1、第6章：控制系统计算机辅助设计,控制系统计算机辅助设计（CAD）即在给定的被控对象数学模型及系统性能指标条件下，设计能够达到给定性能指标要求的控制器，也就是确定控制器的结构和参数。,6.1 PID控制器的设计,本节主要介绍PID控制器的Ziegler-Nichols经验整定方法的MATLAB设计方法。 6.1.1PID控制基本原理 PID控制器的连续表达式,或者,连续PID的传递函数模型为：,或,在设计上为了避免微分运算，通常一个超前的一阶环节去近似微分环节， 此时PID控制器如下所示：,5.1.2 比例（P）控制及性能分析,比例控制器的传递函数为：,某单位反馈系统开环传递函数为：,=1、4、
2、10、50时的单位阶跃响应曲线为：,从图中可以看出，随着比例系数的增加，闭环系统稳态误差减小、 上升时间缩短、调节次数增大，最大超调量增大，而且闭环系 统稳态误差无法消除。,6.1.3 比例积分（PI）控制及性能分析,PI控制器的传递函数为,或,已知某单位反馈系统开环传递函数为：,如果采用比例积分（PI）控制器进行调节，比例系数分别为：,积分系数 =0.2,0.8,1.4,2.0,5时的单位阶跃响应曲线,从图中可以看出，随着积分系数的增大（或者说积分时间常数的减小）， 闭环系统响应速度加快，调节次数增加、最大超调量增大，稳定性变差。 同时由于积分环节的存在，闭环系统稳态为零。,6.1.4 比例
3、微分（PD）控制及性能分析,PD控制器传递函数为：,或,已知某单位反馈系统开环传递函数为：,如果采用比例微分（PD）控制器进行调节 ,取,=0.2,1.5,3.2,10时的单位阶跃响应曲线 如下图所示,从图中可以看出，随着微分系数的增大，闭环系统上升时间减小、响应速度加快， 同时比例微分控制无法消除稳态误差。,6.1.5 PID控制器的设计,1 Ziegler-Nichols整定方法,Ziegler（齐格勒）和Nichols（尼克尔斯）于1942提出了PID参数的经验整定公式。 其适用对象为带有延迟环节的一节惯性环节，即：,PID参数的Ziegler-Nichols经验整定公式,Ziegler
4、-Nichols整定的时域分析方法根据给定对象时域响应来确定PID控制器的参数。在已知被控对象数学模型或通过实验获取被控对象的单位阶跃响应，如果单位阶跃响应曲线看起来近似一条S形曲线，则可用Ziegler-Nichols经验整定公式，否则，该公式不适用。,使用Ziegler-Nichols整定公式时的注意事项：,如果被控对象不含有纯延迟环节，就不能够通过Ziegler-Nichols时域整定公式进行PID参数的整定，此时可求取被控对象的频裕响应数据。 如果被控对象含有纯延迟环节，可通过pade命令将纯延迟环节近似为一个四阶传递函数模型。其中Kc为被控对象幅值裕度 ，wc为截止频率（或剪切频率）
5、,。,【例题】已知某被控对象传递函数为:试利用Ziegler-Nichols经验整定公式分别设计P、PI、PID控制器，并求其单位阶跃响应曲线。,解：设计上述P、PI、PID控制器的 MALTAB命令如下： num=10; den=conv(1 0,conv(0.01 1,0.025 1); G=tf(num,den); s=tf(s); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G);% 计算频域响应参数，增益裕量Gm和剪切频率Wcp Tc=2*pi/Wcp; %计算剪切频率对应的时间周期Tc %P控制器 PKp=0.5*Gm; %频率响应整定法计算P控制器 sys1=feedback(PK
6、p*G,1,-1); step(sys1,k-) %绘制闭环阶跃响应曲线 hold on gtext(P),pause,%PI控制器 PIKp=0.4*Gm; %频率响应整定法计算PI控制器 PITi=0.8*Tc; PIGc=PIKp*(1+1/(PITi*s); sys2=feedback(PIGc*G,1,-1); step(sys2,b:),hold on %绘制闭环阶跃响应曲线 gtext(PI),pause %PID控制器 PIDKp=0.6*Gm; %频率响应整定法计算PID控制器 PIDTi=0.5*Tc; PIDTd=0.12*Tc; PIDGc=PIDKp*(1+1/(PI
7、DTi*s)+PIDTd*s);%/(PIDTd/10)*s+1) sys3=feedback(PIDGc*G,1,-1) step(sys3,g-),hold on %绘制闭环阶跃响应曲线，线形为绿色虚线 gtext(PID) title(P、PI、PID控制单位阶跃响应) xlabel(时间),ylabel(幅值) 由上述命令可得P、PI、PID控制器作用下，系统的阶跃响应曲线如下图所示。,6.2 串联超前校正器设计,利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。根据超前网络的频率特性，将其产生最大相角的交接频率选择待校正系统的截止频率的两旁，并适当选择参数就可以使校正
8、系统的截止频率和相角裕度满足设计要求，从而改善闭环系统的动态性能。,6.2.1 超前校正网络的基本特性,超前校正网络的等效RC电路如下图所示，其传递函数为：,进行串联校正时，系统的开环增益要下降倍，因此需要增加一个开环增益为 的放大器补偿超前校正网络引入代理的增益下降。所以实际使用中带增益补偿的超前校正网络传递函数为：,根据上式可绘制其对数频率特性曲线。取a=1.5、2.0、2.5三个值，取T=0.2可得串联超前校正网络的频率特性如下图所示。,为了充分发挥超前网络相角补偿的作用，应调节参数a和T将串联超前校正器最大超前角频率设置校正后系统的期望剪切频率附近。校正器产生相角的最大超前角频率为,并
9、求得最大超前角：,在最大超前角时，对应的对数幅频值为：,第一步：根据系统稳态误差要求，求出系统开环增益。 第二步：根据求得的开环增益，借助margin命令绘制系统的绘制系统校正前的Bode图，并计算校正前系统的增益裕量Gm，相位裕量Pm和剪切频率Wc1。检验这些指标是否符合要求。如果不符合则进行下一步。 第三步：计算要增加的最大相角超前量，即：,6.2.2 串联超前校正器的Bode图设计,P0是校正后期望的相位裕量，Pm是校正前的相位裕量 ， 510度是为了补偿校正后剪切频率的移动带来的原系统 相位的滞后。,第四步：再由最大相位超前量计算超前校正网络的即：第五步：确定系统校正后的剪切频率 。串
10、联了超前校正网络以后的对数幅频特性曲线相当于是校正前系统对数幅频特性值加上一个的数值 （对应的校正后幅频特性曲线上移 ），串联超前校正网络以后的相频特性曲线相当于是校正前系统相频特性值加上一个 （对应的校正后相频特性曲线上移 ） 。因此校正后的剪切频率 应选在系统校正前幅值为,示意图如下,求校正后系统剪切频率，可以采用MATLAB中的插值函数yi=spline(x,y,xi)来计算。Spline函数基本用法是：在yi=spline(x,y,xi)中，y与x是满足某函数关系yf（x）的对应向量，即xx1,x2,xn，yy1,y2,yn。现已知xi为区间x1,xn中某数值，利用函数yi=splin
11、e(x,y,xi)可求得对应xi的y值yi。,因为校正后期望剪切频率 Wc2发生在超前校正网络最大超前角频率 Wm，因此可得：,进因可得超前校正器传递函数；,第六步：求超前校正器传递函数中的T,第七步：在系统中串联一个增益为a的放大器，可补偿超前校正器引入带来的增益损失，则超前校正网络可写成：,第八步：根据校正后系统的开环传递函数绘制系统的bode图， 验证系统性能指标。其中校正后系统开环传递函数为：,第九步：绘制闭环系统单位阶跃响应曲线，观察系统性能。,例题,已知某单位负反馈系统被控对象的传递函数为；,设计一个超前校正网络 使系统满足如下要求： （1）单位斜坡输入作用下，系统稳态误差小于0.
12、001； （2）校正后系统的相位裕量Pm范围是：4050,解：首先求取满足稳态误差要求的开环增益：对于I型系统在单位斜坡信号作用下系统的稳态误差为：,用下面绘制MATLAB命令绘制系统bode图并求取其频域指标。s=tf(s) %生成拉普拉斯变量s G=1000/(s*(2*s+1)*(0.02*s+1); %生成开环传递函数 margin(G) %绘制Bode图，计算并显示出增益裕量Gm及其穿越频率wg。 相位裕量Pm及其剪切频率wc grid,所以可得到系统开环增益K1000。取K1000。此时可得 被控对象开环传递函数为：,由图5-14 看出，系统 幅值裕量Gm -5.93dB, 相角裕
13、量Pm-3.93度。 不满足系统 性能要求。 可进行如下 设计：,s=tf(s) %生成拉普拉斯变量s G=1000/(s*(0.2*s+1)*(0.002*s+1); %生成开环传递函数 %第三步，求超前校正器传递函数,根据已知条件Pm范围为40-50度，取校正后系统相位裕度Pm45度。 mag,phase,w=bode(G); %获得对数频率特性上每个频率w对应的对数幅值及相位角。 Gm,Pm=margin(G); %计算开环传递函数的幅值裕度和相角裕度 QWPm=45; %校正后期望相角裕量 FIm=QWPm-Pm+5 %计算最大相位超前 FIm=FIm*pi/180; %将角度表示的最
14、大相位超前转换为弧度。 alfa=(1+sin(FIm)/(1-sin(FIm); %计算校正器的alfa adb=20*log10(mag); %计算开环传递函数对应不同频率的对数幅值 am=10*log10(alfa); %计算对应校正后期望剪切频率处的开环传递函数的对数幅值。,wc2=spline(adb,w,-am); %利用线性插值函数求取对应am幅值处的频率（剪切频率wc2） T=1/(wc2*sqrt(alfa); %求超前校正器的时间常数T alfat=alfa*T; Gc=tf(alfa*T 1,T 1); %求带增益损失补偿的校正器传递函数 %第四步，求校正后系统开环传递函
15、数，并绘制Bode图， Gh=Gc*G; figure(2) margin(Gh) %绘制校正后系统Bode图 grid % 求取校正后闭环系统单位阶跃响应 sysb=feedback(Gh,1,-1); figure(3) step(sysb) grid title(校正后闭环系统单位阶跃响应) xlabel(时间) ylabel(幅值),由上述命令可得校正后系统的bode图如上图所示。从图中可以看出，系统的幅值裕量Gm=15.3dB，相角裕量Pm=42.6度,满足设计要求。闭环系统能构稳定。同时可得闭环系统单位负反馈阶跃响应曲线如图5-16所示。可见闭环系统性能良好，满足设计要求。,6.3
16、滞后校正器的设计,6.3.1 滞后校正网络的基本特性 滞后校正网络的等效RC电路如图所示，其传递函数为：,式中:,1，,通常称 为滞后网络的分度系数，表示滞后深度。,取T1，0.25，0.5，0.75三个值来观察滞后校正网络的对数频率特性曲线,命令如下： s=tf(s); T=1; for beta=0.25:0.25:0.75num=beta*T 1;den=T,1;Gc=tf(num,den);bode(Gc)hold onpause end grid gtext(beta=0.25) gtext(beta=0.5) gtext(beta=0.75),由图可以看出，采用滞后校正网络进行串联
17、校正时，主要利用其高频衰减特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕量。因此，力求避免最大滞后相角发生在已校正系统的开环截止频率 附近。所以在选择网络参数时，使网络的交接频率,1/,T远小于,，通常取,此时，滞后网络在,处产生的相角滞后为：,6.3.2 滞后校正网络的设计步骤,根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益K。 根据求得的开环增益K，画出系统校正前的Bode图，并计算系统校正前的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切频率wc1。检验这些指标是否符合要求，如果不符合要求，则进行下一步。,根据题目对校正之后系统的期望相位裕量P0，确定一个新的剪切频率wc2。其方法是：先由期望相位裕量P
18、0计算校正前系统在 处的相位角 ，即：再根据校正前系统相位角 计算出对应的频率。其Maltab程序为：,fic=-180+P0+5; %P0为期望相位裕量 mu,pu,w=bode(G0) %G0为受控对象传递函数，求对应频率向量的幅值和相角。 Wc2=spline(pu,w,fic); %计算期望剪切频率wc2的值。,式中：L(wc2)为校正前系统在剪切频率wc2处的对数幅值。,由新的剪切频率wc2求滞后校正器 中的 ：,确定滞后校正器 中的T。根据自动控制理论，1/T通常取,绘制系统经过滞后校正后的Bode图，并验证系统频域性能指标是否满足设计要求。 绘制闭环系统的阶跃响应曲线。,例题6.
19、2 滞后校正器的设计举例,第一步 ：根据系统对稳态误差要求，求系统开环增益。由已知条件，EssM=0.02V0,系统为一型系统，输入为斜坡信号，所以EssV0/KM=0.02V0,得：K=50,，取K50。 第二步，绘制系统校正前的Bode图和单位阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量Gm，相位裕量Pm，剪切频率Wc1,求校正前系统开环特性编程如下:,s=tf(s); G=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1); figure(1) margin(G) %绘制开环系统Bode图 figure(2) step(feedback(G,1) %绘制校正前系统闭环阶跃响应,由绘制的Bo
20、de图看出，相位裕 量不满足要求，由阶跃响应曲线 看出，系统在动态响应中不稳定， 处于振荡状态。,第三步，求滞后校正器传递函数。%取校正后系统相位裕量Pm46度，P0=46; %校正后系统相位裕量Pm46度，fic=-180+P0+5; 由相位裕量计算校正前系统的相位mu,pu,w=bode(G); wc2=spline(pu,w,fic); %求得对应fic相位处的频率 %以下求解wc2处的幅值，可用g1=spline(w,mu,wc2)代替 d1=conv(conv(1 0,0.2 1),0.01 1); %求得校正前系统开环分母多项式 na=polyval(50,j*wc2); %求得分
21、子多项式对应wc2处的幅值 da=polyval(d1,j*wc2); G0=na/da; g1=abs(G0); %求得对应wc2的复数G0的幅值（模值）,L=20*log10(g1); beta=10(L/20); 由新的剪切频率求beta值。 T=10/(beta*wc2); %求控制器的时间常数T。 betat=beta*T; Gc=tf(T,1,betat,1) %求控制器传递函数 figure(3) margin(Gc*G) %求校正后系统幅频特性 figure(4) step(feedback(Gc*G,1) 绘制系统闭环阶跃响应,6.4 串联滞后/超前校正器的设计,6.4.1串
22、联滞后/超前校正网络的特性 滞后-超前校正网络既有滞后校正器的高频衰减特性，又有超前校正网络的超前相位补偿作用，它不仅能提高系统的稳定性能，还可以减少调节量、加快系统的响应速度。滞后-超前校正网络的传递函数有滞后校正网络传递函数与超前校正网络传递函数串联而成。,利用下面MATLAB命令可观察滞后-超前校正网络的频率特性，设定,，,，,=0.1，,=10。MATLAB命令如下：,T1=40; beta=0.1; Gc1=tf(beta*T1,1,T1,1);%定义滞后校正器 T2=0.12; alfa=10; Gc2=tf(alfa*T2 1,T2 1);%求超前校正器传递函数 Gc=Gc1*G
23、c2; w=logspace(-3,3,1000) mag1,ph1=bode(Gc1.num1,Gc1.den1,w);%求滞后校正器频率特性数据 mag2,ph2=bode(Gc2.num1,Gc2.den1,w);%求超前校正器频率特性数据 mag,ph=bode(Gc.num1,Gc.den1,w);%求滞后-超前校正器频率特性数据 subplot(211) semilogx(w,20*log10(mag1),k-)% 绘制滞后校正器的幅频特性曲线 hold on semilogx(w,20*log10(mag2),r:)% 绘制超前校正器的幅频特性曲线 semilogx(w,20*l
24、og10(mag),b-)% 绘制滞后超前校正器的幅频特性曲线 title(对数幅频特性) xlabel(频率（弧度/秒）) ylabel(幅值(分贝),5.4.2 串联滞后/超前校正器设计步骤,借助MATLAB语言，在给定被控对象性能指标（稳态误差、相位裕量或剪切频率）后，滞后校正器的Bode图设计方法如下： （1）根据系统对稳态误差的要求，确定系统开环增益K。 （2）根据求得的开环增益K，绘制系统校正前的Bode图，并计算校正前系统性能指标是否满足要求，如果不符合，则进行第三步。 （3）确定滞后校正器的参数。滞后校正器传递函数为：,式中，1，应远小于校正前系统的剪切频率wc1。工程上一般选
25、择;,并且,（4）选择校正后系统的期望剪切频率wc2。要考虑到两点，一是在该期望剪切频率wc2处，使得原系统串联滞后校正器后的综合幅值衰减到0bB；二是在该期望剪切频率wc2处，超前校正器提供的相位超前量达到系统期望的相位裕量要求。,（5）超前校正器的设计。超前校正器传递函数为：,如果原系统串联滞后校正器后的幅值分贝值为L(wc2)，那么在原 系统串联滞后-超前校正器后，在系统期望剪切频率处，应该满足:,即：,同时，因为期望超前校正网络最大超前角频率wm发生在校正后系统剪切频率wc2处，即：,则，可得超前校正网络时间常数,（6）绘制系统经过滞后-超前校正后的Bode图，并验证频域指标是否符合要
26、求。 （7）绘制系统闭环阶跃响应曲线。,例题6-3：已知单位负反馈系统开环传递函数为：,试设计滞后超前校正器，使之满足： 1）在单位斜坡信号作用下，系统的速度误差系数Kv=10/s。 2）校正后系统相位裕量Pm范围：5060。 3）正后系统期望剪切频率,解：根据滞后超前校正网络设计基本方法，设计过程及MATLAB命令如下： %根据系统稳态误差要求，取开环增益K=10。 num=10; den=conv(1 0,conv(0.6 1,0.8 1); G=tf(num,den);%定义校正前系统开环传递函数 figure(1) margin(G);%绘制校正前系统的Bode图，并计算频域指标。,f
27、igure(2) step(feedback(G,1,-1);%求取校正前闭环系统阶跃响应曲线 title(校正前闭环系统阶跃响应) xlabel(时间) ylabel(幅值),grid,%以下进行滞后校正器的设计 wc2=2.5;%根据系统对校正后剪切频率的要求，取wc2=2.5，并且wc2可调。 Gm,Pm,wg1,wc1=margin(G);%求取校正前系统频域指标 beta=0.1; T1=100/(beta*wc1); Gc1=tf(beta*T1 1,T1,1);%求取滞后校正器传递函数 G1=Gc1*G;%求取原系统与滞后校正器串联后的传递函数模型 mag,pha,w=bode(
28、G1.num1,G1.den1); mag1=spline(w,mag,wc2);%求取原系统与滞后校正器串联后系统在wc2处的幅值 L=20*log10(mag1);%求取mag1的分贝值 alfa=10(-L/20);%求超前校正器参数alfa T2=1/(wc2*sqrt(alfa);%求超前校正器参数T Gc2=tf(alfa*T2 1,T2 1);%求超前校正器传递函数 Gk=Gc2*G1;%求取系统滞后-超前校正之后系统开环传递函数 figure(3) margin(Gk);%绘制系统滞后超前校正之后开环系统频域指标 figure(4) step(feedback(Gk,1,-1);%求取系统校正后闭环阶跃响应 title(校正后闭环系统阶跃响应) xlabel(时间) ylabel(幅值),grid,校正后系统Bode图,校正后闭环系统阶跃响应,The End,
