1、普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（六）理科数学第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集 ，集合 ， ，那么阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为 ，求出 ，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为 ，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题2. 已知复数 的共轭复数 ，则复数 的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得 后得到答案
2、【详解】则则复数 的虚部是故选【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。3. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等比数列 的公比为 ，利用 可以求出 ，再根据等比数列的前 项和公式可得到结果【详解】设等比数列 的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题4. 已知 ， 表示两个不同平面， ， 表示两条不同直线.对于下列两个命题：若 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；若 ， ，则“ ”是“ 且 ”的充要条件.判断正确的是（
3、 ）A. ，都是真命题 B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题 D. ，都是假命题【答案】B【解析】解：由 ， 表示两个不同平面，a，b 表示两条不同直线，知：若 b，a，则“ab”“a” ，反之， “a”推不出“ab” ，“ab”是“a”的充分不必要条件，故是真命题若 a，b，则“”“ 且 b” ，反之， “ 且 b” ，推不出“” ，“”是“ 且 b”的充分不必要条件，故是假命题故选：B5. 若 的展开式中 项的系数为 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次项定理可以求出 的二项展开式的通项为 ，令，求得 的值，根据 求得 ，利用基本不等
4、式即可求解【详解】 的二项展开式的通项为令 ，解得则则，当且仅当 时取等号，即 的最小值为故选【点睛】本题主要考查的是二次项定理，解题的关键是求出二项展开式的通项为，属于基础题6. 执行如图所示的算法框图，输出的 值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】第 1 次判断后 S=1，k=1，第 2 次判断后 S=2，k=2，第 3 次判断后 S=8，k=3，第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选 C.视频7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱【答
5、案】A【解析】【分析】作出几何体的直观图进行判断【详解】由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥故选【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案8. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】, , ,所以 ,选 D.9. 已知实数 ， 满足 ，若 的最小值为 ，则实数 的值为（ ）A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由 作出可
6、行域如图：联立 ，解得联立 ，解得化 为由图可知，当 时，直线过 时在 轴上的截距最大， 有最小值为 ，即当 时，直线过 时在 轴上的截距最大， 有最小值为 ，即综上所述，实数 的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对 进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解 的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题10. 设函数 ，给出下列四个命题：当 时， 是奇函数；当 ， 时，方程 只有一个实数根；函数 可能是 上的偶函数；方程 最多有两个实根.其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
7、析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】当 时，函数，则函数 是奇函数，故正确当 ， 时， 函数在 上是增函数，且值域为 ，则方程 只有一个实数根，故正确若函数 是 上的偶函数，则 ，即 ，不存在等式在上成立，故错误当 ， 时，方程 有三个实根： ，因此，方程 最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。11. 已知抛物线 ： ，焦点为 ，直线 ： ，点 ，线段 与抛物线 的交点为，
8、若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设 ， ，且 ，由 ，确定出 ， 的坐标，即可求得结果【详解】由抛物线 ： ，可得设 ， ，且，解得，故选【点睛】本题主要考查的是抛物线的标准方程，几何性质以及向量的坐标运算，属于中档题12. 已知 是函数 的导数，满足 ，且 ，设函数 的一个零点为 ，则以下正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出 的表达式，得到 的表达式，求出 和 的值，从而求出 的范围【详解】设则 满足，则 ，即在 上存在零点故选【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性以及函数零点的判定定理，构造出的函数尤为重要，最后运
9、用零点的存在定理进行判定第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上）13. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于直线 对称，则 的最小正值为_【答案】【解析】【分析】求出 平移后的解析式 ，根据余弦函数的对称轴公式列出方程解出【详解】将 向右平移 个单位长度后得到函数的图象关于直线 对称解得当 时， 取得最小正值为故答案为【点睛】本题主要考查的是函数 的图像变换以及三角函数的应用，易错点有两个方面：一是三角函数图象平移法则应用错误；二是不会利用对称轴进行转化，纠错方法是正确理解三角函数“左加右减，上加下减”的平移
10、法则，熟记正弦函数，余弦函数的对称轴求解方法，并通过训练提高应用能力14. 抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 ， ，那么直线 的斜率 的概率是_【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出满足直线 的斜率 的基本事件个数，由此得到答案【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 ， ，基本事件总数直线 的斜率满足直线 的斜率 的基本事件有：，共 个直线 的斜率 的概率故答案为【点睛】本题主要考查的是事件与概率和古典概型，应用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题。15. 、 分别为双曲线 左、右支上的点，设 是平行于 轴的单位向量，则 的最小值为_【答案】4【解析】
11、【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可【详解】由向量数量积的定义可知 即向量 在向量 上的投影 模长的乘积，故求 的最小值，即求 在 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知 的最小值为故答案为【点睛】本题有两个易错点：一是不理解向量投影的概念，导致无法求解；二是不能结合双曲线图象求解，突破方法是强化数形结合在解题中的应用。16. 已知数列 中，对任意的 若满足 （ 为常数） ，则称该数列为 阶等和数列，其中 为 阶公和；若满足 （ 为常数） ，则称该数列为阶等积数列，其中 为 阶公积.已知数列 为首项为 的 阶等和数列，且满足；数列 为公积为 的 阶等积数列，且 ，设
12、 为数列 的前项和，则 _【答案】【解析】试题分析：由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又 是 4 阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又 是 3 阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列 ，每 12 项的和循环一次，易求出，因此 中有 168 组循环结构，故，故填： 考点：1新定义问题；2数列求和三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 ， ， .（1）求 的最大值，并求此时 的值；（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ，
13、 ，满足 ， ， ，求的值.【答案】(1) ， 时， 的最大值为 (2) 【解析】【分析】利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得 ，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的 的值由中的解析式结合 求得 ，再由余弦定理求得 ，最后由正弦定理求得答案【详解】 （1） ，当 ， ，即 ， 时，的最大值为 .（2） ， ， ， ， ， ，在 中，由余弦定理得， ，在 中，由正弦定理得， .【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及正弦定理和余弦定理，在化简过程中注意辅助角公式的运用和求最值时的方法18. 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为矩形，
14、， 为的中点， .（1）求证： ；（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，利用面面垂直的性质先得到线面垂直 平面 ，从而得到线线垂直 ，利用线面垂直的判定得 平面 ，最后利用性质定理得到 ；第二问，法一：利用线面及三角形相似等知识判断出为直线 与平面 所成的角，再在三角形中利用余弦定理解题；法二：利用向量法先建立空间直角坐标系，利用夹角公式计算二面角的余弦值.试题解析：（）证明：连结 ,因 , 为 的中点故 .侧面
15、底面 平面 ， ， 平面 ， ，又 ，故 平面所以 （）解法一：在矩形 中，由（）得 ，所以 ，不妨设 则侧面 底面 ，底面 为矩形 平面 平面 为直线 与平面 所成的角 = ， = ， ， 为等边三角形，设 的中点为 ，连接 ，则在 中，过 作 ，交 于点 ，则 为二面角 的一个平面角。由于 = ， ，所以在 中， ，即二面角 的余弦值 解法二：取 的中点 ，以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 不妨设 ，则 ，所以 ， ， ， ，从而 ， .设平面 的法向量为 ，由 ，得，可取 同理，可取平面 的一个法向量为 于是 ，所以二面角 的余弦值为 考点：本题主要考
16、查：1.线面垂直的判定；2.二面角的求解.19. 为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取人，从女生中随机抽取 人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 总计男生女生总计（1）试判断能否有 的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出 人组成宣传小组.现从这 人中随机抽取 人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数的分布列和数学期望.【答案】(1) 没有 的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关(2)见解析【解析】【分析】将表中数据代入公式，对比对立性检验临
17、界值表，即可得到结论根据古典概型的计算方法计算出 可能的取值为 的概率，写出分布列，计算出期望即可【详解】 （1）因为 的观测值，所以没有 的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.（2）用分层抽样的方法抽取时抽取比例是 ，则抽取女生 人，抽取男生 人.依题意， 可能的取值为 ， ， .； ；.的分布列为：的数学期望为： .【点睛】本题主要考查的是统计案例和古典概型的计算方法，依据题意即可判断出结果，在求数学期望时不要漏掉情况，讨论出所有情况并计算。20. 已知椭圆 ： 经过点 ，且离心率为 ， ， 是椭圆 的左，右焦点.（1）求椭圆 的方程；（2）若点 ， 是椭圆上 关于 轴对称两点（ ， 不是
18、长轴的端点） ，点 是椭圆 上异于 ，的一点，且直线 ， 分别交 轴于点 ， ，求证：直线 与直线 的交点 在定圆上.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】将椭圆经过的点代入椭圆方程中，利用椭圆离心率得到 ， 的关系，求得椭圆 的方程将 ， ， 三点的坐标表示出来，然后表示出直线 ， 的方程，得到 ， 两点的坐标，所以 ，题目得证【详解】 （1）由条件得 ， ，所以椭圆 的方程为 .（2）设 ， ，则 ，直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ，同理可得 ，所以， ，所以， ，所以直线 与直线 交于点 在以 为直径的圆上.【点睛】本题主要考查的是圆锥曲线点在定圆上，其方法是设而不求，给出点坐标
19、，用含点坐标表示出直线方程，为证明点在定圆上则做出向量的点乘证明垂直，通过几何意义得出圆，本题有一定的计算量。21. 设 ， .（1）如果存在 使得 成立，求满足上述条件的最大整数 ；（2）如果对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）存在 使得 成立转化等价于 ；（2）对于任意的 ，都有 成立，等价于 ，进一步利用分类参数法，即可求解实数 的取值范围试题解析：（1）存在 使得 成立，等价于由 ，得 ，故 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，故 ，则满足条件的最大整数（2）依题有，在 上函数由（1）可知，在 上，在 上， 恒成立等价于 恒成立
20、设 可知， 在 上是减函数，又 ，所以当 时， ，当 时，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即实数 的取值范围为考点：利用导数研究函数的最值；函数的恒成立问题的求解【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、函数的恒成立问题的求解，解答中把存在 使得 成立转化等价于和对于任意的 ，都有 成立，等价于 是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，属于中档试题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以
21、坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， .（1）求 的直角坐标方程；（2）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，求 与 的公共点的极坐标.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用公式 化简极坐标方程得到 ；（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为 的直线，将 代入 ，解得： ，故公共点的极坐标为 .试题解析：（1）将 代入 得： .（2）由题设可知， 是过坐标原点，倾斜角为 的直线，因此 的极坐标方程为 划 ，将 代入 ，解得： ，将 代入 得 ，不合题意，故 公共点的极坐标为 考点：坐标系与参数方程.23. 选修 4-5：不等式选讲设 ， ， 均为实数.（1）证明： ， .（2）若 .证明： .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据两角和余弦公式和绝对值的性质 及即可证明；（2）由（1）得，由 即可证明试题解析：（1） ；（2）由（1）知， ，而 ，故考点：1.绝对值不等式；2.两角和的余弦公式
