1、欢迎各位同学来到,高 等 数 学,主讲：亓健,,高等数学,学习各门理工专业的重要基础,解决各种专业问题的重要工具,培养分析能力，锻炼理性思维,提高综合素质，享受数学之美,重要,?,如何学好高等数学,数学思维方法的领会，分析问题能力 的加强，解题水平的提高，仅依靠阅读教 材是远远不够的。好的辅助工具会给大家 提供及时的帮助！,高等数学学习辅导石油大学出版社,帮你解题的好朋友,合适的辅导工具是学习的良师益友,合理运用图书馆,课外学习的乐园,课前认真预习.找到其中的难点,重点,适当的做些课后(A)部分的题目. 课中认真听课,做好笔记,抓住老师讲的重点难点. 课后认真复习,做好作业. 不会的问题一定要
2、问.课前,课间休息,答疑时间都可以.,作业:,每星期的第一次课交作业,每个班有作业袋,由课代表收齐. 作业要认真,题目以练习册为主. 作业缺少三分之一将取消考试资格. 作业质量的好坏作为平时成绩,计算入期末总评(占10%).,考试:,期中考试 期末考试 期末总评成绩=平时成绩*10%+期中成绩*10%+期末成绩*80%.,高等数学的基本内容:,高等数学包括四个部分: 微积分学.(重点,难点) 常微分方程. 向量代数与空间解析几何. 无穷级数.,研究对象:不规则,弯曲的几何对象和非均匀,无限过程的变量.,高等数学电子教案,第一章 函数与极限,本章主题词：集合、数列、函数、极限、连续,第一章 函数
3、与极限 1.1 函数的概念及其初等性质 1.2 数列极限 1.3 函数极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 函数的连续性 1.6 闭区间上连续函数的性质选读 经济学中的几个常用函数数学家：刘徽 康托尔 狄利赫雷 维尔斯托拉斯,1.1 函数的概念及其初等性质,1.1.1 集合,1.集合:,具有某种特定性质的对象的总体.,组成这个集合的对象称为该集合的元素.,有限集（列举表示）,无限集（命题式表示）,2.实数与数轴：,实数系的连续性：实数的集合与数轴上点的集合一一对应。,有理数系（无理数系、实数系）的稠密性：任意两个有理数（无理数、实数）之间都有无穷多个有理数（无理数、实数）。,数集分类:,N-自
4、然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集,例如,规定,空集为任何集合的子集.,集合的运算：,集合的并：,集合的交：,集合的差：,集合的直积：,3.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,4.邻域:,1.1.2 常量 变量 函数,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表
5、示方法：,用字母x, y, t 等表示变量.,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,函数,自变量,因变量,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.,定义:,(2) 符号函数,几个特殊的函数举例,(1)绝对值函数,阶梯曲线,(3) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,(4) 狄利克雷函数,5.3=5, -4.5= -5.,(5) 取最值函数,例1,解,故,1.1.3 函数的初等性质,1函数的有界性:,函数的有界性：,设函数y=f(x) 在区间(a,b)内有定义(a,b)可以是 f(x) 的整个定义域，也
6、可以是定义域的一部分)。如果存在一个正数M,对于所有的,恒有 , 则称函数f(x)在(a,b)内是 有界的。如果不存在这 样的正数M, 则称 f(x) 在(a,b)内是无界的。,2函数的单调性:,(),（严格),( ),（严格）,3函数的奇偶性:,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例1 解下列各题:,小结：,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.,函数的概念、映射的概念,函数的初等性质 有界性、单调性、奇偶性、周期性.,1.1.4 函数的初等运算,1. 函数的四则运算,2。 复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
7、,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；,3.复合运算不满足交换性,例3,解,综上所述,3.反函数运算,3.直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,1.1.5 基本初等函数与初等函数,基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。,1.常数函数,2.幂函数,它的定义域随 而定，但不论 为何值， 在内总有定义，而且图形经过（1,1）点。,3.指数函数,4.对数函数,指数函数：,函数,称为指数函数。,定义域是区间 ,值域为 ，当a1 时，函数单调增加，当0a1 时，函数单调减少。,函数 ( ）称为对数函数，它是 指数函数的反函数。,对数函数：,定义域为
8、，图形总在x轴的正方向，且通过 点(0,1)。,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,正弦函数：,函数 称为正弦函数；,周期为 ,定义域 ,值域-1,1， sin x为奇函数。,余弦函数：,函数 称为余弦函数；,周期为 ,定义域 ,值域-1,1。 cos x为偶函数。,正切函数,余切函数,正切函数：,函数 称为正切函数；,周期 ,值域 。 tan x的定义域为：,正切函数以 为周期的 周期函数，是奇函数。,余切函数：,函数 称为余切函数；,周期 , 值域 。 cot x的定义域为：,余切函数是以 为周期的 周期函数，它是奇函数。,正割函数,余割函数,6.反三角函数,反正弦函数：,函数 Arcsin
9、 x称为反正弦函数，是sinx的反函数； 反正弦函数的首字母为大写，是多值函数。,区间上取其一段, 称为 主值分支(单值函数), 记作：,反余弦函数：,函数 Arccos x称为反余弦函数，是cosx的反函数； 反余弦函数的首字母为大写，是多值函数。,在区间上取其一段, 称为 主值分支(单值函数), 记作：,反正切函数：,函数 Arctanx称为反正切函数，是tanx的反函数； 反余切函数的首字母为大写，是多值函数。,在区间取其一段, 称为 主值分支(单值函数), 记作：,反余切函数：,函数 Arccot x称为反余切函数，是cotx的反函数； 反余切函数的首字母为大写，是多值函数。,在区间取
10、其一段, 称为 主值分支(单值函数), 记作：,初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,双曲函数与反双曲函数:,奇函数.,偶函数.,1、双曲函数,双曲函数常用公式,奇函数,1.1.6 函数关系的建立,例1 函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计,例2 函数的图像表示：某气象观察点24小时气温观察资料图,例3 函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？,函数的初等运算 四则运算、复合运算、反函数运算。,小结,函数关系的建立,基本初等函数，初等函数,思考题,思考题解答,设,则,故,练 习 题,练习题答案,
