1、1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： （1）,),( 22 yxyxf +=若;01=+ yx （2）,),( tzyxtzyxf +=若 4 cxyzt =（其中0,0, ctzyx）； （3）xyzzyxf =),(，若0,1 222 =+=+ zyxzyx . 解 (1)设)1(),( 22 += yxyxyxL 对L求偏导数,并令它们都等于0,则有 =+= =+= =+= .01 ,02 ,02 yxL yL xL z y x 解之得 .1, 2 1 = yx由于当 yx ,时, f .故函数必在唯一稳定点处 取得极小值, 极小值. 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( =f
2、 (2)设)(),( 4 cxyzttzyxtzyxL += 且 = =+= =+= =+= =+= ,0 ,01 ,01 ,01 ,01 4 cxyztL xyzL xytL xztL yztL t z y x 解方程组得.ctzyx =由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯 一稳定点(c, c ,c, c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c, c ,c, c)=4c . (3)设)()1(),( 222 zyxuzyxxyzuzyxL += ,并令 =+= =+= =+= =+= =+= ,0 ,01 ,02 ,02 ,02 222 zyxL zyxL uzxyL u
3、yxzL uxyzL u z y x 解方程组得zyx ,的六组值为: = = = 6 2 6 1 6 1 z y x , = = = 6 1 6 1 6 2 z y x , = = = 6 1 6 2 6 1 z y x , = = = 6 2 6 1 6 1 z y x , = = = 6 1 6 2 6 1 z y x = = = 6 1 6 2 6 1 z y x . 又xyzzyxf =),(在有界闭集 0,1|),( 222 =+=+ zyxzyxzyx 上连续,故有最值.因此,极小值为 , 63 1 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 () 6 2 , 6 1 , 6 1 ( =
4、 ff 极大值为 . 63 1 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 () 6 2 , 6 1 , 6 1 ( = ff 2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。 解：（1）设长方体的长、宽、高分别为zyx ,，表面积为)0( 2 aa， 则体积为xyzzyxf =),(，限制条件为 2 )(2 axzyzxy =+。 设)(2),( 2 axzyzxyxyzzyxL += 并令 =+= =+= =+= =+= ,0)(2 ,0)(2 ,0)(2 ,0)(2 2 axzyzxyL yxxyL zxxzL zyyzL z y x 解得 6 a zyx =。
5、 因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值 66 ) 6 , 6 , 6 ( 3 aaaa f =。 故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体. （2）设长方体的长、宽、高分别为zyx ,，体积为V ,则表面积)(2),( xzyzxyzyxf += , 限制条件: Vxyz = . 设)()(2),( VxyzxzyzxyzyxL += 并令 = =+= =+= =+= ,0 ,0)(2 ,0)(2 ,0)(2 VxyzL xyyxL xzzxL yzzyL z y x 解得 3 Vzyx = 故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体. 3.求空间一点),( 000 zyx到平
6、面0=+ DCzByAx的最短距离. 解:由题意,相当于求 2 0 2 0 2 0 2 )()()(),( zzyyxxdzyxf +=在条件 0=+ DCzByAx下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在. 设)(),(),( DCzByAxzyxfzyxL += 且 =+= =+= =+= =+= )4(,0 )3(,0)(2 )2(,0)(2 )1(,0)(2 0 0 0 DCzByAxL CzzL ByyL AxxL z y x 由(1),(2),(3)得Axx 2 0 = , Byy 2 0 = , Czz 2 0 = . 代入(4)解得 222 000 )(2 CB
7、A DCzByAx + + = . 所以 )( 4 1 )()()( 22222 0 2 0 2 0 CBAzzyyxx +=+ 222 000 CBA DCzByAx + + = 故 222 000 CBA DCzByAx d + + =为所求最短距离. 4.证明:在n个正数的和为定值条件axxx n =+ 21 下,这n个正数的乘积 n xxx 21 的 最大值为 n n n a .并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值 n xxx xxx n n n + 21 21 . 证:设 nn xxxxxxf 2121 ),( = , )(),(),( 212121 axxxxxxfxxx
8、L nnn += , )0,( 21 n xxx, =+= =+= =+= =+= )4(,0 ,0 ,0 ,0 21 21 221 121 2 1 axxxL xxxxL xxxxL xxxxL n nnx nx nx n 解得 n a xxx n = 21 由题意知,最大值在唯一稳定点取得. 所以 n n n a n a n a n a ff = ),( 最大 . 故 n xxx n a n a xxx n n n n n n + = 21 21 因此 n xxx xxx n n n + 21 21 . 5.设 n aaa, 21 为已知的n个正数，求 = = n k kkn xaxxxf
9、 1 21 ),( 在限制条件 1 22 2 2 1 + n xxx 下的最大值。 解 先求f在条件)10( 2 1 2 = = aax n i i 下的条件最大值。为此，设 )10)(),( 2 1 2 1 21 += = aaxxaxxxL n k k n k kkn 令 = =+= = n k k kkx axL nkxaL k 1 2 0 ),2,1(02 ， 解得 ),2,1)()/( 2 1 1 nkaaax n k kkk =+= = = += n k k a a 1 2 1 2 .)( 2 1 此时，有 .)( 2 1 1 2 1 = += n k k n k kk aaxa
10、于是，f在条件 2 1 2 ax n k k = = 下的最大值为.)( 2 1 1 2 = n k k aa故f在条件1 1 2 = n k k x下的最大值为 .)()( 10 sup 2 1 1 2 2 1 1 2 = = = = 下的最小值。 解 设 =),( 21 n xxxL),(),( 1 121 = + n k kkn xaxxxf 令, 01 ),2,1(02 1 = =+= = n k kk kx xaL nkakxL k 解得 ),2,1()(2,)( 1 1 21 1 2 nkaaax n k kk n k kk = = = 依题意，相当于求n维空间中原点到超平面1 1 = = n k kk xa的最短距离。由几何知，最短距离 存在，而稳定点只有一个，故一定在唯一稳定点处取得最小值，故 )(,)(,)( 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 n n k k n k k n k k aaaaaaff = = = = 最小 .)( 1 1 2 = = n k k a
