1、第 1 页（共 18 页）2018 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2+4x0， ，C=x|x=2n，n N，则（AB）C=（ ）A2 ，4 B0，2 C0，2，4 Dx|x=2n，n N2 （5 分）设 i 是虚数单位，若 ，x，y R，则复数 x+yi 的共轭复数是（ ）A2 i B2i C2+i D 2+i3 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和是 Sn，且 a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（ ）Aa 5
2、是常数 BS 5 是常数 Ca 10 是常数 DS 10 是常数4 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D5 （5 分）已知点 F 为双曲线 C： （a0，b0）的右焦点，直线 x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A，若 AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B C D6 （5 分）已知函数 则 （ ）A2 + B C D第 2 页（共 18 页）7
3、（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 （0）的相邻两个零点差的绝对值为 ，则函数 f（x）的图象（ ）A可由函数 g（x）=cos4x 的图象向左平移 个单位而得B可由函数 g（x）=cos4x 的图象向右平移 个单位而得C可由函数 g（x）=cos4x 的图象向右平移 个单位而得D可由函数 g（x）=cos4x 的图象向右平移 个单位而得9 （5 分） 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A 73 B61 C55 D 6310 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，点
4、G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A B C D11 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1，l 2，直第 3 页（共 18 页）线 l1 与抛物线 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 D、E 两点，若 l1 与 l2的斜率的平方和为 1，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A16 B20 C24 D3212 （5 分）若函数 y=f（ x） ，x M，对于给定的非零实数 a，总存在非零常数T，使得定义域 M 内的任意实数 x，都有 af（x）=f（x+T ）恒成立，此时 T 为f（x）的类周期，函数 y=
5、f（x）是 M 上的 a 级类周期函数若函数 y=f（x）是定义在区间0，+）内的 2 级类周期函数，且 T=2，当 x0，2）时，函数 若x 16，8，x2（0，+ ） ，使 g（x 2） f（x 1）0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 ， ，且 ，则 = 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 15 （5 分）在等比数列a n中，a 2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 17，设bn=a2n1a2n，nN*，则数列b n的前 2n 项和为 16
6、 （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABBC ， ADBC， ，点E 是线段 CD 上异于点 C，D 的动点，EFAD 于点 F，将DEF 沿 EF 折起到PEF 的位置，并使 PFAF，则五棱锥 PABCEF 的体积的取值范围为 第 4 页（共 18 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边 a，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点 D 满足 （1）求 a 及角 A 的大小；（2）求 的值18 （12 分）在四棱柱 ABCDA1B1C
7、1D1 中，底面 ABCD 是正方形，且 ，A 1AB=A 1AD=60（1）求证：BD CC 1；（2）若动点 E 在棱 C1D1 上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB1 所成角的正弦值为 第 5 页（共 18 页）19 （12 分） “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018 年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布N（， 2） ，利
8、用该正态分布，求 Z 落在（14.55， 38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；若 ，则 P（Z+）=0.6826，P（2 Z +2）=0.954420 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l：y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 D，使直线 AD 与 BD 的斜率之和
9、 kAD+kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由第 6 页（共 18 页）21 （12 分）已知函数 f（ x）=e x2（a 1）x b，其中 e 为自然对数的底数（1）若函数 f（x）在区间 0，1上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；（2）已知函数 g（x）=e x（a 1）x 2bx1，且 g（1） =0，若函数 g（x ）在区间0，1 上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1 的参数方程为
10、（为参数，a 是大于 0 的常数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C2 的极坐标方程为 （1）求圆 C1 的极坐标方程和圆 C2 的直角坐标方程；（2）分别记直线 l： ，R 与圆 C1、圆 C2 的异于原点的交点为 A，B，若圆 C1 与圆 C2 外切，试求实数 a 的值及线段 AB 的长选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2x+1 |（1）求不等式 f（x）10 |x3|的解集；（2）若正数 m，n 满足 m+2n=mn，求证：f（m）+f（2n）16第 7 页（共 18 页）2018 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一
11、、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 【解答】解：A=x|x 2+4x0= x|0x4 ，=x|343 x3 3=x|4x 3 ，则 AB=x |4x4，C=x|x=2n ，n N，可得（AB）C=0，2，4，故选：C2【解答】解：由 ，得 x+yi= =2+i，复数 x+yi 的共轭复数是 2i故选：A 3 【解答】解：等差数列a n的前 n 项和是 Sn，且 a4+a5+a6+a7=18，a 4+a5+a6+a7=2（a 1+a10）=18，a 1+a10=9， =45故选： D4A B C D【解答】解：设
12、 AB=2，则 BC=CD=DE=EF=1，S BCI = = ， S 平行四边形 EFGH=2SBCI =2 = ，所求的概率为 P= = = 故选：A5 【解答】解：设双曲线 C： 的右焦点 F（c，0） ，双曲线的渐近线方程为 y= x，由 x=a 代入渐近线方程可得 y=b，第 8 页（共 18 页）则 A（a，b ） ，可得 AF 的中点为（ ， b） ，代入双曲线的方程可得 =1，可得 4a22acc2=0，由 e= ，可得 e2+2e4=0，解得 e= 1（1 舍去） ，故选：D 6 【解答】解： ，=cos2tdt= = ，=（ ） +（ cosx）= 2故选：D7 【解答】解
13、：第 1 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件， k=2；第 2 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件， k=3； 第 3 次循环后，S= =2，不满足退出循环的条件，k=4； 第 n 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件， k=n+1；第 2018 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件， k=2019第 2019 次循环后，S= =2 ，满足退出循环的条件，故输出的 S 值为 2 ，故选：C8 【解答】解：函数 = sin（2x） +=sin（2x ） （ 0）的相邻两个零点差的绝对值为 ，第 9 页（共 18 页） = ，=2，f（x ）=sin（4x ）=cos（4x ） =co
14、s（4x ） 故把函数 g（ x）=cos4x 的图象向右平移 个单位，可得 f（x）的图象，故选：B9 【解答】解： 展开式中所有各项系数和为（23） （1+1）6=64；=（2x3） （1+ + +） ，其展开式中的常数项为3+12=9，所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为649= 73故选：A10 【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥 PABCDEF，底面是正六边形，有一 PAF 侧面垂直底面，且 P 在底面的投影为 AF 中点，过底面中心 N 作底面垂线，过侧面 PAF 的外心M 作面 PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，设PAF 的外接圆半径为 r， ，解得 r= ， ，则
15、该几何体的外接球的半径 R=，表面积是则该几何体的外接球的表面积是 S=4R2=故选：C11 【解答】解：抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F（1，0） ，设直线 l1：y=k 1（ x1） ，直线 l2：y=k 2（x1） ，由题意可知，则 ，第 10 页（共 18 页）联立 ，整理得：k 12x2（2k 12+4）x+k 12=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，设 D（x 3，y 3） ，E（x 4，y 4） ，同理可得：x 3+x4=2+ ，由抛物线的性质可得：丨 AB 丨=x 1+x2+p=4+ ，丨 DE 丨=x 3+x4+p=4+ ，|AB
16、|+|DE|=8 + = =，当且仅当 = 时，上式“=” 成立|AB|+|DE|的最小值 24，故选：C12 【解答】解：根据题意，对于函数 f（x ） ，当 x0，2）时，分析可得：当 0x1 时，f（x）= 2x2，有最大值 f（0）= ，最小值 f（1）=，当 1x2 时，f（x）=f（ 2x） ，函数 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则此时有 f（x ） ，又由函数 y=f（x）是定义在区间0，+）内的 2 级类周期函数，且 T=2；则在 6，8）上，f（x）=2 3f（x 6） ，则有12f（x ）4，则 f（8）=2f（6）=4f（4 ）=8f（2）=16f（0）=8，则函
17、数 f（x ）在区间6， 8上的最大值为 8，最小值为 12；对于函数 ，有 g（x ）= +x+1= = ，第 11 页（共 18 页）分析可得：在（0，1）上，g（x）0，函数 g（x）为减函数，在（1，+）上，g（x） 0，函数 g（x）为增函数，则函数 g（x ）在（0，+）上，由最小值 f（1）= +m，若x 16，8，x 2（0， +） ，使 g（x 2）f（x 1） 0 成立，必有 g（x ） minf （x ） max，即 +m8，解可得 m ，即 m 的取值范围为（ ， ；故选：B二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 【解答】解：根据题意，向量
18、， ，若 ，则 =2sincos=0，则有 tan= ，又由 sin2+cos2=1，则有 或，则 =（ ， ）或（ ， ） ，则| |= ，则 = 2+ 22 = ；故答案为：14 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，4） ， = ，令 t=5x3y，化为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，t 有最小值为 2目标函数 的最小值为 故答案为： 第 12 页（共 18 页）15 【解答】解：等比数列a n中，a 2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 17，设首项为 a1，公比为 q，则： ，整理得： ，解得： 则： ，所
19、以：b n=a2n1a2n= =22n4，则：T 2n= = 故答案为： 16 【解答】解：PFAF，PFEF，AFEF=F，PF 平面 ABCD设 PF=x，则 0x1，且 EF=DF=x五边形 ABCEF 的面积为 S=S 梯形 ABCDSDEF = （1+2）1 x2= （3x 2） 五棱锥 PABCEF 的体积 V= （3 x2）x= （3xx 3） ，设 f（x）= （3xx 3） ，则 f（x）= （3 3x2）= （1 x2） ，当 0x1 时，f（x ）0，f（ x）在（0，1）上单调递增，又 f（0）=0，f（1）= 五棱锥 PABCEF 的体积的范围是（0， ） 故答案为：
20、 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 【解答】解：（1）由 2bcosA+acosC+ccosA=0 及正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，第 13 页（共 18 页）在ABC 中，sinB0，所以 又 A（0，） ，所以 在ABC 中，c=2b=2 ，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=7，所以 （2）由 ，得 = ，所以 18 【解答】解：（1）连接 A1B，A 1D，AC ，因为 AB=AA1=AD，A 1AB=A 1AD=
21、60，所以A 1AB 和A 1AD 均为正三角形，于是 A1B=A1D设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 A1O，则 A1OBD，又四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD，而 A1OAC=O，所以 BD平面 A1AC又 AA1平面 A1AC，所以 BDAA 1，又 CC1 AA1，所以 BDCC 1（2）由 ，及 ，知 A1BA 1D，于是 ，从而 A1OAO ，结合 A1OBD，A 1AC=O ，得 A1O底面 ABCD，所以 OA、OB、OA 1 两两垂直如图，以点 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则 A（1，0 ， 0） ，B（0 ，1，0
22、） ，D（0，1，0） ，A 1（0，0，1） ，C（ 1，0，0） ，第 14 页（共 18 页）， ， ，由 ，得 D1（ 1，1，1） 设 （ 0， 1） ，则（x E+1，y E+1，z E1）=（1，1，0） ，即 E（ 1， 1，1） ，所以 设平面 B1BD 的一个法向量为 ，由 得 令 x=1，得 ，设直线 DE 与平面 BDB1 所成角为 ，则 ，解得 或 （舍去） ，所以当 E 为 D1C1 的中点时，直线 DE 与平面 BDB1 所成角的正弦值为 19 【解答】解：（1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 （2）Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，且
23、 =26.5，11.95，P（14.55Z38.45 ）=P（26.5 11.95Z 26.5 +11.95）=0.6826，Z 落在（14.55，38.45）内的概率是 0.6826根据题意得 XB（4， ） ， ； ； ； X 的分布列为第 15 页（共 18 页）X 0 1 2 3 4P 20 【解答】解：（1）由已知可得 解得 a2=2，b 2=c2=1，所求椭圆方程为 （2）由 得（1 +2k2）x 2+8kx+6=0，则=64k 224（1+2k 2）=16k 2240，解得 或 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，设存在点 D（ 0，m ） ，则 ， ，
24、所以= = 要使 kAD+kBD 为定值，只需 6k4k（2m）=6k8k+4mk=2（2m 1） ，k 与参数 k 无关，故 2m1=0，解得 ，当 时，k AD+kBD=0综上所述，存在点 ，使得 kAD+kBD 为定值，且定值为 021 【解答】解：（1）根据题意，函数 f（x ）=e x2（a1）xb，第 16 页（共 18 页）其导数为 f（ x）=e x2（a 1） ，当函数 f（x ）在区间0， 1上单调递增时，f（x）=e x2（a1）0 在区间0，1 上恒成立，2（a 1） （e x） min=1（其中 x0，1） ，解得 ；当函数 f（x ）在区间0， 1单调递减时，f（x
25、）=e x2（a1）0 在区间0，1上恒成立，2（a 1） （e x） max=e（其中 x0，1） ，解得 综上所述，实数 a 的取值范围是 （2）函数 g（ x）=e x（a 1）x 2bx1，则 g（x）=e x2（a1）xb，分析可得 f（x）=g（x） 由 g（ 0）=g（ 1）=0 ，知 g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为 x0，则 g（x）在区间（0，x 0）内不单调，所以 f（ x）在区间（0，x 0）内存在零点 x1，同理，f（x ）在区间（x 0，1）内存在零点 x2，所以 f（ x）在区间（0，1）内恰有两个零点由（1）知，当 时，f（x ）在区间0，1上
26、单调递增，故 f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意当 时， f（x）在区间0，1上单调递减，故 f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以 令 f（x）=0，得 x=ln（2a 2） （0，1） ，所以函数 f（x）在区间0，ln（2a2）上单调递减，在区间（ln（2a 2） ，1上单调递增记 f（x）的两个零点为 x1，x 2（x 1x 2） ，第 17 页（共 18 页）因此 x1（0， ln（2a 2） ，x 2（ln（2a2） ，1） ，必有 f（0）=1b0，f （1）=e2a+2b0 由 g（ 1）=0，得 a+b=e，所以 ，又 f（0）=a e+10 ，
27、f（1）=2a0，所以 e1a 2综上所述，实数 a 的取值范围为（e 1，2） 22 【解答】解：（1）圆 C1： （ 是参数）消去参数 ，得其普通方程为（x+1） 2+（y+1） 2=a2，将 x=cos，y=sin 代入上式并化简，得圆 C1 的极坐标方程 ，由圆 C2 的极坐标方程 ，得 2=2cos+2sin将 x=cos，y=sin，x 2+y2=2 代入上式，得圆 C2 的直角坐标方程为（x 1） 2+（y1） 2=2（2）由（1）知圆 C1 的圆心 C1（1，1） ，半径 r1=a；圆 C2 的圆心 C2（1，1） ，半径 ，圆 C1 与圆 C2 外切， ，解得 ，即圆 C1 的极坐标方程为 将 代入 C1，得 ，得 ；将 代入 C2，得 ，得 ；故 第 18 页（共 18 页）23 【解答】解：（1）此不等式等价于 或或解得 或 或 3x4即不等式的解集为 （2）证明：m0，n0，m +2n=mn， ，即 m+2n8，当且仅当 即 时取等号f（ m）+f（ 2n）= |2m+1|+|4n+1|（2m+1）（4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）16，当且仅当4n+10，即 时，取等号f（ m）+f（ 2n）16
