1、数学分析答案 第一章 实数集与函数 1 实数 1、 设 a 为有理数， x 为无理数，试证明： xa 是无理数 . 当 0a 时， ax 是无理数 . 证： 假设 xa 是有理数，则 xaxa )( 是有理数，这与题设 x 为无理数相矛盾， 故 xa 是无理数 . 假设 ax 是有理数，则 xaax 为有理数，这与题设 x 为无理数相矛盾 故 ax 是无理数 . 1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： 0)1( 2 xx ； 2、 设 a 、 Rb .证明：若对任何正数 有 ba ，则 ba . 证 :用反证法 .倘若结论不成立 ,则根据实数集有序性 ,有 ba 或 ba ; 若 ba ,则又
2、由绝对值定义知 : baba . 令 ba ,则 为正数 ,但这与 baba 矛盾 ; 若 ba ,则又由绝对值定义知 : abba . 令 ab ,则 为正数 ,但这与 abba 矛盾 ; 从而必有 ba . 3、 设 0x ,证明 21 xx ,并说明其中等号何时成立 . 证 :因 x 与 x1 同号 ,从而 21211 xxxxxx , 等号当且仅当 xx 1 ,即 1x 时成立 . 数学分析答案 4、 证明 :对任何 Rx ,有 121 xx ； 2321 xxx 证 : 因为 21111 xxx , 所以 121 xx . 因为 21132 xxxx , 所以 2321 xxx 5、
3、 设 a 、 b 、 Rc ( R 表示全体正实数的集合 ),证明 : cbcaba 2222 证 :对任意的正实数 a 、 b 、 c 有 )(2 2222 cbabca , 两端同时加 244 cba ,有 22422222224 2 cbacababcacba , 即 )()( 222222 cababca bccabaa 2)(22 22222 , 两端再同加 22 cb ,则有 cbcaba 2222 其几何意义为 :当 cb 时 ,以 ),( ba , ),( ca , )0,0( 三点为顶点的三角形 ,其两边之差小 于第三边 . 当 cb 时 ,此三角形变为以 ),( ca ,
4、)0,0( 为端点的线段 ,此时等号成立 6、 设 0,0 bx ,且 ba ,证明 xb xa 介于 1与 ba 之间 . 证 :因为 xb abxb xa 1 , )( )( xbb abxbaxb xa ,且 0,0 bx 所以当 ba 时 , baxb xa 1 ; 当 ba 时 , 1 xb xaba ; 故 xb xa 总介于 1与 ba 之间 . 数学分析答案 7、 设 p 为正整数 ,证明 :若 p 不是完全平方数 ,则 p 是无理数 证 :假设 p 是有理数 ,则存在正整数 m 、 n 使 nmp ，且 m 与 n 互素 . 于是 22 mpn .可见 n 能整除 2m .
5、由于 m 与 n 互素 ,从而它们的最大公因数为 1,由辗转相除法知 :存在整数 u 、 v 使 1nvmu . 从而 mmnvum 2 因 n 能整除 2m ,又能整除 mnv ,故能整除其和 ,于是 n 可整除 m ,这样 1n 因此 2mp .这与 p 不是完全平方数相矛盾 , 故 p 是无理数 8、 设 a 与 b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： bxax ； bxax ； bax 2 . 解 : 原不等式等价于 11 bx ba 这又等价于 20 bx ba 即 bxbabx 220 或 bxbabx 220 即 ba bax bx 2 或 ba bax bx 2 故当 ba 时 ,不等式的解为 2bax 当 ba 时 ,不等式的解为 2bax 当 ba 时 ,不等式无解 . 原不等式等价于 bxax bx 且 bxxa bx 即 ba bx 且 2 bax bx 故当 ba 时 , 21 bx ; 当 ba 时 ,不等式无解 . 数学分析答案 当 0b 时 ,显然原不等式无解 , 当 0b 时原不等式等价于 baxba 2 因此当 0ba 或 0b 时 ,无解 当 0ba 且 0b 时 ,有解 如果 ba ,则解为 baxba 即 baxba 或 baxba 如果 ba ,则解为 bax 即 baxba
