1、1,第五章 格与布尔代数1.格2.布尔代数,2,1.格格的定义 格的性质 模格分配格 有界格和有补格,3,1.格定义1.格(lattice)设 (L, , )是代数系统， 和 是 L上的两个二元运算。若 运算和 运算满足(1) 结合律：(ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc)； (2) 交换律： ab=ba, ab=ba； (3) 幂等律： aa=a, aa=a； (4) 吸收律： a(ab)=a, a (ab)=a； 则称 (L, , )是格(代数格)。注：验证格要先验证两个二元运算 和 的封闭性；从格的定义可以看到格这种代数系统和环、域这些代数系统有着很大的不同。,4,格中的两个二
2、元运算的性质具有对称性。即一个运算所具有的性质，另一个也有，反之亦然。这正是格这种代数系统的特点。格中的许多性质均与此种特点有关。例1. 集合代数(2X, ) 是格。 由第一章知和都是2X上的二元运算，由第一章2定理2知： (1) 和运算分别满足结合律； (2) 和运算分别满足交换律； (3) 和运算分别满足幂等律； (4) 和运算分别满足吸收律； 所以，由格的定义知 (2X, )是格。,5,例2. 命题代数(, ,) 是格 。和可看作是上的两个二元运算； (1)结合律：(pq)rp(qr) ， (pq)rp(qr) ； (2)交换律：pqqp， pqqp ； (3)幂等律：ppp， ppp
3、； (4)吸收律：p(pq)p ， p(pq)p ； 所以，由格的定义知(, ,)是格。例3. (I, , )是格。I是整数集合, 和是I上的取小、取大运算。即, a,bI, ab=mina,b, ab=maxa,b 。于是和都是I上的二元运算，(I, , ) 是代数系统。 (1)结合律：由于 a,b,cI，有 (a b) c=minmina,b,c=mina,b,c a (b c)=mina,minb,c=mina,b,c,6,所以 (a b) c= a (b c)又有 (a b) c=maxmaxa,b,c=maxa,b,c a (b c)=maxa,maxb,c=maxa,b,c 所以
4、(a b) c= a (b c) 故 运算和 运算满足结合律 ； (2)交换律： 由于 a,bI，有 a b=mina,b=minb,a=b a a b=maxa,b=maxb,a=b a 故 运算和 运算满足交换律 ； (3)幂等律：由于 aI，有 a a=mina,a= a a a=maxa,a=a 故 运算和 运算满足幂等律；(4)吸收律：由于 a,bI，有,7,a(ab)=mina, maxa,b=aa(ab)=maxa,mina,b=a 故 运算和 运算满足吸收律；所以，由格的定义知(I, , )是格。定理1. 设(L, , )是格。则a,bL，ab=a ab=b 。 证. 先证)：
5、 ab= (ab)b (条件：ab=a )= b(ba) (交换律)= b (吸收律)次证)： ab= a(ab) (条件：ab=b) = a (吸收律) 。,8,定理2. 设(L, , )是格。定义二元关系 LL 如下：a,bL，ab ab=a 那么(1)是L上的一个半序关系 ，(L, ) 是一个半序集；(2)对于任何一对元素a,bL，其上、下确界都存在，且 LUB(a,b)= ab GLB (a,b)= ab 。 证.(1) 是L上的一个半序关系 是自反的：aL， aa=a (幂等律) aa ；是反对称的：a,bL，ab ba ab=a ba=b ab=a ab=b (交换律),9,a=a
6、b ab=b (等号交换律)a=b (等号传递律) ； 是传递的：a,b,cL，abbc ab=a bc=b ac=(ab)c (ab=a )=a(bc) (结合律)=ab (bc=b )=a (ab=a )ac ；(2)对于任何一对元素a,bL， 其上、下确界都存在。a,bL，LUB(a,b)= ab ：aab , bab ：,10,a(ab)=a (吸收律) aab ；b(ab)=b(ba) (交换律) =b (吸收律) bab；ac bc abc： ac bc ac=a bc=b ac=c bc=c (定理1) (ab)c= a (bc) (结合律) = ac (bc=c) = c (a
7、c=c) (ab)c= ab (定理1) abc；,11,a,bL，GLB(a,b)= ab ：aba , abb ：(ab)a =a(ba) (结合律)=a(ab) (交换律)=(aa)b (结合律)=ab (幂等律) aba ；(ab)b=a(bb) (结合律)=ab (幂等律) abb ；,12,ca cb cab ： ca cb ca=c cb=c c(ab) =(ca)b (结合律)=cb (ca=c)=c (cb=c) cab 。注： 称为是由运算诱导出的L上的半序关系， 称 是与格(L, , )伴随的关系； (L, )称为是与格(L, , )伴随集；根据定理1,半序关系也可由运算
8、诱导出来；a,bL， ab ab=a ab=b 。,13,引理1. 设(L, )是一半序集，是L上的半序关系。则 a,b,cL(1) GLB(GLB(a,b),c)=GLB(a,b,c)(2) GLB(a,GLB(b,c)=GLB(a,b,c)(3) LUB(LUB(a,b),c)=LUB(a,b,c) (4) LUB(a,LUB(b,c)=LUB(a,b,c) 证.只证(1) ,(3) (1)令：x = GLB(GLB(a,b),c)= GLB(z,c)y =GLB(a,b,c), z= GLB(a,b)；x y ：由x za , x zb, xc， 有xa , xb, xc， 有x y (
9、下确界y的最大性)；,14, yx ：由ya , yb, yc， 有yz (下确界z的最大性), yc， 有y x (下确界x的最大性) ；所以，由半序关系的反对称性，得到 xy ；(3)令：x = LUB(LUB(a,b),c)= LUB(z,c)y =LUB(a,b,c), z= LUB(a,b)；x y ：由ay, b y, cy ， 有zy (上确界z的最小性), cy ， 有x y (上确界x的最小性) ；yx ：由azx , bzx, cx ， 有ax , bx, cx ， 有yx (上确界y的最小性)；所以，由半序关系的反对称性，得到 xy 。,15,定理3. 设(L, )是一半
10、序集，是L上的半序关系。如果对于任何一对元素其上、下确界都存在，即a,bL， LUB(a,b)L， GLB (a,b)L ， 则 可以定义L上的两个二元运算 , : LLL 如下：a,bL， ab=GLB(a,b), ab=LUB(a,b) 那么(1) (L, , )是格；(2)格(L, , )的伴随关系与原半序关系重合(相等) 。 证.首先，(L, , )是代数系统后者唯一：由第二章6定理2知上、下确界若存在必唯一，因而 , 的运算结果是唯一的；封闭性：由已知条件和两个运算的定义可知,16,a,bL ab=GLB(a,b)L ，ab=LUB(a,b)L ；故 运算和 运算是封闭的 ；(1)
11、(L, , )是格结合律：根据引理1的(1),(2)，由于 a,b,cL，有 (a b) c= GLB(GLB(a,b),c)= GLB(a,b,c) a (b c)= GLB(a, GLB(b,c)= GLB(a,b,c) 所以 (a b) c= a (b c)又根据引理1的(3),(4) ，由于 a,b,cL，有 (a b) c= LUB(LUB(a,b),c)= LUB(a,b,c) a (b c)= LUB(a, LUB(b,c)= LUB(a,b,c) 所以 (a b) c= a (b c) 故 运算和 运算满足结合律 ；,17,交换律： 由于 a,bL，有 a b= GLB(a,b
12、)= GLB(b,a)=b a a b= LUB(a,b)= LUB(b,a)=b a故 运算和 运算满足交换律 ； 幂等律：由于 aL，有 a a= GLB(a,a)= a a a= LUB(a,a)=a 故 运算和 运算满足幂等律；吸收律：由于 a,bL，有a(ab)= GLB(a, LUB(a,b)=a (因aLUB(a,b)a(ab)= LUB(a, GLB(a,b)=a (因GLB(a,b)a)故 运算和 运算满足吸收律；所以，由格的定义知(L, , )是格。,18,(2) = a,bL，(a,b) ab ab=a (定理2的定义) GLB(a,b)= a (定理3的定义) a b
13、(因 GLB(a,b) b)(a,b)所以 = 。定义1.(半序格) 设(L,) 是半序集，是L上的半序关系。若L中任意两个元素都有上、下确界存在，即a,bL， LUB(a,b)L， GLB (a,b)L ， 则称(L,) 是格(半序格) 。,19,例4. (2X , )是(半序)格包含关系是集合上的半序关系(第一章1定理1)；其次A,B2X，都有LUB(A,B)=AB2X (第一章2定理2(3)(3)；GLB (A,B)=A B2X (第一章2定理2(3)(3)；所以，根据定义1可知， (2X , )是格。注：由于定义1和定义1的等价性，以后关于格，既可以用 (L, , ) 表示，也可以用
14、(L, ) 表示； 当用 (L, , )表示格时，半序关系是用 a b=a 或 a b=b 定义的； 当用(L, ) 表示格时，两个运算是用 a b = GLBa,b 及 a b = LUBa,b 定义的；更多的时候则用(L, , ) 表示格，即将格中的代数性质和序性质都表示出来，这样就将格的性质描述的比较全面了； 例如 (2X ,)是格，(2X , )也是格，且是同一个格，因此通常用(2X ，)表示这个格。,20,定理4.设(L, , ) 是格。则a,bL， ab ab=a ab=b 。 证. 根据定理1的注， 有ab ab=a ab=b 根据定理3， 有 = 因此， 得到 ab ab=a
15、ab=b 。例5. (N, GCD, LCM )是格；且其伴随关系是整除关系 | 。这里： N 为自然数集合，a,bN, GCDa,b= a和b最大公约数LCMa,b= a和b最小公倍数,21,由于两个自然数的最大公约数和最小公倍数是唯一的，且为自然数，故 和 是N上的两个二元运算。 (1)a,b,cN，由于有 GCDGCDa,b,c=GCDa,b,c=GCDa,GCDb,c LCMLCMa,b,c= LCMa,b,cLCMa, LCMb,c故GCD运算和GCD运算满足结合律。 (2)a,bN，由于有 GCDa,b= GCDb,a LCM a,b= LCM b,a 故GCD运算和LCM运算满足
16、交换律。 (3)aN，由于有 GCDa,a = a LCMa,a = a 故GCD运算和LCM运算满足幂等律。,22,(4)a,bN，由于有 GCDa, LCMa,b= a LCMa, GCDa,b= a 故GCD运算和LCM运算满足吸收律。 由格的定义1知 (N, GCD, LCM)是格(代数格)。根据定理2，其伴随关系 NN的定义 如下：a,b N ，ab GCDa,b=a LCMa,b=b 从而可得 ab a |b a整除b 。因此，格(N, GCD, LCM)的伴随关系就是N上的整除关系| 。例6. (N, |)是格；由关系 | 诱导出的运算是GCD, LCM 。 N 为自然数集合，
17、|是N上的整除关系。,23,(1)自反性：aN,1N,a=a1a|a；(2)反对称性：a,bN，a|bb|ar,kN, b=ara=bka=b (因a=bk=(ar)k=a(rk)rk=1r=k=1) ；(3)传递性：a,b,cN，a|bb|cr,kN, b=arc=bk (rk)N, c=bk=(ar)k=a(rk) a|c；其次，要证 N中任意两个元素的上、下确界都存在。即 a,bL， LUB(a,b)=LCMa,bNGLB(a,b)=GCDa,bN,24,任何两个自然数a,b的最大公约数GCDa,b，最小公倍数LCMa,b都存在唯一且是自然数。因此， 只须证明 a,bN， LUB(a,b
18、)LCMa,bGLB (a,b)=GCDa,b 即可。(1)GLB(a,b)GCDa,b。设= GCDa,b(a)下界：由于是a，b的最大公约数，于是有|a 且|b，故是a，b的一个下界；(b)最大性：若是a，b另一下界，则有|a且|b ，故是a，b的一个公约数。由最大公约数的定义知有| ，故是a，b的最大下界。由(a) (b)可知GLBa,b= GCDa,b。,25,(2) LUB(a,b)LCMa,b。设 = LCMa,b(a)上界：由于是a，b的最小公倍数，于是有a| 且b| ，故是a，b的一个上界；(b)最小性：若 是a，b另一上界，则有a|且b| ，故是a，b的一个公倍数。由最小公倍
19、数的定义知有| ，故是a，b的最小上界。由(a) (b)可知LUBa,b= LCMa,b。由格的定义1知(N, |)是格(半序格) 。由定理3，由 |诱导出的N上的两个二元运算 , : LLL 的定义如下：a,bL， ab=GLB(a,b), ab=LUB(a,b) 而由上面的证明可知 ab=GCDa,b, ab=LCMa,b。因此，由关系|诱导出的两个运算就是GCD, LCM 。,26,注：由例5和例6可知，如果将求最大公约数和求最小公倍数作为N上的两个二元运算，则其伴随关系就是N上的整除关系。因此，根据定理2可知，整除关系是半序关系，且任两个元素的上确界就是它们的最小公倍数，任两个元素的下
20、确界就是它们的最大公约数;反之，若在N上定义一个整除关系，则此关系是一个半序关系，且任两个元素的上确界就是它们的最小公倍数，任两个元素的下确界就是它们的最大公约数。由其诱导出的两个二元运算就是求最大公约数和求最小公倍数.因此，根据定理3可知，这两个二元运算满足结合律、交换律、幂等律、吸收律; 这两个例子验证了定义1和定义1的等价性; 通常将此格记为(N, | , GCD, LCM).对偶原理(duality principle): 设 (L, , )是格， 是的逆关系。则(1)在格(L, , )中实行：将 换成 ；将 换成 ；将 换成 ；得到的(L, , ,)仍是一格；,27,(2)若T是原格
21、中某个已经证明的定理，那么在定理T的条件和结论中实行：将 换成 ；将 换成 ；将 换成 ； 由此所得到的新的定理T在原格中仍然成立。 证. 格中的对偶原理实质上来源于两个二元运算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律的对称性以及半序关系和其逆关系的对称性。注：格(L, , ,)称为原格(L, , )的对偶格。实际上，它们互为对偶；定理T称为原定理T的对偶定理。实际上，它们互为对偶；定理5.(运算的保序性)设(L, , )是格。a,b,cL，(1)a ba c b c ； (2)a b a c b c；,28,证. 只证(1)(ac) (b c)=(a b) (c c) (的结合律、交换律
22、)=(a b) c (的幂等律)= a c (由条件a b从定理4)a c b c (定理4)定理6.(分配不等式) 设(L, , )是格。a,b,cL， (1)a (b c) (a b) (a c)； (2)(a b) (a c) a (b c) 。 证. 只证(1)由上确界是上界的性质得：a a b , a a c由下确界的最大性得：a (a b) (a c) ,29,又由下确界是下界、上确界是上界的性质得：b c b a b , b c c a c由半序关系的传递性得：b ca b, b ca c再次由下确界的最大性得：b c (a b) (a c) 最后由 、，利用上确界的最小性得：a
23、 (b c) (a b) (a c) 。定理7.(模不等式) 设(L, , )是格。a,b,cL， (1) ( a b) (a c) a ( b (a c)； (2)a (b (a c) ) (a b) (a c) 。 证. 只证(1),30,由下确界是下界、上确界是上界的性质得：a b a , a b b b (a c)由半序关系的传递性得：a b b (a c) 由下确界的最大性得：a b a (b (a c) 同理，由下确界是下界、上确界是上界的性质得：a c a , a c b (a c)由下确界的最大性得：a c a (b (a c) 最后由 、，利用上确界的最小性得：( a b)
24、(a c) a ( b (a c) 。,31,定义2.模律(modular law) 设(X, )是代数系统。 和是X上的两个二元运算。若a,b,cL，都有 (1) ( a b) (a c) = a ( b (a c) (2) (a b) (a c) =a (b (a c) 则称运算和运算满足模律。定义3.模格(modular lattice) 设(L, , )是格。若运算和运算满足模律，则称(L, , )为模格。定理8. 设(L, , )是格。(L, , )是模格a,b,cL，a c a (b c) = (a b) c 。,32,证. )： (L, , )是模格 a (b (a c) = (
25、a b) (a c) (模律2) a (b c) = (a b) c (定理4： a c a c =c )：只证模律2)a a c (上确界是上界) a (b (a c ) = (a b) (a c)(利用条件： a c a (b c) = (a b) c )所以，(L, , )是模格。例7. (2X ， ，)是模格由例1已知(2X ， ，)是格。其次A,B,C2X，A C,33,A (B C) = (A B) (A C) (分配律)= (A B) C (A C A C = C)所以，根据定理8可知， (2X ， ，)是模格。例8.如图1所示的(L, )是模格。根据定义1易知(L, )是格。它
26、有12个序组：a0 a0 ， a0 a1 ， a0 a2 ， a0 a3 ， a0 a4 ， a1 a1 ， a2 a2 ， a2 a1 ， a3 a3 ， a3 a1 ， a4 a4 ， a4 a1，在这些序组下， 定理8的充分 必要条件：a c a (b c) = (a b) c,34,中b有5个取值，共计需验证125=60个等式。象征性的验证一个等式： a0 a1 ， b= a4 ，这时a (b c)= a0 (a4 a1)= a0 a4= a4 (a b) c= (a0 a4) a1= a4 a1= a4 即 a (b c)= (a b) c所以，根据定理8可知，如图1所示的(L, )
27、是模格。例9.如图2所示的(L, )不是模格。根据定义1易知(L, )是格。但是，在序组b2 b3 下，取 b= b4 ，这时a (b c)= b2 (b4 b3)= b2 b0= b2,35,(a b) c= (b2 b4) b3= b1 b3= b3 即 a (b c) (a b) c所以，根据定理8可知，如图1所示的(L, )不是模格。定义4. 分配格(distributive lattice) 设(L, , )是格。若运算和运算满足分配律，即a,b,cL， (1) a (b c) = (a b) (a c) ； (2) a (b c) = (a b) (a c) ； 则称(L, , )
28、 是分配格。例10. (2X ， ，)是分配格。由例1已知(2X ， ，)是格。其次，由第一章2定理2(7)知， 运算和运算满足,36,分配律，即 A,B,C2X，有:A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 所以，由定义4知(2X ， ，)是分配格。例11. (N, | , GCD, LCM)是分配格。由例5和例6已知(N, | , GCD, LCM)是格。其次，GCD运算和LCM运算满足分配律，即a,b,cN，有:(1)GCDa,LCMb,c=LCMGCDa,b,GCDa,c； (2)LCMa,GCDb,c=GCDLCMa,b,LCMa,c；只
29、证(1)设：GCDa,LCMb,c= GCDa, ,37, = LCMGCDa,b,GCDa,c = LCM, 其中： = LCMb,c ， = GCDa,b ， = GCDa,c 先证：|设b=b1d，c=c1d，于是有 = LCMb,c = b1c1d (并且GCDb1, c1=1)。又由 GCDa, ，有|a， |，故可设 b2c2d (这里b2|b1 ，c2|c1 ， d|d ，且GCDb2, c2=1)，从而有a = a1 = b2c2da1， b=b1d= b2db，c=c1d = c2dc，所以 = GCDa,b= b2dGCDc2a1,b= b2d = GCDa,c= c2dG
30、CDb2a1,c= c2d故此 = LCM , = b2c2d LCM, (因为 GCDb2, c2=1)= b2c2d = 所以|；,38,次证：| (|a|b)(|a|c)(因 = GCDa,b ， = GCDa,c)(|a|a)(|b|c) (的结合律、交换律) LCM,|a LCM,| LCMb,c (最小公倍数的最小性、保序性)|a| (因 =LCM, ， = LCMb,c)|GCDa, (最大公约数的最大性)| (因=GCDa, )；最后，由|是半序关系，具有反对称性可知= 所以，由定义4知(N, | , GCD, LCM)是分配格。证明完毕。,例12. 例8图1所示的格(L, )
31、不是分配格 。因为 a(bc)=a2(a3a4)=a2a0=a2 (ab)(ac)=(a2a3)(a2a4)=a1a1=a1 即 a(bc)(ab)(ac)所以，根据定义4知(L,)不是分配格 。,40,例13. 例9图2所示的格(L, )不是分配格 。因为 a(bc)=b2 (b3b4)=b2 b0=b2 (ab)(ac)=(b2 b3)(b2 b4)=b3 b1=b3 即 a (bc)(ab)(ac)所以，根据定义4知(L,)不是分配格 。,41,结论. 一个格不是分配格它有与图1或图2所示的格同构的子格； 或者：一个格是分配格它没有与图1和图2所示的格同构的子格。定理9.分配格一定是模格
32、。即(L, , )是分配格(L, , )是模格。 证. a,b,cL， a (b c) = (a b) (a c) (分配律)= (a b) c (a c a c= c )所以，由模格的定义3可知， (L, , )是模格。,42,定理10.分配格一定有消去律。即若(L, , )是分配格，则 a,b,cL， 证. a,b,cL，b=b (b a) (吸收律) =b (a b) (交换律) =b (a c) (条件：a b= a c)= (b a) (b c) (分配律)= (a b) (b c) (交换律)= (a c) (b c) (条件：a b= a c)= (a b) c (分配律)= (
33、a c) c (a b= a c)=c (吸收律) 所以，结论成立。,43,定理11.全序格一定是分配格。即， 若(L, , )是格，并且是L上的全序关系，则 (L, , )是分配格。 证. 由条件知是L上的全序关系，故L中任两元素均是可比较的。因此a,b,cL ， 3个元素之间的全序关系有3!=6种情况，这6种情况按全序关系可合并为如下的4种情况：(1)ab且ac (包含abc, acb)(2)ba且ca (包含bca, cba)(3)bac(4)cab在每种情况下 都易证分配律是成立的。例如：,44,(1)当ab且ac时有a (b c) = a (由定理4，因为abb c)=a a (幂等
34、律) =(a b) (a c) (由定理4，因为ab,ac)；a (b c)= b c (从ab,ac可知a是 b和c的一个下界，于是由b和c的下确界b c的最大性可得ab c )(a b) (a c) (因为ab,ac) ； (3)当bac时有a (b c) = a (由定理4，因为acb c)= b a (由定理4，因为ba) =(a b) (a c) (由定理4，因为ba,ac)；a (b c)=a (由定理4，因为b cba)= a c (由定理4，因为ac)(a b) (a c) (因为ba,ac) ； 所以由分配格的定义4知是分配格。,45,例14. (X, min, max )是
35、分配格。这里：X0,1为实数闭区间 ，为实数间的小于或等于关系。由于 a,bX ，有 GLBa,b = mina,bX LUBa,b = maxa,bX 故定义1可知(X, )是格。因此，格上的两个运算为：a,bX ， a*b = mina,b，a b = maxa,b 。 由于任意两个实数均能比较大小，故此格中的半序关系为全序关系。由定理11知格(X, , , )是分配格， 记其为(X, , min, max )。,46,定义5. 有界格(bounded lattice) 存在着最小元和最大元的格称为有界格。即设 ( L , , , )是格，若(x0L)(aL)(x0a)(y0L)(aL)(
36、ay0) ，则称格( L , , , )是有界格。注：格中的最小元x0 通常记为0；格中的最大元y0 通常记为1； (aL)(0a 1)；有界格通常记为(L,0,1)。例15. (2X , ,X)是有界格。 根据例1已知(2X , ,)是格；又由于A2X ，有A，故2X存在是此格的最小元；有AX，故X2X存在是此格的最大元；因此，根据定义5可知，(2X , ,X)是有界格。,47,例16. (0,1, min, max,0,1 )是有界格。例14已证(0,1, min, max )是格，而且这是一个无限格。由于在此格中有最小元0，有最大元1，故此由有界格的 定义5知(0,1, min, max
37、,0,1 )是有界格。注：这说明有限格一定是有界格；但无限格不一定是有界格。 无限格也可能是有界格；因此无限格不是有界格的必然否决条件。例17. (N, | , GCD, LCM)不是有界格。由例5和例6已知(N, | , GCD, LCM)是格，而且这是一个无限格。 这不是有界格，因为在此格中无最大元。定义6. 有补格(complemented lattice)每个元素都有补元存在的有界格称为有补格。即,48,设 ( L , , , ,0,1 )是有界格，若 (aL)(bL)(a b= 0) (a b=1) ，则称有界格( L , , , ,0,1 )是有补格。注：对于元素aL，若存在着元素
38、bL，使得a b= 0 且a b=1 则称b是a的补元(complement element)。 a的补元通常记为a,于是有a=b或b=a，并且a a = 0 且a a =1 (互补律) ； 若b是a的补元，则显然a也是b的补元，从而a与b互为补元，即补元是相互的； 群无补元，只有逆元。因为它只有一个运算。,49,例18. (S24, | , GCD, LCM,1,24)不是有补格。这里：S24是由24的所有乘法因子所组成的集合。由右图可知 ( S24, | , GCD, LCM, 1, 24 ) 是格(|是半序，任意 两个元素的上下确界存在，就是 LCM和GCD)。而且它是一个有界格 ，其最
39、大元为24，最小元为1。此格中各元的补元如下表：,表1,50,例19.例8图1所示的格(L, )是有补格 。由例8已知右图是格。并且 此格显然是有界格，其最小 元是a0，最大元是a1。此格中各元的补元如下表：,表2,51,例20. (2X , , ,X)是有补格。由例15已知(2X , ,X)是有界格。 最小元为 ，最大元为X 。 由例10已知此格是分配格。 根据第一章2定理2(2)知：A2X，A2X，使 AA = 且 AA = X 故在此格中每个元素均有唯一的补元，由有补格的定义6知此格是有补格。注： 有界格中，每个元素的补元不一定是唯一的;由例18知：当补元唯一时，有界格似乎同时是分配格；
40、 由例19知：当补元不唯一时，有界格似乎同时不是分配格。,52,定理12.有界的分配格中补元是唯一的。即设( L , , , ,0,1 )是有界的分配格。对任意元素aL，若a有补元，则a的补元是唯一的。 证. aL，b,cLb是a的补元 c是a的补元(ab= 0=ac) (a b=1=a c)b=c (根据定理10：分配格有消去律)注： 有界格在有分配律时，补元有唯一性；但并不能保证补元的存在性；只有在有补的分配格中，补元才是唯一存在的；在有补的分配格中，每个元素的补元是唯一存在的。因此可以将对每个元素的求补定义为格L上的一个一元运算，通常将这个运算记为 : LL , xL , (x)=x因此，今后 将有补的分配格记为 ： ( L , , , , , 0,1 ) 例如 (2X , , , , ,X)是有补的分配格，即集合代数。,
