1、2 数集 确界原理 1 、 用区间表示下列不等式的解: 0 1 x x ; 6 1 + x x ; 0 ) )( )( ( c x b x a x ( a 、b 、 c 为常数, 且 c b a x x x x 6 1 6 0 2 或 + x f 当且仅当 ; ) , ( ) , ( + c b a x 因此原不等式的解为 ) , ( ) , ( + c b a x . 当 4 3 , 4 x 时 2 2 sin x . 由正弦函 数的周期性知 2 2 sin x 的解是 4 3 2 , 4 2 + + k k x ,其中 k 是整数 2 、设 S 为非空数集, 试给出 下列概念的定义: 数集
2、 S 没有上界; 数集 S 无界. 解: 设 S 为一非空 数集, 若对任 意的 0 M , 总存在 S x 0 , 使 M x 0 , 则称数 集 S 没有 上界 设 S 为一非空数集, 若对 任意的 0 M ,总 存在 S x 0 , 使 M x 0 , 则称数集 S 无界 3 、证明: 由(3) 式确定的 数集有上界, 无下界. 证: 2 2 R x x y y S = = . 对任意的 R x , 2 2 2 = x y 所以数集 S 有上界 2 而对任意的 0 M , 取 m x + = 3 1 , 则 S M M x y = = = = 1 3 2 2 2 1 1 , 但 M y
3、x , 即 2 , 2 分别是 S 的上、下界. 又对任意的 0 , 不妨设 2 2 , 于是 存在 2 2 0 = x , 2 2 1 + = x 使 0 x 、 1 x S ，但 2 0 x ， + ,存在 S x = = 1 ! 1 1 , 使 + , 取 1 1 所以 1 sup = S ； 由 的取法知 是无理数， S ， + = ，必存在自然数 k ，使 S x k k = 2 1 1 ，且 = 1 2 1 1 k k x 所以 1 sup = S 又 S x = = 2 1 2 1 1 , + , 只须取 S x = 0 , 则 0 x , 从而 不是 S 的下界, 故 S in
4、f = . 6.设 S 为非空数集, 定义 S x x S = , 证明: S S sup inf = S S inf sup = 证: 设 = S inf , 由 下确界的定义知, 对任意 的 S x , 有 x , 且对任意的 0 , 存 在 S x 0 , 使 + 0 x , 由上确界的定义知 = S sup , 即 S S sup inf = . 同理可证式成立. 7.设 B A 、 皆为非空有界数集, 定义数集 , , B y A x y x z z B A + = = + . 证明: B A B A sup sup ) sup( + = + B A B A inf inf ) in
5、f( + = + 证: 设 1 sup = A , 2 sup = B . 对任意的 B A z + ,存在 A x , B y , 使 y x z + = . 于是 1 x , 2 y , 从而 2 1 + z 对任意的 0 , 必存在 A x 0 , B y 0 且 2 1 0 x , 2 2 0 y , 则存在 B A y x z + + = 0 0 0 , 使 + ) ( 2 1 0 z , 所以 B A B A sup sup ) sup( 2 1 + = + = + 同理可证 8.设 x a a , 1 , 0 为有理数, 证明: =a 的情况, 1 a , r a 严格递增, 故对任意的有理数 x r , 有x r a a ,不妨 设 x a , 于是必 存在有理数 x r 0 , 使得 x r x a a a 0 . 事实上, 由 x a log 递增知: x x a a 0 等价于 x a a x a x a = log ) ( log 取有理数 0 r ,使得 x r a x a 0 ) ( log . 所以 E a x sup = , 即 sup 为有理数 r a a r x r x =
