初等函数的连续性,结论,注: 所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间,下页,基本初等函数在定义区间
4、内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,三、初等函数的连续性,结论,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例6,例5,解,解,下页,利用连续性求极限举例,例7,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t) x0时t0 于是,利用连续性求极限举例,例题,下页,解,因为,利用定理3及极限的运算法则 便有,利用连续性求极限举例,结束,思考与练习,续?,反例,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,堂上练习,P65 3 (6) , (7) ; 4 (5) ,(6) ; 5,作业 P65 3 (3) , (5)4 (4) 6,
