1、第1章 函数与极限,第2章 导数与微分,第3章 中值定理与导数应用,第4章 不定积分,函数,数列的极限,函数的极限,无穷小与无穷大,第1章 函数与极限,极限运算法则,两个重要极限,函数的连续性,1,函数,集合与邻域 函数的概念 函数的简单性质 初等函数,1. 集合概念,集合是现代数学的一个基本概念之一，无法用数学语言精确定义，只能用描述的方法来说明。所谓集合，是把一些确定的、彼此不同的研究对象视为一个整体。组成集合的每个个体，称为这个集合的元素。,一、集合,常用数集,N 自然数集,Z 整数集,Q 有理数集,R 实数集,数集间的关系,集合的表示方法主要有列举法和描述法,列举法,描述法,2. 区间
2、,开区间,闭区间,左闭右开区间,左开右闭区间,无穷区间,记作,3. 区间和邻域,定义,一、函数的概念,数集 D 称为定义域,定义,1. 函数的两要素,定义域,例1 判断下列各对函数是否相同？,相同,不同,(定义域不同),不同,(对应法则不同),相同,不同,(定义域不同),注意,对应法则,(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.,2. 定义域的确定,(1)根据实际问题,分式的分母不等于零,偶次根号内的式子应大于或等于零,对数的真数应大于零,例2 求下列函数的(自然)定义域。,解,故定义域为,因此，函数的定义域为,表格法,图形法,解析法(公式法),若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值
3、总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数,3. 单值函数与多值函数,4. 函数的表示方法,1. 单调性,二、函数的简单性质,定义,定义,例如 函数 y = x3 在 (-, +) 内单调增加。,函数y = 2x2+1 在区间(-, 0内单调减少,在区间0, +)内单调增加。,2. 有界性,定义,定义,例如 因为存在 M=1，使对任意 x(-,+)，有|sin x|1，故 y=sinx是(-,+)内的有界函数,3. 奇偶性,偶函数的图形关于y轴对称,定义,奇函数的图形关于原点对称,定义,例3 判断下列函数的奇偶性,偶函数,非奇非偶,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,4. 周期性,通常周
4、期函数的周期是指其最小正周期,定义,幂函数的定义域随 a 而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +)内总有定义,常见的幂函数及其图形,1. 幂函数,三、基本初等函数,幂函数图形都经过 (1, 1)点,定义域为(-, +) 值域为(0, +)， 都通过(0, 1)点 当 a 1 时，函数单调增加 当 0a1 时，函数单调减少,2. 指数函数,定义域为(0, +)图形通过(1, 0)点当 a1 时, 函数单调增加当 0a1 时, 函数单调减少,3. 对数函数,对数函数是指数函数 y = ax 的反函数,定义域均为(-, +)值域均为-1, 1均以2p为周期y=sin x 为奇函数，y=cos x
5、 为偶函数，它们都是有界函数,4. 三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5. 反三角函数,反正弦函数,定义域为-1, 1,函数单调增加，奇函数，是有界函数,反余弦函数,定义域为-1, 1,函数单调减少 是有界函数,反正切函数,定义域为(-, +),单调增加 奇函数 有界函数,反余切函数,定义域为(-, +),单调增加 有界函数,求 arcsin x 值的方法,例,类似地有,设函数 y=f(x) 的定义域为 D，值域为 Z。如果对于每个 yZ，存在唯一 xD，使 f(x)=y，则 x 是一个定义在 Z 上的函数，称为 y=f(x) 的反函数， 记为 x=f -1
6、(y),函数 y=f(x) 与函数 x=f -1(y) 是互为反函数,1. 反函数,四、反函数与复合函数,定义,直接函数与反函数的图形关于直线 对称,在(-, +)内，y=x2 没有反函数,若 f 在 D 上单调，则 y(x) 的反函数必定存在，并且在 f(D) 上也单调,在(0, +)内 y=x2 有反函数,在(-, 0)内 y=x2 有反函数,例如,可看作由,复合而成,注 不是任何函数都可以复合成一个函数,设 y = f(u) = arcsin u，u = g(x) = 2+x2 ，,但是不能复合,2. 复合函数,例4 设 f(x) 的定义域为0, 1，问：(1) f(x2)，(2) f(
7、x+a) (a0) 的定义域各是什么？,所以 f(x+a) 的定义域为 -a, 1-a,(2) 令 0 x+a 1，得 -a x 1-a，,所以 f(x2) 的定义域为 -1, 1,(1) 令 0 x2 1，得 -1 x 1，,解,注意复合次序,把复杂的函数分解为几个简单函数的复合或四则运算,在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的,式子来表示的函数，称为分段函数.,1. 分段函数,五、初等函数,定义,其定义域为,也是分段函数,解,例5,(1) 符号函数,几个分段函数的例子,(2) 绝对值函数,(3) 取整函数,x 表示不超过 x 的最大整数,取整函数性质,(4) 狄利克雷函数,任何正有理数都是它的周期，所以它没有最小正周期,2. 初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。,由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合运算所得到的，并且可由一个式子表示的函数统称为初等函数.,定义,本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数，但也有是的,
